振型叠加法读书报告.

1、振型叠加法摘要：通过收集有关振型叠加法的资料，对振型叠加法基本原理、应用范围进行介绍，并通过 该方法与其他方法的比较总结其优缺点。对模态截断的概念及其具体方法进行阐述，理解模态 截断在振型叠加法的应用中的重要性。并对振型叠加法在工程中的应用进行初步分析。关键词：振型叠加法 模态截断 固有特性1. 引言随着科学技术的发展，对机械结构的性能要求越来越严格，结构的强度设计问题也随之深入。 在实际工程中，机械结构由于受到动态激励的作用而引起破坏，基于静强度的结构设计准则已 不能满足使用要求，使得结构动力学问题更加突出。目前，结构动态响应的求解方法有很多种，一般可分为直接积分法和间接积分法，但这些方法

2、都有一定的适用范围和局限性。随着计算机和有限元技术的迅速发展，使得很多大型复杂结构 在任意激励下的动态响应也可以进行分析。但是考虑到计算机技术的限制和结构的复杂性，在 解决具体问题时，选取合适的方法对结构动态响应进行求解尤其重要。主要对求解结构动响应 的几种方法进行分析，并比较各自的优缺点和适用范围。2. 几种求解方法的比较2.1 求解动响应的基本方程在结构动响应的分析中，通常是把结构离散为线性或非线性多自由度系统，然后通过求解多自 由度系统得到结构在任意激励下的动态响应。多自由度系统的振动微分方程如下：(1式中： M结构质量矩阵； C结构阻尼矩阵； K结构刚度矩阵； u和 F离散结构各节点的

3、加速度向量、速度向量、位移向量和外加载荷向量。在外部激励的作用下，系统会呈现一定的振动响应，从数学观点来看，分析结构动响应就是求 解多自由度系统的微分方程。2.2 基于有限元技术的动响应求解方法在实际结构动响应的分析中，离散结构的自由度很多，运算量很大，求解占用很多计算机资 源。采用实用有效的求解方法，能够尽量缩短计算时间，提高计算精度。2.2.1 直接积分法求解结构动态响应直接积分法又称逐步积分法，其基本原理是：在时间域内对响应的时间历程进行离散，把运动 微分方程分为各离散时刻的方程，设定某个时刻的位移、速度和加速度的近似表达式，并把表达式代入系统运动方程，对耦合的系统运动微分方程进行逐步积

4、分求解，即由前一个或几个时 间离散点上的位移、速度和加速度推出下一个时间点上的位移、速度和加速度，从而求出在一 系列离散时刻上的响应值。目前对于求解多自由度系统的直接积分法有很多，如中心差分法、威尔逊法- ，纽马克法等等。近年来有不少学者提出很多新的或改进型方法，以提高计算效率和计算精度。直接积分法 的计算精度较高，对质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵和载荷没有特别的要求，可以处理多种线 性和非线性系统，但计算时间较长。2.2.2 缩聚法求解结构动态响应对复杂结构进行动响应分析时，离散结构的自由度数目多，运算量很大。在保证计算精度的条 件下，利用缩减技术对模型进行缩聚成为一种合适的方法。所谓模型缩聚

5、。就是引入适当的变 换，消去对整体结构动力影响效果不大的自由度，从而达到降低自由度的目的。缩聚法的原理是，构造一个变换矩阵 T（r ，将物理位移向量 u 表示为 u=Tq ，其中 q 为广义位移向量。将变换关系代入方程（ 1 ），并左乘 T 的转置，得到缩聚后模型的运动方程式中： 缩减后的质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵及载荷向量。缩聚法求解系统的动响应时，总自由度一般被划分两部分，主自由度（以 m 表示）和从自由 度（以 s 表示），基于该划分，物理位移矢量 u，可以有构成的广义坐标表示如下式：3）进行变换得到离散模型全部自由(3由式（ 2）可以得到缩聚自由度的位移响应，再利用式（ 度响应。缩聚

6、法在求解动响应时，需要选择合适的主自由度。缩聚法虽然是一种近似解法，但在求解复杂，自由度大的结构动响应时不失为一种有效的方法。2.2.3 振型叠加法求解结构动态响应 振型叠加法是一种利用固有频率和振型来计算结构动响应的方法。其基本原理是：对结构自由 振动进行模态分析，得到结构的固有频率和固有振型 ，利用固有振型 组成的模态矩阵 对式（ 1）进行解耦，将结构的动力学方程转化为各主坐标的非耦合方程。进行坐标变换（4把上式代入运动方程（ 1）得到：（5上式两边前乘 得（6对（ 6）进行求解，求出各主坐标的响应，最后利用物理坐标和主坐标的关系，得到物理坐标 下的响应。模态叠加法计算结构动态响应时，需要

