解题研究：剖析函数图象中的平移与对称变换

1、函数图象中的平移与对称变换的剖析江西省定南县第三中学 陈雪良 341900 联系电话邮箱：1262108011摘要：函数图象的平移与对称是初中函数中的难点之一，在各地中考中频繁出现，解题的关键是把握平面直角坐标系中有关反比例函数、一次函数、二次函数的图象的平移与对称变换的规律及本质特征，借助数形结合的思想及方法进行分析与突破，也为今后继续深入学习函数做好知识准备关键词：函数图象；平移变换；对称变换；函数模型在近几年各地的中考中，函数图象的平移与对称变换题，让很多学生感到费时、烦琐与无可奈何，这类题往往形式多变，从注重考查函数图象的平移、对称，到直接运用变换操作的计算题

2、，发展到基于各类函数图象的变换操作的综合探究题，甚至是压轴题.考查的着眼点日趋灵活，能力立意的意图日渐明显.这对于识别和理解相关函数图象的变换、空间思维能力、综合解决实际问题的能力都提出了比以往更高的要求.其实，我们只要把握平面直角坐标系中函数图象的平移与对称变换的本质特征，借助数形结合的思想及方法，便能发现许多的意想不断的思路与方法，做到胸有成竹、有的放矢.现结合2009年各地中考试题进行说明与剖析,希望能给忙于备考的教师和学生的解题带来一定的启示与帮助. 一、函数图象的平移例1 （湖北·孝感卷）将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则的值为（ ）。（A）1 （B）2 （C）

3、3 （D）4 解析：将函数的图象向右平移个单位，根据二次函数图象平移法的规律，可得y(x)2 +(x-)。整理，得yx2(2-1)x+2-。而平移后的函数为，可知-(2-1)=-3，即2-=2。从而求出=2。故选B【点评】当平移变换前后的函数图象的解析式都已确定，并且在平移变换过程中，点的坐标或平移距离不好确定（表示）时，或二次函数的解析式为一般式时，尤其是顶点式运用比较麻烦时，便可借助函数图象平移，从函数的解析式入手根据平移规律进行函数变量x、y的增减，再结合题目的要求分析、综合与处理，从而达到快速解题的效果与目的如果用常规教材中的方法，这2道例题都要将抛物线的一般式化为顶点式，再进行观察、

4、比较、发现与求解，学生往往很难入手，再说对于大多数学生来说，将抛物线的一般式化为顶点式是个易错点，也是难点（在配方过程中涉及的计算容易出错）当函数的图象向左或向右平移h个单位时，原函数解析式中的自变量x变为x-h，也就是直线、双曲线、抛物线沿x轴方向左右平移h个单位时，只能给自变量x带来变化，即、；其中，如果右移，则h为正数；如果左移，则h为负数，而函数值不变当函数的图象向上或向下平移m个单位时，原函数的函数值y变为y+m，也就是直线、双曲线、抛物线沿y轴方向上下平移m个单位时，只能给函数y带来变化，即、；其中，如果上移，则m为正；如果下移，则m为负，而自变量不变.二、函数图象的对称例2 （湖

5、南·常德卷）一个函数的图象关于轴成轴对称图形时，称该函数为偶函数那么在下列4个函数；中，偶函数是 。解析：填.【点评】解决此题的关键是运用数形结合的思想理解偶函数的概念，其实质是函数图象关于轴成轴对称图形，运用函数的对称变换规律，是自变量变为，函数值不变。此题的解法与理解便水到渠成此题如果用常规方法对于学生来说理解偶函数是个难点，显得非常抽象例3 （福建·宁德卷）如图1、图2，已知抛物线C1：的顶点为点P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1（1）求点P的坐标及的值；（2）如图1，若将抛物线C1绕点O顺时针旋转180°，试写出旋转后抛物线的

6、解析式；抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为点M。当点P、M关于点B成中心对称时，求C2与C3的解析式； （3）如图2，点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4抛物线C4的顶点为点N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标yxAOBPM图1C1C2C3图1yxAOBPN图2C1C4QEF图2解析：（1）由题意，得P（-2，-5）。将点B（1，0）代入C1的解析式能快速地求出。（2）抛物线C1绕点O顺时针旋转180°，则说明变

7、量x、y都变为相反数。可得C2的解析式。当点P、M关于点B成中心对称时，可知抛物线C2平移6个单位得到C3。借助平移规律便可求解C2的解析式。C3的解析式。（3）抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4其实就是点P、N关于点Q成中心对称。根据对称性，可设字母m表示出N、E、F等各点的坐标。探究以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，要进行适当的分类考虑，三个角都有为直角的可能。当PNF90º时，PN2+ NF2PF2。解得m。所以点Q的坐标为（，0）。当PFN90º时，PF2+ NF2PN2。解得m。所以点Q的坐标为（，0）。因为PNNK10NF，所以NP

8、F90º。【点评】二次函数图象的对称及平移规律，它适用于任意函数解析式的变换，尤其是在压轴题中有关函数图象变换解析式的求解，凭借平移及对称规律的解法可直接写出，显通性与通法显得省时又省力，否则要先将一般式化为顶点式，再利用原顶点的坐标对称变换，求解变换后的顶点坐标，进而借助待定系数法求解，显得费时且烦琐 此种方法的解题关键在于抓住:如果函数图象关于x轴对称，则函数值y变为相反数。而自变量x不变；也就是直线、双曲线、抛物线关于x轴对称时，函数值y变为y的相反数（y），即、；如果函数图象关于y轴对称，则自变量x变为相反数，而函数值y不变，也就是直线、双曲线、抛物线关于x轴对称时，函数值y

9、变为y的相反数（y），即、；如果函数图象关于原点成中心对称，则函数变量x、y都变为相反数、，也就是直线、双曲线、抛物线关于原点中心对称时，变量x、y都发生变化，都变为x、y的相反数（x，y），即、 函数是整个初、高中数学的重点和难点，由于对函数性质的研究往往是通过研究函数图象及其变换操作得到的，所以函数图象及其变换也就成为中考的固定考点题型由过去的填空题、选择题发展到解答题中，由单一知识点（函数图象平移）的考查，发展到近几年压轴题中有关函数图象变换后探究相关图形的形状、位置及大小的变化，进而考查学生在具体情境中分析问题与解决问题的能力考查的重心由过去的 “会运用函数图象理解和研究函数的性质”，进而发展到借助函数图象的变换考查多种函数图象的综合与应用，并结合有关函数的图象与性质，更为深刻地渗透函数与函数、函数与方程、函数与不等式、函数与其他学科或现实生活等方面的联系这就要求我们不仅要熟练掌握一些基本函数的图象特征及函数图象