数分高代定理大全

1、数分高代定理大全高等代数第一章带余除法 对于PX中任意两个多项式f(x)与g(x)，其中g(x) 0，一定有Px 中的多项式 q(x),r(x)存在，使 f (x) q(x)g(x) r(x)成立，其中(r (x)(g(x)或者r(x) 0，并且这样的q(x), r(x)是唯一决定的.定理1对于数域P上的任意两个多项式f (x),g(x)，其中g(x) 0,g(x) | f (x)的 充分必要条件是g(x)除f (x)的余式为零.定理2对于Px中任意两个多项式f (x)，g(x)，在Px中存在一个最大公因式d(x)，且d(x)可以表示成f (x)，g(x)的一个组合，即有Px中多项式u(x),

2、v(x) 使 d(x) u(x) f (x) v(x)g(x).定理3 Px中两个多项式f (x)，g(x)互素的充分必要条件是有Px中的多项式u(x),v(x)使 u(x)f(x) v(x)g(x) 1 .定理 4 如果(f(x),g(x)1，且 f (x) |g(x)h(x)，那么 f(x)|h(x).定理5如果p(x)是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式f (x),g(x)，由P(x)| f (x)g(x) 一定推出 p(x) | f (x)或者 p(x) |g(x).因式分解及唯一性定理数域P上每一个次数1的多项式f (x)都可以唯一地分解成数域 P 上一些不可约多项式的乘积 .

3、所谓唯一性是说，如果有两个分解式f (x) P1(x)P2(x)L Ps(x) q(x)q2(x)L q(x),那么必有 s t，并且适当排列因式 的次序后有Pi(x) Cjq(x),i 1,2,L ,s,其中Ci(i 1,2,L ,s)是一些非零常数.定理6如果不可约多项式p(x)是f (x)的k重因式(k 1),那么它是微商f (x)的 k 1重因式.定理7 (余数定理)用一次多项式x去除多项式f(x)，所得的余式是一个常数，这个常数等于函数值f().定理8 Px中n次多项式(n 0)在数域P中的根不可能多于n个，重根按重数 计算定理9如果多项式f(x)，g(x)的次数都不超过n，而它们对

4、n 1个不同的数1, 2丄 n 1 有相同的值，即 f( i) g( i),i1,2,L n 1,那么 f(x) g(x).代数基本定理每个次数1的复系数多项式在复数域中有一根复系数多项式因式分解定理每个次数1的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积实系数多项式因式分解定理每个次数1的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积定理10 (高斯(Gauss)引理)两个本原多项式的乘积还是本原多项式定理11如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项 式的乘积，那么它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积定理12设f (x) anX

5、n an 1xn 1 La°是一个整系数多项式，而 -是它的有理s根，其中r,s互素，那么必有s|an,r|a°.特别地，如果f (x)的首项系数an 1， 那么f(x)的有理根是整根，而且是ao的因子定理13 (艾森斯坦(Eisenstein )判别法)设f (x) anxn an农1 L ao是一个整系数多项式，如果有一个素数p，使得1.p I an ；2p | an 1, an 2,L , ao；3.p2 | ao那么f(x)在有理数域上是不可约的第二章定理1对换改变排列的奇偶性.定理2任意一个n级排列与排列12L n都可以经过一系列对换互变，并且所作对换的个数与这个

6、排列有相同的奇偶性.立:a“AiCiAjal1ai2La21a22LMMan1an2L定理3设dai nak2Ai2La2nMAj表示元素aij的代数余子式，则下列公式成d,当 k i,0,当 k i.a2l A2 j Lanl Anjd,当 Ij,0,当 Ij.定理4 （克拉默法则） 如果线性方程组anx1ax?La?1 Xa?2 X2LL L LLan1X1an2X2L的系数矩阵A的行列式d Aa1nXnb1,a2nXnb2,annXnbnana12La1na21a22La2nMMMan1an2Lann0，那么该线性方程组有解,并且解是唯一的，解可以通过系数表为Xi d1,X2,L ,Xn