7、提取出可能对动力学响应有贡献的所有模 态，否则会由于缺失模态而造成较大误差。2.2.4 简谐激励求解结构动态响应 在许多实际问题中，结构承受一种非简谐的周期激励作用，一般来说，任何周期函数都可以用 简谐的收敛级数来表示，利用叠加原理，周期激励的响应等于各简谐分量引起响应的总和。 周期激励函数满足： F（t=F（t ±nT （ 7） 系统在周期激励 F（t ）作用下的微分方程为：（8 对于承受周期激励下的响应分析，可以通过傅立叶级数展开，把激励的周期函数转化为由不同 频率的简谐激励函数线性叠加的形式，如式（8），然后分别计算由激振力各次谐波分量作用下的结构响应，将所得响应结果线性叠加，

8、从而求得结构在周期激励下的动态响应。2.3 求解方法分析比较（1）直接积分法采用完整的系统矩阵计算结构动响应，容易使用，不需要选择主自由度和计 算振型；求解精度高；允许各类非线性特性；但计算时间长，计算效率低，占用较多的计算机 资源，故只有在其它方法不适用的情况下选择才比较合理。（2）缩聚法采用主自由度和缩减矩阵，计算量得到很大的缩减，能显著的节省时间和计算机 资源，对于复杂结构的动力学分析时更是如此；精确性与主自由度的选取有很大关系，计算精 度受限制。（3）模态叠加法求解动态响应时，模态的提取与结果的正确性有很大关系。故在模态分析 时，要尽可能提取所有有贡献的模态，保证计算精度，其优点是计算

9、时间较短，能较多的节省 计算机资源。（4）在求解结构动响应时，可以通过简谐激励下响应的叠加直接求得结构的稳态响应，但在 实际问题中，若载荷复杂，则通过反复加载求解结构的稳态响应是可行的。通过对求解结构动态响应的几种方法的分析可以得出，在进行不同条件下的动响应分析时，选 择合适的分析方法尤其重要，可以在保证精度的情况下，充分的提高计算效率。3. 振型叠加法基本思想、特点及步骤3.1 基本思想n 自由度系统的运动方程解耦，将其解耦为非耦合的3.2 基本特点（1）振型叠加法采用模态变换对原n 个单自由度系统的运动方程；（2）模态变换对系统的固有特性没有影响，而是以求解广义特征值问题为代价；（3）对

10、n 个单自由度系统运动方程积分，比对联立方程组的直接积分节省时间，通常只要对 这 n 个单自由度运动方程中的一小部分进行积分。但是采用振型叠加法需要增加求解广义特征 值问题的计算时间，所以在实际计算中，究竟采用哪种方法，应根据具体情况确定；（4）振型叠加法只适用于线性、时不变系统。若系统是非线性的，或者是时变的，则无法利 用振型叠加法。3.3 基本步骤4. 模态截断4.1 模态截断的必要性 在用有限单元法进行结构动力分析时，结构的自由度数目有时十分巨大，会造成结构振动模态数目多且密集。根据实际计算经验 :(1 由于高阶模态中有较多的正负交变，因此有较多的结点位移为零 ;(2 高阶模态的自振频率

11、高，由于位移响应与自振频率的二次方成反比，因此位移响应小(3 从物理意义上看，结构体系中的高阶模态不易被激发，通常只有少数较低的模态会被激 发，因此只需将自振频率低的几个模态进行叠加就可表达结构的振动状态。4.2 模态截断判据经验毕竟是一种普遍意义上的共性 . 落实到具体的个性化问题上，模态截断阶数的取法还需结 合具体结构和具体的动荷载，采用适当判据进行分析判断，给出具体数值。一般作模态截断的 判据是结构动力特征响应级数的收敛性，但由于结构的振动响应信息是多样的，包括应力、位 移、速度、加速度和能量等，因此在判据的选择上就有多种。4.3 模态截断方法1. 基于均衡实现的模态截断方法2. 基于能

12、量范数和能量判据的模态截断方法3. 模态选择 DC增益方法4.3.1 能量判据通常工程上都较为关心结构的位移和应力响应，但也有人认为位移是矢量、应力是张量，方 向、方位以及单元网格的大小对指标的收敛性会产生影响 ; 并且当选择位移或应力响应信息作 为模态截断的判断指标时，所截断下来的其它响应信息能否满足截断精度还需验证。下面以能 量响应信息的收敛作为模态截断的判断指标，建立了一个能量判据。4.3.1.1 能量范数的定义 考虑具有 n 个自由度的线性振动结构，有阻尼的强迫振动方程为1)式中C 为比例阻尼类型。若采用模态叠加法求解式 (1 ，有式中 为当模态截断阶数为 N时振动结构的 n 维位移向

13、量和 n维速度向量为第 i 阶模态振型 ; (i=1,2, ,n 为第 i 阶模态坐标。将式 (2 改写成状态方程式中 为结构的 2n 维状态响应向量令截断阶数 N 分别取 1,2, ? ,n, 则相应的状态响应向量为 将这些状态 响应向量组成一个个元素的集合 U(线性空间，其中的每一个元素都是 2n 维向量。为了比较 该集合内 n 个元素之间的差异，在此集合内可定义范数 ，得到代表这个元素某种测度的范数 序列 。若该范数序列收敛，则当模态截断阶数N 取合适值 时，能得到 ( 为给定的允许精度。由于范数代表着反映集合中元素之间差异的某种测度，因此可以判断出元素 和之间的差异很小，在要求精度下可

