推进思辨活动提升思维品质

1、隹进思辨活动提升思维品质-以一道中考试题的教学运用为例蔡卫兵（浙江省宁波市鄞州实验中学）例题教学是数学课堂教学的重要组成部分，其质量的高低直接影响学生对数学基础知识和基本技能的掌握，同时也影响学生对基本思想的感悟和基本活动经验的积累，从而影响学生运用数学知识解决实际问题的能力。因此，教师在教学准备中要认真研究、准确判断和挖掘其功能和价值、进行合理的预设、引导学生进行顺势而思自 然得法、对解法的思辨与优化、适度的变式拓展，使学生牢固掌握演绎推理的解题方法，深刻感悟数学思想，有 效启迪数学研究方法，从而实现从知识向能力的转化和提升数学思维品质。本文所选例题是2013年浙江省宁波市中考数学试题第17

2、题，是一道融推理与计算于一体的创新试题，涉及圆的基本性质、扇形的面积、解直角三角形等核心知识，具有较强的综合性，重点考查学生的逻辑推理能力和计 算能力。利用此题在中考专题复习中进行教学运用，意在突出对几何核心知识的综合性运用，通过深入挖掘平面 几何问题内在的数学特征，将知识自然地融入到对问题的发现、提出、分析与求解的全过程中，有利于学生思维图1的针对性训练。现呈现此题的剖析过程，与同行交流。例 如图1，AE是半圆O的直径，弦 AB=BO4逅，弦C=DE=4,连结OB OD则图中两个阴影部分的面积和为 1仔细观察图形，全面捕捉信息思维是核心，观察是入门。仔细观察，全面深入分析问题，准确把握几何图

3、形特征，可充分发挥其潜在的育 人功能，促进学生学会合乎逻辑地思考，促使学生自然生成解题思路。思辨1：阴影部分是什么图形？选择分别计算还是考虑转化合并整体计算？说说你审题后的判断。思辨2:扇形的面积如何计算？需要知道哪些量才能算出扇形面积？根据你所得到的初步信息，该题的关键 是什么？结合图形分析已知条件，学生不难得出弧AB=< BC,弧CD=< DE / AOB+Z DOE2 BOD=90，两个阴影部分的面积和= 扇形BOM面积，在四边形 BODC中已知/ BOD=90 , BC=4匚,CI=4,点B, C, D在以O圆心的圆上, 目标是要求出 OB, OD这些信息只需学生根据自己的

4、学习经历，通过已知图形直接感知得到。除此从“题”中 获取信息外，还要催促学生从“记忆”中索取信息。思辨3: AE是半圆O的直径，你能想起与此有关的什么知识？如何在解题中运用？思辨4:/ BOD是圆心角，点 A, B, C, D, E在圆周上，你又能想起与此有关的什么知识？又能获得哪些有 用的结论？思辨5: BC CD是半圆O的两条弦，你又能想起与此有关的什么知识？又如何在解题中运用？从记忆储存中提取与题目有关的信息，作为解题继续进展的依据：圆心角定理及其推论，圆周角定理及其推论，垂径定理及其推论等等，由此让学生意识到下一步要进行的行动。2整合有效信息，探寻求解思路进行加工、重组和再生，这实质上

5、就把从题目中捕捉到的有用信息与记忆储存中提取的有关信息结合起来,是解题思路的探求。 根据上面的分析，学生自然建立起已知和目标之间的内在联系和逻辑结构，辅助线的添加思 路也会水到渠成，由学生展示解法。解法1:如图2,因为弦 AB=BC 弦CI=DE所以点B是弧AC的中点，点D是弧CE的中点，所以/ BOD90°。过点0分别作OF丄BC OGLCD,垂足分别 F, G,连结FG,BD,11则 BF=_ BC=2 . 2 , DGj CD=222设圆0的半径为r,则0F= r2 -8, oG=,r2 -4 , fgBD2 r , 2 2过点 F 作 FHL OG,垂 足为 H,由/ FOG

6、 =45 得 OH=FH二OF =2-8 , GH=_4-2_8x+=2 2 2由勾股定理得化解得 r4 -48r2320 = 0 ,所以(r2 -8)(r2 -40) =0。所以r2 =40,r2 =8 （舍去），因此 S阴影=S扇形obd=''''360=10 n。思辨6:解法1是从什么信息入手的？顺着这个思路又发现了什么？进一步将问题转化为什么问题?（从弦、垂径定理入手作弦心距OF OG由此发现/ FOG=45和FG%A BCD的中位线， FOG中的三边OF OGFG都可用半径r的代数式表示且有一个特殊角45°,所以将问题转化为解三角形的问题，通

7、过直角三角形借力勾股定理列方程思想求解。）思辨7:所列方程方程复杂吗？作弦心距OF OG还有其它发现吗？解法2:如图3,过点O作OFL BC于点F , OG_ CD于点G在四边形 OFC® , / FOG45。，贝U / FCD135°。过点 C作 CN/ OF 交 OGF点 N,则/ FCN90°, / NCG135°- 90° =45图3所以 CNG等腰三角形，所以 C（=N（=2o过点 N作 NML OF于点 M,贝U MN=FC=2、yi,在等腰三角形 MNO , N(oV2MI=4 ,所以 OGON+NG6。因此在RtA OGD ,