7、虫，其中dj是把矩阵A中第j列换成方程组的常数项d dd bi,b2,L ,bn所成的行列式，即dj,j 1,2,L , n.a11L a,j 1 b a,j 1 L ain a21 L a2, j 1 b2 a2, j 1 L a2nM M M M Man1 L an, j 1 bn an, j 1 L ann定理5如果齐次线性方程组aiXiax?ainXna21 X1a22 X2L L L La2n Xn0,0,an1X1an 2X2ann Xn的系数矩阵的行列式那么它只有零解.换句话说，如果该方程组有非零解，那么必有A 0.疋理6 (拉普拉斯疋理)设在行列式D中任意取疋了 k(1 k n

8、 1)个行.由这k行元素所组成的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.a11定理7两个n级行列式D1a211 Man1C11C12乘积等于一个n级行列式CC21C22MMCn1Cn2a12La1nb12Lbma22La2n和d2b21b22Lb2n的MMMMMan2Lannbmbn2LbnnLC1nLC2n，其中亠 日 r 石At% :ZV Pr hrMCij疋D1的第i行兀素分力别与LCnnai1bl jai2b2jL ainbnj .D2的第j列的对应元素乘积之和：Cj第三章定理1在齐次线性方程组a1 xax?La1nXn0,a21 X*22 X2La2n Xn0,L L

9、LLan1 X1an2X2LannXn0中，如果s<n,那么它必有非零解定理2设ai，a2L，a与bi，b2，L，br是两个向量组，如果1 ）向量组a1,a2L ,s可以经bbQLQ线性表出，2）r>s,那么向量组a2L ,a必线性相关.定理3 一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量定理4矩阵的行秩与列秩相等.定理5 n ' n矩阵aiia12La1n.a21AMa22La2nMMan1an2Lann的行列式为零的充分必要条件是A的秩小于n .定理6 一矩阵的秩是r的充分必要条件为矩阵中有一个r级子式不为零，同时所有r +1级子式全为零.定理7（线性方程组有解判别定理

10、）线性方程组3n X1a2 X2La1nXn821X1822X2La2nXn»有解的充分必要条件为J它的系数矩阵L L L L8n1X18n2X2LannXnbna11 2La1nan厲2La1n bA a21 a22ALa2n与增广矩阵Aa21a22La2nP有相同的秩。M MMMMM Mas1as2Lasnas1as2Lasn Q定理8在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解 系所含解的个数等于n - r，这里r表示系数矩阵的秩.a1 X1*12X2LCnXnb.定理9如果r0是方程组l l l322X2LL*2nXnb2的一个特解，那么该方an1 X1an2X

11、2LannXnbn程组的任一个解r都可以表成r = r°+h，其中h是导出组a1 Xai2X2La1nXn0,a?1 X*22 X2La2nXn0,的一个解.因此，对于方程组的任一个特解r0，当h取L L LLan1 X1an2X2LannXn0遍 它的导出组的全部解时，r = r0 + h就给出本方程组的全部解第四章定理1设a,b是数域p上的两个n ' n矩阵，那么AB = a b ,即矩阵的乘 积的行列式等于它的因子的行列式的乘积.定理2设A是数域P上n'm矩阵，b是数域P上m's矩阵，于是 秩(AB £ min秩(A),秩(B)，即乘积的秩不超

12、过各因子的秩.定理3矩阵A是可逆的充分必要条件是A非退化，而1 1 * A-1 = -A (d = A ? 0).d定理4 a是一个s'n矩阵，如果p是s's可逆矩阵，q是n'n可逆矩阵， 那么秩(A)=秩(PA)=秩(AQ).定理5任意一个S n矩阵A都与一形式为的矩阵等价，它称为矩阵 A的标 准形，主对角线上1的个数等于A的秩(1的个数可以是零).定理6 n级矩阵A为可逆的充分必要条件是它能表成一些初等矩阵的乘积：A = Q1Q2 L Qm第五章定理1 数域P上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和定理2在数域P上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵.定

