生物医学信号处理历年试题_电子科大_饶妮妮

1、 生物医学信号处理试卷集试卷一答案和评分标准：一、假设有两个离散平稳随机过程，它们统计独立，求这两个随机过程的乘积的自相关函数和功率谱密度。（14分）解：设z=xy，（6分）（4分）=（4分）二、设线性系统如图所示，已知相互独立，且，。要求设计一个滤波器，试确定c使得滤波后的输出与真实信号的均方误差最小，即最小。（14分）解答：设误差为其自相关为：（2分）做傅立叶变化：（4分） （2分） （2分） （3分）求导等于零： （1分）三、简述横向结构的随机梯度法算法步骤。（14分）解答：步骤1：（2分）步骤2：（4分）步骤3：（5分）转入步骤2，代入得到W（T+2），e（T+2）.使得W接近最优解。

2、（3分）四、利用推导L-D算法来解Y-W方程：；。（16分）解：P阶Y-W方程写成矩阵形式：，p-1阶方程：， ，（2分）（2分）=，所以有：（4分）=，（4分）由最后一行：（2分）由第一行：，得到三个推导式。（2分）五、有一信号，其自相关函数，被一零均值，方差为0.4的白噪所淹没，与统计独立。设计一个长度等于3的FIR数字滤波器，其输出使得最小化。（14分）解：根据均方误差最小准则得到W-H方程：，其中x=s+n，表示输入信号，因为N=3，且，代入W-H方程得：（4分）把，代入上式得三个方程：（4分）解得：（4分）所以设计的滤波器的传递函数为：（2分）六、如何用AR法进行谱估计？为什么AR谱

3、估计需要的数据比古典法短？（14分）解： （2分）在上图模型中，输入输出的功率谱关系为：（3分）（5分）古典法是通过DFT法计算得到功率谱估计的，DFT是把数据看成是周期重复的假设下做出的；AR谱则是对延迟p范围外的自相关函数做预测延伸取得的，因而数据的有效范围宽得多。（4分）七、画出卡尔曼滤波的信号模型和一步递推法模型图。（14分）解：信号模型：（7分）一步递推法模型：（7分）试卷二答案和评分标准：一、是零均值，方差为的白噪过程，把它先送入一个平均器，得，然后再将送给一个差分器，求的均值、方差、自相关函数和功率谱密度。（14分）解答：（2分）（2分）=/2=（2分）=0=/4当|m|>

4、=3，自相关都为0。=（6分）（2分）二、一个一阶递归滤波器，输入是零均值、方差为1的白噪声，滤波方程是证明：；求。（14分）解：，（2分）对滤波方程求传递函数：，则，（4分）而，所以得证：（2分），而，（3分）（3分）三、估计N点长的、零均值、实序列的功率谱，用Welch法过程如下：证明：如果各段数据互相独立，则Welch法谱估计的均值是，其中；（8分）归一因子U的作用是使得估计的均值渐进无偏，即当M不断增加时有。证明：U=。（8分）证明：由于x是零均值的，所以，代入上式（4分）定义，则（4分）证明：当M逐渐增加时窗W（w）的宽度逐渐减少，趋于冲击相应，此时，欲使均值渐进无偏，则后半部分应等

5、于1：，即（4分），后一项正交积分为零，所以U=（4分）四、设已知，用L-D算法为此信号估计p1，2，3阶AR模型的系数和激励白噪的功率。（14分）解答：计算自相关函数：，（4分）下面为了简写，省略下标s。按照L-D算法得初始功率和系数为：（2分）P=1：（2分）P=2：（3分）P=3：（3分）五、设x=s+n，s与n统计独立，信号x的自相关的z变换为，噪声n的自相关的z变换为1，设计一个因果的维纳预测器估计s(n+1)，并求最小均方误差。（14分）解： 由于，容易找到最小相位系统和白噪声方差，（2分）N1，（4分）对括号里面求z反变换，注意括号内的收敛域为，取因果部分，也就是第一项，所以（2

6、分），把上式写成差分方程形式有：（3分）最小均方误差为：（3分）六、对于一个随机信号，可以对它进行频谱估计，叙述AR谱法和周期图法相比的优点。（14分）解答：两法原理区别，（2分）、平滑（3分）、需要较短数据即可（3分）、频率分辨率高（3分）、峰值包络线的好估计（3分）等。七、画出自适应噪声抵消的框图，并证明滤波后的输出将在最小均方意义下抵消噪声，同时，抵消后的结果将在最小均方意义下逼进信号。（14分）解答：因为 （2分）（4分）所以当均方误差最小时，s与e最逼近，同时y与n也最逼近。即滤波后的输出y将在最小均方意义下抵消噪声n，同时，抵消后的结果e将在最小均方意义下逼进信号s。（2分）框图：

