直线的参数方程及其应用

1、1. 克线参数方程的标准式(1 )过点珂(心几)，倾斜角为。的直线/的参数方程是tf 7com (I为参数)【的儿何恵义駁不"小戈绞丽 妆点P(xyj y = j+rsincrP<iP=t I P.)P I =t为fl线上U* 点.(2) r p,. p：呆直线i两点.所对战的参数分别为-t2.则 PiPZf I PH 1 = 1 “T I I(3) 若P|、P2. P3是亢线上的点，所对应的参数分别为心加©则P已中虑P?的参数为n=仝2 2(4) 若 P° 为 PR 的中点，则 X+"=(h ti ti<0一.宜线的参数方程Ml： <

2、K线由点和方向确定)求经过点珊心儿)，佩斜角为仅的貢线/的参数方程. 设点PU,刃衆直线/上任色一点.(規定向上的 方向为立线L的正方向过点P作y轴的平存线.过 Po作上申的平行线，两条直线相交于0点1) 艸乔与直线/同方向或Po和P童合时,P°P= PoP|W P0Q = IV>cosczQP=P0Psintr2) 当丽与直线/反方向时 P貝PoQ、QP同时改变符号 RP=-|RJP| Pg二PuPcosa QP二PoPsina 仍成立 设PMP=t. t为參数.v-.to=tcosafXVPoQ=x-o,QP=v-yn ,v-y0=tsinaHU x = Xn+Zcosa是

3、所求的r1（钱丿的金数方程 y = v0 +1 sin a.PoP二为参数,l的几何童文是"有向宜线/从已知点PogJo倒点P(sy)的有向线段的数量，俎|P°P =lt| 当讽时点P在点Po的上方: t= 0时点P与点P。玉合；直线/的参数方程为"凡7-yy = $o/ 弘 当t0时，点P在点P。的卜方；特别地.若直线/的頑斜角。=0时.n io时.点卩在点Poft-j/iiiH： 当t=0时，点F打虑Po巫合； 当t<0时，点P在点Pa的左侧,HS 2t直线/上的点9对应的参JRt是不是对应关系？我们把直线/看作是实数轴.以直线丿向I .的方向为正方向.

4、以定点Po为原点，以瓯坐标系的单位K为巾位K 这样参数I便和这条实数轴I：的点r建立了对应关系.问題3* Ph P?为直线/ I：曲点所对应的参数分别为X则 P,P2=? , | P,P2 | =?P|P2 = P|Pu+P(ih- -l|+l2 = h-(|. I PR I I h-tl IW4:若P。为直线/上购点P的中点.Pi、所对应的参数分别为S I： 則X EZ何有何关系？I根据宜线丿参数方程t的几何意义.V /H|P=lp P：P=l2. %为直线/I倩点Ft P?的中点， P|P = P：P/P|P=-P?P即(| = 一2, l|<2<0| 声傲地，若P|、p2&g

5、t; PM1线/上的点，所対应的参数分别为1|、9、(p比为P|. p：的中&则(¥$3=卩屮3,根抵直线/参数方程t的儿何意义. 2.P|Pj= tjth P2Pj= tj12, Atj1=(tj12,)二、宜线參数方程的应用例6：已知貢纫过点P (2. 0).得率为匚和抛物a/=2.rf|I交于A、B两点，设红段AB的中点为M,求：P. M两点何的距离IPML(2) M点的坐林：(3) 统段AB的长|AB|轍(1).直线/过点P«2 <)>.斜率为乂设直线的倾斜角为a. tga=dcos asin« = l 直线/的标准参数方程为x = 2

6、 + (I为参数* yQ貢纟如和抛物线柑交.将育级的参敌方程代入抛饬復方程屮=2工中.整理得 肿一 1乞一50=0-15 -4X8X50>0.设这个次方稈的两个根为“心由韦达定理得tl+t2=15> ljh=.25 f由M为线段AB的中点, 84浪据I的儿何息义.得PM|=| =普中点M所対应的参数为"尸，将此值代入玄线的杯准参数方程札16M点的坐标为"略誥 即M曙扌)4 IS 3164 -5 164 |ab|=Ih-(1 =|V73点披：利用直钱/的标准扛t方程中Hu的几休4义在解决诸如立线/上两 点间的距Jh直1V上某两点的中点以及与此相关的一些问息时，比用