13、理3任意一个复系数的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规 范形，且规范形是唯一的。定理4任意一个实数域上的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成 规范形，且规范形是唯一的。定理5(1)任一复对称矩阵A都合同于一个下述形式的对角矩阵；,其中，对角线上i的个数r等于a的秩.(2)任一实对称矩阵A都合同于一个下述形式的对角矩阵：，其中对角线上1的个数p及-1的个数r - P( r是A的秩)都是唯一确定的，分别称为A的正、负惯性指数它们的差2p- r称为A的符号差定理6 n元实二次型,冷)是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于n.定理 7 实二次型nnf(x1,X2,L ,xn)=邋 a

14、jXjXj = X Xxi=1j=1是正定的充分必要条件为矩阵A的顺序主子式全大于零.定理8对于实二次型f(x丄，xn) xax其中a是实对称的，下列条件等价：(1) f(X，L，X)是半正定的，( 2)它的正惯性指数与秩相等，( 3)有可逆实矩阵 C ，使d1d2C AC2O dn其中， di 0i, 1,2L,n,(4)有实矩阵C使A CC，( 5) A 的所有主子式皆大于或等于零 .第六章定理1 如果在线性空间V中有n个线性无关的向量1, 2，L n，且V中任一向量都可以用它们线性表出，那么V是n维的，而1, 2丄n就是V的一组基.定理2 如果线性空间V的非空子集合W对于V的两种运算是封

15、闭的，那么W就是一个子空间 .定理 31)两个向量组生成相同子空间的充分必要条件是这两个向量组等价 .2)H 1, 2，L r)的维数等于向量组1, 2,L r的秩. 定理4设W是数域P上n维线性空间V的一个m维子空间，1, 2丄m是 W的一 组基，那么这组向量必定可扩充为整个空间的基 . 也就是说，在 V 中必定可以找 到n m个向量ml，m2L，n ,使得1，2，L n是V的一组基.定理5如果VV是线性空间V的两个子空间，那么它们的交V I V2也是V的子空 间.定理6如果u,v2是V的子空间，那么它们的和V, v2也是V的子空间.定理7 (维数公式)如果v,V2是线性空间V的两个子空间，

16、那么维( V1 ) +维( V2 ) =维( V1 V2 ) +维( V1 I V2 ) .定理8和v, V2是直和的充分必要条件是等式1 2 0,i Vi (i 1,2)只有在 i 全为零向量时才成立 .定理9设v,V2是V的子空间，令w v, V2，则w V V2的充分必要条件为维( W) =维( V1) +维( V2) .定理10设U是线性空间V的一个子空间，那么一定存在一个子空间 W使V U w.定理11 VV丄，Vs是V的一些子空间，下面这些条件是等价的：1 ) wVi 是直和；2) 零向量的表法唯一；3) ViI Vj0 (i 1,2,L ,s)；ji4) 维( w ) = 维(

17、Vi).定理12数域P上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数.第七章定理1设,2,L , n是线性空间V的一组基，,2,L n是V中任意n个向量.存在 唯一的线性变换使ii,i 1,2丄，n.定理2设!，2丄，n是数域P上n维线性空间V的一组基，在这组基下，每个线性变换对应一个n n矩阵.这个对应具有以下的性质：1）线性变换的和对应于矩阵的和；2）线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；3）线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；4） 可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵.定理3设线性变换在基仆2丄，n下的矩阵是A，向量在基1, 2,L , n下的坐标是（0X2丄，Xn

18、），则 在基1，2，L , n下的坐标（ , 丫2丄， ）可以按公式yiXiy2 A X2计算.M MyXn定理4 设线性空间V中线性变换 在两组基(6)1 , 2 ,L , n( 7)下的矩阵分别为A和B，从基（6）到基（7）的过渡矩阵是X，于是B X 1AX . 定理5线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的；反过来，如果两个矩阵相 似，那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵.定理6相似的矩阵有相同的特征多项式.哈密尔顿一凯莱（Hamilton-Caylay ）定理 设A是数域P上一个n n矩阵，f（ ） E A是A的特征多项式，则f（A） An （an a22 L ann）A