8、OD： Jogr=(6 ?+2 匹2 血 ,下同解法1o思辨&在解法2中是如何利用/ FCD=135的信息？还有没有其它的利用方法？（在解法2中将135。分成90°和45°, 个利用在矩形中，一个利用在等腰直角三角形中。对于135°角，也可转化其补角45°,想到外部构造等腰直角三角形。）解法3:如图4,过点0作0吐BC OG CD BHL CD,垂足分别为F, G, H,连结BDb由/ FC!=135°得厶BCH为等腰直角三角形，所以BH=CHd BC=4 所以 DH=CD+CH=4+4=8HBDO 图4因此在 Rt BDH中, BD=

9、 BH2 DH2 =<5 ,在 Rt BOD中, OB=BD=2.，下同解法1。思辨9:解法3的突破口是什么？还有没有更方便的方法找到该突破口？（其中/BCD=135为后面的简洁思路指明方向，关键是发现/ BCD=135的信息，但是需要作弦心距 OF,0G可得/ FOG=45，根据四边形的内角和等于360°得到。）解法 4:女口图 5,连结 0C 贝V/ OBC=/ OCB / ODCM OCD在四边形 OBCD中/ BOD=90，则/ OBD/ BCD/ ODC=270 ,HB所以/ BCD=135，下同解法3。解法5:如图6,连结BE,则圆周角定理得/BED=1 / BOD

10、=45 。2在圆内接四边形 BCDE中,/ BCD/ BED=180所以/ BCD=135，下同解法3。E3适时反馈过程，适度优化拓展解题是一个可控的系统， 为了有效地实现控制,必须要有信息的反馈。反馈解题过程不仅能改进解题的思路和方法，而且能提炼出对解题有指导作用的信息，进一步升华为学生搜索、捕获、分析、加工和运用信息能力的总和。在解法 3, 4, 5中，要求OB（或OD的长则通过 Rt BOD要求BD的长则通过 Rt BDH把所要求得线图7段放在一个直角三角形中，利用勾股定理来求解线段的长度是一种常用方法。解法6:如图7,连结BE、AD交于点F。1根据圆周角定理得/ BAD=Z BED=&

11、#39; / BOD=45 ,2因为AE是半圆O的直径，所以/ ABE=/ ADE=90 。所以 ABF DEF均为等腰直角三角形，所以AF=J2AB=8, DF=DE=4所以AD=12因此在Rt ADE中, AB= AD2 DE4. 10 ,即圆O的半径为2甘I，下同解法1。思辨11:这一解法中是如何想到连结BE、AD?连结后又有什么好处？（直径AE的已知条件与圆中常用的辅助线“见直径想直角”的联系，以及求直径（或半径）的长往往需要将其放到一个直角三角形中，这暗示我们可尝试连结 BE AD同时在Rt ABE中AB已知，只需求 BE （在Rt ADE中DE已知，只需求 AD，并且/ BAD（/

12、DEB与/ BOD是同弧所对的圆周角与圆心角，借助圆周角定理恰好能将先前得到的信息/BOD=90沟通起来，顺势而思，自然得法。解法7:如图8,连结0C连结AC交0B于点G,连结EC交0D于点Ho由题意易得点 B是弧AC的中点，点 D是弧CE的中点，所以 OBLAC, ODLCE=设圆 0的半径为 r, OG=CH=, OH=CG=b 贝U BG=r-a, HD=r-b。所以f(r-a)2 -b2 =322 2(r-b) a 二6，化简得/ r2-2ra -a2 -b2r2-2rb b2 -a2 丄6，2 2 2将a b = r代入得r2-16 a r2-83图8两式平方相加消去 a,b得r44

13、8r2 +320 =0，所以（r2 8）（r2 40） = 0。所以r2=40,r2=8 （舍去），下同解法1。思辨11:这一解法又是如何找到成功思路的？应用了哪些知识点与方法？（这一解法还是想办法将所要求得线段放在直角三角形中，利用勾股定理来求解。其中"平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦”暗示我们可找到直角三角形，这不仅能将要求的线段OC放在Rt OCG（或Rt OCH中，而且已知的边 BG必和CD=4都能放在Rt BCG和Rt DCH中，接着借助勾股定理列方程组思想求解。思辨12:你能利用前面的解题经验类似地对问题进行相应的改变？哪些方法对已知数据或已知关系的依赖是本质的还是

14、非本质的？（例如将半圆改为扇形AOE / AOE=120，弦AB=B（='3，弦CD=DE=4,连结OB OD则图中两个阴影部分的面积和为 其中两个阴影部分的面积和与扇形BOD的面积的相等关系，/ BCD与1/ BOD的关系.BCD =108 - BOD，把所要求得线段放在一个直角三角形中利用勾股定理来求解线段的长2度，让问题回归常规回归熟悉的转化思想，方程（组）是解决问题中的重要模型等等能作实质性的推广。在这个过程中，也是引导学生体悟问题解决得一般性程序，有利于培养良好的问题解决习惯。）例题教学，不是去寻找万能的解题模式，学生也不是没有思想的“自动运作”的解题机器，而是力图揭示人的思维活动过程和解题的有效途径。在这一过程中以着力弄清楚题意和已掌握的知识、方法为基础，以灵活运用知识为载体，以有效落实“四基”为目标，为学生搭建有依据、有目的、有意识的理性思考和研究讨论的平台，通过由此及彼，由表及里，使思维产生连动性，从而实现信息转换，沟通命题的结论与条件的逻辑关系，引发解题机智，从而揭开数学探究的“神秘面纱”。因此，数学教师有责任在例题教学中深入发掘例题的本质内涵和典型的示范性，进行多途径、多视角的思辨活动，切实为学生构建一个前后一致、逻辑连贯的学习解题的过程，有效体现和提升例题的价值和功能，真正使学生在认识