7、直钱/钓 普通方程来解决显得比较灵活和简捷.例7：已知貢细经过点P (1一30) 倾斜角为匚3求直线小直线儿y-x-2V3的空点QhP点的跖离PQ|： 求百线/和圆十+ / = 6的两个交点儿B 5P点的柠离Z枳.解："线讼点PZ3Q ,倾榊为討罰的标准参数方程为X=l + f<X»y .即v = -/J*stn X为歩数代入宜线宀y = x-2爲 斜(1十如一(一朋十伞)一2盯二()整理，解得1=4十2。2 2M+273即为百线八茁纟戈的交点Q所剤应的参数值，抿獣参数的儿 何盘义可ftl： It = PQ , A PQ -4+2方 把肖线/的标准枣数方程为(【为冬数

8、)代入间的方稈y w-3754 半fy2 = 16，得(1 + +。，+(-3厲十=16 整理得:r-8(+12=0.A =ZX 12>0.设北欢方程的两个根如.t2 MIJ “尹12根据参数i的儿何意义，m I：分别为:fi线和册*2=16的两个交点 A. B)m应的煞数值.M«J tii= PAl. t2 = PB|,所以 PA PB = t|t2|=12点拔：利用直钱标准参毀方程中的多数I的几何意义解决距寓问题、距离的来 积(或裔)的间题，比使用直线的普通方程，与另一曲銭方程联立先求得交点 坐标再利用两点间的距离公式简便.例弘设抛物线过阴点八(一1和班一1,一2)对祢轴I

9、门轴平行，开口向右,肖线=2工+7被抛物统俶得的线段长是4祈6,來抛物线方程.解工由題怠,得她物线的对称轴方程为尸2£抛物线顶点坐标为<a, 2) 方程为(y-2八2P(k-G (P>0>点 B(-l.-2)/f 物钱 ht /.(-2-2)-2P(-l-o)“P=-8P代入得<一2)仝2卩.丫十2卅16務白綾方桃y=2"7化为杯准的参数方程(g=2a为锐角,cos a(I为題数直线与拋物线相交于A, B. 将代入并化简弧12-2 卩/-7=0由A = S.+35>0r可设方程的两根为SXV AB；= I t2ti | = J仏=4VioI12

10、-2P-2 +4x (4ViU)2 化简.得(6-P)*=10044.I P=IH或P二-4(介去)所求的抛物线方租为©2)=吃工+4X点址 (对希徃)由«AA(-1,6)和B(-l,2)的对畚柱及抛场钱的屮綠 出覧 设出冗物钱的方程(含P 个来知量，由笊长AB的值求得P).(2)利用直践标淮矣數方程解決啟长问题此题也可以运用直钱的普通 方程与抛杨钱才程联立后，求蒸长.对于有些题使用直拔的驱方程相对简便M9t已知榊圆也Ji#若=i. AB是通过左焦点R的沐 丹为右焦点.43求；F?A - | F2B的最大值執 由怖悶方程知a =2. bW,c 1. F|(010),F2(2

11、.0)过的孩所在貢披的参数方程为卩二心“(I为参数)代入椭同方穆整理得y = lsict(3+sin2/z ) F6(cos9=0 . 36cos2rz +36 (3+sin26t ) >0此方程的解如|如分别为A. B两点対应的参数.由I；达注理(|+l2= 6cosa “-93 + sin * a3 +sin a根据金数(的儿何意义，g b分别为过点E的貢线和柯岡的两个殳点A,B 所对应的参数值，| F|A|»|t|F|B| = |t2|AB I t2-li I =£ =-T3 + sin aI F|A| FiB|= ti Ibl = lt|t2由椭圆的第一定汶

12、F|A|+|F2A|=2«=4, |F|B+ F2B|=2a=4F>A F3B (4 F|A|)(4- F|B ) 16-4 AB -| F(A 16-4 I 1211 I +|ti(2l=16-4-+ 3 + sin 3 +sir、a=16-3 + sin2crF sin" a = I时.F2 F,B有敢夫但兰4求过定点的直烦与88笹曲线相支的距寓之积，利用直钱的参4t方程解 题，比题中两定点齐(0,0).冃(2,0),显竣已坐标简单，因此选择过F, 的直钱的參數方程，利JQMKI的定义持I F,A| -I F2B|转化为|FLA| -IF.BL方法总结&利用玄细的参数方程V = Xo+'C°Sa (为参数儿给研允R线仃 (y = y0+/sina剛隹曲线C F(a,y)=0的位迸天系提供了简便的方法.股地，把f的参数方程代入HI锥曲线C： FU y )=0启，可得一个关于I的 一元二次力程，f(0=0,L当A<OW> f与C相离;(2) A=OH'h /与C相切：(3)当>()时