19、n 1 L （ 1）n AE O.定理7设 是n维线性空间V的一个线性变换，的矩阵可以在某一组基下为对角矩阵的充分必要条件是， 有n个线性无关的特征向量.定理8属于不同特征值的特征向量是线性无关的.定理9如果 丿，k是线性变换的不同的特征值，而i1,L ,是属于特征值i的线性无关的特征向量，i 1,L ,k，那么向量组11,L , 1 ,L , k1,L , krk也线性无关.定理10设 是n维线性空间V的线性变换，！，2,L , n是V的一组基，在这组基 下的矩阵是A，贝U1) 的值域 V是由基像组生成的子空间，即V L( 1,2,L , n).2) 的秩A的秩.定理11设 是n维线性空间V

20、的线性变换，则 V的一组基的原像及1(0)的一组基合起来就是V的一组基.由此还有的秩 的零度n .定理12设线性变换 的特征多项式为f()，它可分解成一次因式的乘积f( ) (1)2)"L ( s)则V可分解成不变子空间的直和V y V2 L Vs ，其中 Vi1( i )r 0, V .定理13设是复数域上线性空间V的一个线性变换，则在V中必定存在一组 基，使 在这组基下的矩阵是若尔当形矩阵定理14每个n级复矩阵A都与一个若尔当形矩阵相似.定理15数域P上n级矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件为A的最小多项式是P上互素的一次因式的乘积.第八章定理1 一个n n的I -矩阵A(l )

21、是可逆的充分必要条件为行列式A(l )|是一个非零的数.定理2 任意一个非零的s ' n的I -矩阵A(l )都等价于下列形式的矩阵其中r?1q(l)(1,2L,r)是首相系数为1的多项式，且d(l)|dj+1(l), (i=1,2,L,r-1).定理3等价的I -矩阵具有相同的秩与相同的各级行列式因子.定理4 I-矩阵的标准形是唯一的.定理 5 两个 l - 矩阵等价的充分必要条件是它们有相同的行列式因子，或者，它 们有相同的不变因子 .定理6矩阵A(l )是可逆的充分必要条件是它可以表成一些初等矩阵的乘积.定理7设A,B是数域P上的两个n ' n矩阵.A与b相似的充分必要条

22、件是它们的特征矩阵l E - A和l E - B等价.定理 8 两个同级复数矩阵 B 相似的充分必要条件是它们有相同的初等因子 . 定理 9 首先用初等变换化特征矩阵 l E - A 为对角形式，然后将主对角线上的元 素分解成互不相同的一次因式方幂的乘积， 则所有这些一次因式的方幂 (相同的 按出现的次数计算)就是A的全部初等因子.定理10每个n级矩阵的复数矩阵A都与一个若尔当形矩阵相似，这个若尔当形 矩阵除去其中若尔当块的排列次序外是被矩阵 A唯一决定的，它称为A的若尔当 标准形 .定理11设是复数域上线性空间V的线性变换，在V中必定存在一组基，使在 这组基下的矩阵是若尔当形， 并且这个若尔

23、当形矩阵除去其中若尔当块的排列次 序外是被 唯一决定的 .定理12复数矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是，A的初等因子全为一次的.定理13复数矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是，A的不变因子都没有重 根.定理14 数域p上n ' n方阵a在p上相似于唯一的一个有理标准形，称为 a的 有理标准形 .定理15设 是数域P上n维线性空间的线性变换，则在V中存在一组基，使 在 该基下的矩阵是有理标准形，并且这个有理标准形由 唯一决定，称为 的有理 标准形 .第九章定理 1 n 维欧式空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基 .定理2对于n维欧式空间中任意一组基1, 2,L , n，都可以