14、近似用 代替 ，这就解决了作模态截断时模态截断阶数的取值问题。在线性空间中定义函数 (N=1,2,.,n式中 为权矩阵。将式 (3 代人式 (4 ，并利用振型正交性处理可得从式 (5 可看出所定义的范数代表了系统机械能的开方 数，利用建立的能量范数。可在系统状态响应向量构成的线性空间式中 为第 i 阶模态广义刚度； 为第 i 阶模态广 义质量； 为第 i 阶模态频率。4.3.1.2 能量判据的建立 ( 模态截断阶数为 N 时，称为能量范U中判断其中元素之间的差 0,T 中利用能量判据计算模态截断阶数，必须证明能量判据序列J(1,J(2,.,J (n的收敛性。对于任意的 ，由结构质量矩阵 M 的

15、正定性，有若 t ' , t ''分别为结构模态截断阶数取N 和 N+1时最大能量响应的发生时刻，即因此该能量判据序列为上有界序列。综合式(14 式(15 。根据极限存在准则，单调增且上有界的序列必有极限，因此该能量判据序列收敛。4.3.1.3 基于地震荷载的高拱坝结构模态截断阶数分析 在拱坝等水工结构的抗震分析领域，陈厚群院士作了大量而卓有成效的研究工作，对于一般拱 坝，模态截断阶数建议取 610阶; 对于高拱坝，由于其频率密集，应适当多取几阶模态。(1 计算说明拟建某拱坝，坝高 292m 。计算工况为运行低水位 +地震荷载，坝体混凝土动弹模取泊松比取 0.18 ，各

16、阶模态阻尼比统一取 0.05, 容重 。采用衰减三角级数叠 加模型人工生成地震波。顺河向 (x 向、横河向 (y 向，两向输人，将峰值加速度调至 0.308g 。 (2 计算结果与分析表 1 为该拱坝前 20 阶自振频率，可看出频率非常密集。图1 为能量判据 J(N 与模态截断阶数N的关系曲线，从中可看出 J(N 是单调上升的，当模态截断阶数 N 超过 2。时，曲线的变化斜率趋缓，因此对于该结构合适的模态截断阶数在 利用能量判据确定合适的模态截断阶数。20 左右。在实际计算中，可根据精度需要，表 2 为该拱坝模态截断阶数分别取 10 阶和 20 阶时的动力特征响应比较，其中能量相差 1.36

17、GJ，约 10%，最大动应力和动位移相差不大，这主要因为能量具有整体性，而应力和位移具有 局部性，局部的微小差异经整体综合后变得较大需要注意的是，由于在本文计算中各阶阻尼比 取值一致，这在计算精度上显得较粗，若考虑各阶阻尼比的变化，该能量判据可能会在 20 阶 之前收敛。4.3.1.4 结论上文针对结构振动的模态截断，采用了一种能量判据，其优势在于 :(1 能量为标量，因此其收 敛计算易于实现 ;(2 能量响应信息和其它响应信息之间的关系决定了能量判据更为科学，也更 为全面。为充分阐述这种关系，可以考察一下结构振动的本质 : 结构得到外界输人的能量而发 生振动，产生位移、应力等各种响应信息，因

18、此结构得到的能量是产生振动之“源 ”，而其它 响应只是由能量引起的各种表象，能量响应之间的接近是本质上的接近，因此能量判据得到的 模态截断阶数可保证系统其它响应信息的收敛精度。4.3.2 “ DC增益 ” 方法 根据实际计算经验，通常来说，模态的贡献量随着频率的增加而减小，即结构体系中只有少数 较低的模态容易被激发，而高阶模态不易被激发，因此，缩减模型规模的一个简单方法是直接 对结构的模态进行截断，舍弃高阶模态，只将自振频率低的几个模态进行迭加来表达结构的振 动状态。然而事实并非总是如此，对于具体问题来说，模态截断阶数的选取还需结合具体的结构和动荷 载采用适当判据进行分析判断，如果不能对各阶模

19、态在系统响应中的贡献量进行较好的分析而 任意截断高阶模态，可能会导致模态丢失，从而对模型造成影响。“DC增益 ”法是以系统各阶模态的 “DC增益 ”作为模态截断的判断指标，对振动模态进行排序，以确定各阶模态对系 统响应贡献量的大小，从而建立系统模态选取的判据。我们将系统传递函数在s=j0=0 时的值称作其 “DC增益 ”，对无阻尼系统和有阻尼系统来说，其传递函数均可分别用 下面的方程来表示：式中， 第 i 阶模态的 j 行和 k 行项的乘积； 为第 i 阶模态相应的特征值。式(2、式 (3 表明，系统传递函数由单个自由度系统迭加而成，其比值由系统留数和特征频率来决定。将 s=jf=j0=0 代人可以得到第 i 阶模态的 DC增益，对于有阻尼系统和无阻 尼系统来说都具有如下形式：5. 基于 Matlab 对自振频率和振型的求解此式称为频率方程，求此方程就可求得结构体系的自振频率和振型，当体系的自由度数较多 时，行列式的展开相当麻烦，