7、 （6分）解： （7分）信号较弱，在宽带噪声背景下，突出信号而压制噪声，就是谱线增强。（2分）把xT延迟后再自适应调整，使得nT-与nT不相关。但信号s延迟后与原信号是相关的。使得自适应滤波后输出yT趋于sT，eT趋于nT。（5分）试卷三答案和评分标准：一、假设与是一对z变换对，包含单位圆，证明可分解为如下形式：。（14分）证明：，所以是实、非负的函数，则是实函数，则共轭对称：（3分）（6分）设，则该系统是因果稳定的，它的逆系统存在也是因果稳定，则该系统是最小相位系统。（3分），所以得证。（2分）二、设，是相互独立的随机变量，在0，2间均匀分布，求x的均值、自相关函数、功率谱密度。（14分）解

8、：，两个信号分别为-1，1之间均匀分布，所以0（4分）（3分）（4分）（3分）三、直接法估计自相关函数是否一致估计。并证明。（14分）解：是一致估计。（1分）（3分）（6分）（4分）N无穷大时，方差趋于零。得证。四、如下图所示系统均为因果系统，输入x为零均值、方差为的白噪，已知，。利用最小均方误差求a，b。（16分）解：（2分）；（2分）；（2分）（2分）（2分）对a，b分别求偏导等于零，解两个方程得到三对解：（2分）a=0.906，-0.519，1.659；b=-0.311，0.114，-5.69；（2分）代入均方误差得到E=0.203，0.724，19.23；最后一对解舍去，第一对解是全局

9、最小解，第二对解是局部最小解。（2分）五、用L-D算法计算三阶前向预测误差系统函数。已知输入信号的自相关为：R（0）=3，R（1）=2，R（2）=1， R（3）=0.5。（14分）解：1阶：（3分）；二阶：（4分）三阶：（5分）系统函数：（2分）六、已知，w为零均值、方差为的白噪，求用估计的均值的方差。（14分）解：可以推导出（4分），（2分）（2分）（4分）（2分）七、下图中，已知，y与v不相关，设计一个因果IIR维纳滤波器，并写出差分方程和最小均方误差。（14分）解：（2分）（2分）由于，容易找到最小相位系统和白噪声方差，（2分），（4分）差分方程：（2分）最小均方误差为：=4/9（2分）

10、试卷四答案和评分标准：一、一个零均值的离散时间随机过程各值x(n)，x(n+m)（m不等于零）均互相独立，方差为。求它的自相关函数和功率谱。把x(n)送入到两点平均器中，得输出为，求y(n)的自相关函数和功率谱。（14分）解：；所以， （4分）（3分）（3分）（2分）（2分）二、设线性时不变系统如图所示，输入为平稳随机信号，证明输入、输出功率谱有如下关系：。（14分）证明：（4分）（4分）（3分）（3分）三、自相关法估计功率谱是否一致估计。并证明。（14分）解：不是一致估计。（1分）偏差：，当N无穷时，所以是渐进无偏。（3分）方差：（3分）对零均值高斯变量有：（3分）（2分），所以不是一致估计

11、。（2分）四、详述预白化法解求解维纳-霍夫方程的原理和步骤。（16分）解：待求的问题就是最小均方误差下的最佳，如图（a）所示，为了便于求这个，将图（a）的滤波器分解成两个级联的滤波器：和G（z），如图（b）所示，则（a）（b）（4分）有了上述的模型后，白化法求解维纳霍夫方程步骤如下：1) 对观测信号的自相关函数求z变换得到；（2分）2) 利用等式，找到最小相位系统；（2分）3) 利用均方误差最小原则求解因果的G（z）；（4分）4) ，即得到维纳霍夫方程的系统函数解。（2分）所以维纳霍夫方程的系统函数解表示为（2分）五、把卡尔曼滤波的状态方程和量测方程给出：，上式中和是已知的，是观测到的数据，也是已知的，假设信号的上一个估计值已知，如何来求当前时刻的估计值。画出该递推模型。（14分）解：上两式中如果没有与，可以立即求得，估计问题的出现就是因为信号与噪声的叠加。假设暂不考虑与，用上两式得到的和分别用和表示，得：；（3分）必然，观测值和估计值之间有误差，它们之间的差称为新息（innovation）：（3分）显然，新息的产生是由于我们前面忽略了与所引起的，也就是说新息里面包含了与的信息成分。因而我们用新息乘以一个修正矩阵，用它来代替来对进行估计：（4分）可以画出卡尔曼滤波对进行估计的递推模型，输入为观测值，输出为信