24、找到一组标准正交基1, 2,L , n，使L(e忌L,和二些也丄九“才已,n.定理3两个有限维欧式空间同构的充分必要条件是它们的维数相同.定理4设 是n维欧式空间v的一个线性变换，于是下面四个问题是相互等价的：（1）是正交变换；（2）保持向量的长度不变，即对于a蜛A a = a ；（3）如果i, 2,L , n是标准正交基，那么 人片，Ae2，L , A!也是标准正交基；（4）在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵.定理5如果子空间vv, L ,Vs两两正交，那么和V + v2 + L +vs是直和.定理6 n维欧式空间v的每一个子空间V,都有唯一的正交补.定理7 对于任意一个n级实对称矩阵a，

25、都存在一个n级正交矩阵t，使T Kt = T- 1AT成对角形.n n、窗_定理8任意一个实二次型邋 aij X询马=ajii=1j=1都可以经过正交的线性替换变成平方和I疋+ I 2丫2 + L +1 nyn，其中平方项的系数I2L，In就是矩阵A的特征多项式全部的根.第十章定理1设V是P上一个n维线性空间，1, 2丄，n是V的一组基，丄耳 是P 中任意n个数，存在唯一的V上线性函数f使f（e）= a,i = 1,2L ,n.定理2 L（V ,P）的维数等于v的维数，而且f1,f2,L ,fn是L（V ,P）的一组基.定理3 设1, 2,L , n及1, 2, L , n是线性空间V的两组基

26、，它们的对偶基分别为 f1，f2，L,fn及g,g2,L,g.如果由1, 2,L , n到1, 2,L , n的过渡矩阵为A，那么由 f1, f2丄,fn到g ,g2丄,g的过渡矩阵为（A侪1.定理4 V是一个线性空间，V*是V的对偶空间的对偶空间.V到V*的映射是一个同构映射 X ? X定理5设V 是P上n维线性空间，f（a,b）是V上对称双线性函数，则存在V的 一组基1, 2，l , n，使f（a,b）在这组基下的度量矩阵为对角矩阵.数学分析第一、二章定理（确界原理）设S为非空数集若S有上界，则S必有上确界；若S有下界， 则S必有下确界.定理数列an收敛于a的充要条件是：an a为无穷小数

27、列.收敛数列的性质：定理（唯一性）若数列an收敛，则它只有一个极限.定理（有界性）若数列an收敛，则an为有界数列，即存在正数 M，使得对一切正整数n有an M .定理（保号性）若lim an a 0 （或 0），则对任何a （0,a）（或a （a,0）， n存在正数N，使得当n N有an a （或a. a）.定理（保不等式性） 设an与bn均为收敛数列.存在正数No，使n N°时有an bn，贝U lim an lim 0 .nn定理（迫敛性）设收敛数列an， bn都以a为极限，数列c.满足：存在正数No，当n No时有an c. bn，则数列c.收敛，且lim Cn a.n定理（

28、四则运算法则）若an与bn收敛，则数列an bn ， a. g ， an bn也都是收敛数列，且有lim( an bn)lim an lim bnnnnlim(an bn) lim an lim b.nnn特别当bn为常数C时有Iim(an c) lim an c, lim can climan.nnnn若在假设bn 0及lim bn 0,则岂也是收敛数列，且有lim色lim an lim bn .nbnn 0 n / n定理数列an收敛的充要条件是：an的任何非平凡子列都收敛.定理(单调有界定理)在实数系中，有界的单调数列必有极限.定理(柯西收敛法则) 数列an收敛的充要条件是：对任何给定的

29、0 ,存在正整数N，使得当n,m N时有am.第三章定理 lim f (x) A lim f(x) lim f(x) A.X Xox Xox Xo函数极限的性质：定理(唯一性)若极限lim f (x)存在，则此极限是唯一的.x &定理(局部有界性)若lim f (x)存在，则f在Xo的某空心邻域U 0(x)内有界.X x定理(局部保号性)若lim f (x) A 0(或 o)，则存在任何正数r A(或r A) X Xo存在 Uo(Xo)，使得对一切 X Uo(Xo)有 f(x) r o(或 f(x) r o).定理(保不等式性)设lim f (x)与lim g(x)都存在，且在某邻域

30、x Uo(x°)有X XoX x,f (x) g(x),则 lim f(x) lim g(x).X XoX Xo定理(迫敛性)设lim f (x) lim g(x) A，且在某x U°(x°)内有X xoX Xof (x) h(x) g(x)，则有 lim h(x) A .X Xo定理(四则运算法则)若极限lim f (x)与lim g(x)都存在，贝U函数f g， f g当 X XoXX)xXo时极限也存在，且1) limf(x) g(x)x Xolim f (x)X XoXimXog(X)；2) lim f(x)g(x)X Xolim f (x) lim g(

31、x)X XoX xo7又若lim g(x) 0，贝U f/g当xxo存在，且有X X03) lim f (x) lim f (x) lim g(x).定理x xo g(X)x Xox xo(归结原则)设f在X UO(Xo；)内有定义.lim f(x)存在的充要条件是：X X。对任何含于X UO(Xo；)内且以Xo为极限的数列xn，极限lim f(Xn)X Xo都存在且相等.定理设函数f在点X。的某空心右邻域U 0(xo)有定义.lim f(x) A的充要条X Xo定理定理件是：对任何以Xo为极限的递减数列Xn U设f为定义在U 0(Xo)上的单调有界函数，贝U右极限(柯西准则)O(Xo)，有

32、nim f (Xn) A.lim f (x)存在.x XO设函数f在UO(Xo；)内有定义.lim f(x)存在的充要条件是: X Xo任给O,存在正数()，使得对任何x，xUo(xo；)有|f(x)f(x)|定理设函数f,g,h在U0(Xo)内有定义，且有定理定理f (x) g(x)(x Xo).(i) 若 lim f (x) h(x) A，则 lim g (x) h(x) A ；X xx x0(")若jn鵲B，则Jn器B.(i )设f在Uo(Xo)内有定义且不等于O.若f为x xo时的无穷小量，则-1为XXo时的无穷大量.1(ii )若g为XXo时的无穷大量，贝U丄为XXo时的无

33、穷小量.g第四章函数f在点Xo连续的充要条件是：f在点Xo既是右联系，又是左联系.连续函数的性质: 定理(局部有界性)若函数f在点Xo连续，则f在某U(Xo)内有界.定理(局部保号性)若函数f在点Xo连续，则f(Xo) 0 (或0)，则对任何正数r f (Xo)(或rf(Xo)，存在某U(Xo)，使得对一切x U(x°)有f(x ) r (或 f(X ) r).定理(四则运算)若函数f和g在点Xo连续，则f g， f g， f ： g ( g(Xo) o) 也都在点Xo连续.定理 若函数f在点Xo连续，g在点Uo连续，Uo f (Xo)，则复合函数g O f在点Xo连续定理(最大、最

34、小值定理) 若函数f在闭区间a,b上连续，则f在a,b上有最大值和最小值定理(介值性定理)设函数f在闭区间a,b上连续，且f(a) f(b).若u为介于 f(a)与f(b)之间的任何实数(f(a) u f(b)或f (a) u f (b)，则 至少存在一点Xoa,b，使得f(xo) u.定理 若函数f在a,b上严格单调并连续，则反函数f 1在其定义域f(a), f(b)或f(b), f (a)上连续.定理(一致连续性定理)设函数f在闭区间a,b上连续则f在a,b上一致连续.定理设a o，为任意实数，则有a a a ,(a ) a .定理指数函数ax( a o )在R上是连续的.定理一切基本初等

35、函数都是其定义域上的连续函数.定理 任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数.第五章定理 若函数f在点Xo可导，则f在点Xo连续.定理 若函数y f (X )在点Xo的某邻域内有定义，则f (Xo)存在的充要条件是f(X。)与 f (Xo)都存在，且 f(X。) f(X。).定理(费马定理)设函数f在点Xo的某邻域内有定义，且在点Xo可导.若点Xo为f的极值点，则必有f (Xo)0.定理(达布定理)若函数f在a,b上可导，且f (a) f (b)，k为介于f (a)，f (b)之间任一实数，则至少存在一点a,b，使得f ( ) k.定理 若函数u(x )和v(x )在点Xo可导，贝U函数f(x

36、) u(x) v(x )在点Xo可导，且f (Xo) U (Xo) V (Xo).定理 若函数U(X )和V(X )在点Xo可导，贝q函数f(x) u(x) V(X )在点Xo可导，且f (Xo) U (Xo)v(Xo) U(Xo)V (Xo).定理 若函数U(X )和V(X )在点Xo可导，且V(Xo) o，则f (X) 0刃在点Xo可导,V(X)且 f (Xo)U (Xo)v(Xo) U(Xo)V (Xo)2v(Xo)定理 设y f(x)为x(y)的反函数，若(y)在点y的某邻域内连续，严格单调且(yo) o,则 f (x)在点 Xo ( Xo(yo)可导，且 f(X。).(yo)定理 设

37、u(x)在点Xo可导，y f (u)在点Uo(Xo)可导，则复合函数fo在点 Xo 可导，且(f o )(Xo) f (Uo) (Xo) f ( (Xo) (Xo).定理函数f在点Xo可微的充要条件是函数f在点Xo可导，而且y Ax ( X)中的A等于f (Xo).第六章定理(罗尔中值定理)若函数f满足如下条件:(i ) f在闭区间a,b上连续；(ii ) f在开区间a,b内可导;(iii ) f(a) f(b),则在a,b内至少存在一点，使得f ( ) 0.定理(拉格朗日中值定理) 若函数f满足如下条件：(i)f在闭区间a,b上连续；(ii ) f在开区间a,b内可导;则在a, b内至少存在

38、一点，使得 f()b a定理 设f(x)在区间I上可导，则f(x)在区间I上递增(减)的充要条件是f (x) 0( 0).定理 若函数f在a,b内可导，贝U f在a,b内严格递增(递减)的充要条件是:(i )对一切 x a,b，有 f (x) 0 ( f (x) 0)；(ii )在a, b内的任何子区间上f (x)不恒为0.定理(柯西中值定理)设函数f和g满足(i )在a,b上都连续；(ii )在a, b内都可导；(iii ) f (x)和g (x)不同时为零；(IV) g(a) g(b)，则存在ab，使得宗定理若函数f和g满足:(i ) lim f (x) lim g(x) 0 ；XX0x

39、x0(ii )在点X。的某空心邻域U(X。)内两者都可导，且g (x)0 ；(iii ) lim丄凶 A ( A可为实数，也可为 或), x x)g (x)则代器代誥)A.定理若函数f和g满足：(i ) lim f (x) lim g(x) ；x Xox Xo(ii )在X。的某右邻域U 0(x。)内两者都可导，且g(x) 0 ；(iii )lim丄凶 A( A可为实数，也可为 或 )，x Xo g (x)则 Hm 3 lim 3 a.x xo g(x) x xo g (x)定理 若函数f在点X。存在直至n阶导数，则f(x) Tn(x)(x Xo)n)，即定理f(x) f (Xo) f (Xo

40、)(X Xo)(泰勒定理)若函数f在在(n 1)阶导函数,f(X。)2!(Xa,b上存在直至则对任意给定的Xo)2(n) /f(Xo)(X Xo)n(x Xo)n)n阶的连续导函数，在a,b内存X, Xoa,b，至少存在一点a,b，使得f(x)f (Xo) f (Xo)(x Xo)2t(x xo)2 L(n)/f (Xo)(X Xo)n(n 1)() (n 1)!(X Xo)n 1定理(极值的第一充分条件)设f在点Xo连续，在某邻域Uo(Xo；)内可导.(i )若当 X (Xo,Xo)时 f (x) o，当 X (Xo, Xo)时 f (x) o，则 f在点Xo取得极小值.(ii )若当 x

41、(xo,Xo)时 f (x) o，当 X (Xo,Xo )时 f (x)0,则f在点Xo取得极大值.定理(极值的第二充分条件)设f在X。的某邻域U(x。；)内存在一阶可导，在X X0 处二阶可导，且 f (x)0，f (x) 0.(i )若f (X) 0，则f在点Xo取得极大值.(ii )若f (x) 0，则f在点Xo取得极小值.定理(极值的第三充分条件)设f在X0的某邻域内存在直到n 1阶导函数，在X0处 n 阶可导，且 f(k)(x。)0(k 1,2,L , n 1)， f(n)(x。)0则(i )当n为偶数时，f在点x。取得极值，且当f (n)(x0) 0时取得极大 值， f(n)(X0

42、) 0时取得极小值 .(ii )当n为奇数时，f在点X0处不取得极值.定理 设 f 为区间 I 上的可导函数，则下述判断互相等价：1 f 为 I 上的凸函数；2 f为I上的增函数；3对I上的任意两点为也，有f(X2) f(G f (治)区xj.定理设 f 为区间 I 上的二阶可导函数，则在 I 上 f 为凸(凹)函数的充要条件是f ( x) 0 ( f ( x) 0 )， x I .定理 若f在X0二阶可导，则(x°,f(x。)为曲线y f(x)的拐点的必要条件是f ( x) 0 .定理 设f在X0可导，在某邻域U(x。)内二阶可导.若在U(X0)和U(X。)上f (x) 的符号相反

43、，则(X0,f(x°)为曲线y f(x)的拐点.第七章定理(区间套定理) 若 an,bn 是一个区间套， 则在实数系中存在唯一的一点 ，使得an,bn ， n 1,2,L ,即 anbn， n 1,2,L ,定理(魏尔斯特拉斯聚点定理) 实轴上的任一有界无限点集 S 至少有一个聚点 .定理(海涅-博雷尔有限覆盖定理)设H为闭区间a,b的一个(无限)开覆盖， 则从 H 中可选出有限个开区间来覆盖 a,b .有界性定理 若函数 f 在闭区间 a,b 上连续，则 f 在 a,b 上有界.最大、最小值定理 若函数 f 在区间 a,b 上连续，则 f 在 a,b 上有最大值和最 小值.介值性定

44、理 设函数f在闭区间a,b上连续，且f(a) f(b).若u介于f(a)与f(b) 之间的任意实数( f(a) u f(b) 或 f(a) u f(b) )，则存在 x0a, b ，使得 f (x0 ) u .一致连续性定理 若函数 f 在区间 a,b 上连续，则 f 在区间 a,b 上一致连续 .第八章定理 若函数f在区间I上的连续,则f在I上存在原函数F , F (x) f(x),x I .定理 设 F 是 f 在区间 I 上的一个原函数，则(i) F C也是f在I上的原函数，其中C为任意常量函数；(ii) f在I上的任意两个原函数之间，只可能差一个常数.定理 若函数f与g在区间I上都存在

45、原函数，ki,k2为两个任意常数，则kif k2g在 I 上也存在原函数，且 k|f(x) k2g(x)dx k1 f(x)dx k2 g(x)dx.定理 (换元积分法)设 g(u) 在 , 上有定义， u (x) 在 a,b 上可导，且(x)， x a,b ，并记 f(x) g( (x) (x).(i )若g(u)在 , 存在原函数G(u)，则f(x)在a,b也存在原函数F (x) ， F (x) G( (x) C即 f(x)dx g( (x) (x)dx g(u)du G(u) C G( (x) C .(ii )又若 (x)0, x a,b，则上述命题(i )可逆，即当f(x)在a,b存在 原函数 F(x) 时， g(u) 在 , 也存在原函数 G(u) ， 且G(u) F( 1(u) C ，即 g(u)du g( (x) (x)dx f(x)dx F(x) C F( 1(u) C.定理(分部积分