函数项级数一致收敛的几个判别法及其应用(终极完整无敌升华版)

1、 函数项级数一致收敛性判别法及其应用 栾娈 20111101894 数学科学学院数学与应用数学11级汉班 指导老师：吴嘎日迪摘要:本文证明了常用的函数项级数一致收敛性的判别法,并通过例题给出了它的应用.另外,仿照极限的夹逼原理,得到函数项级数一致收敛的夹逼判别法.关键词:一致收敛,函数项级数,和函数 1.函数列与一致收敛性 (1)函数项级数一致收敛性的定义:设有函数列S（）(或函数项级数的部分和序列)。若对任给的，存在只依赖于的正整数（），使> （）时，不等式 对上一切都成立，则称S（）（）在上一致收敛于S（）.一致收敛的定义还可以用下面的方式来表达：设 ， 如果 就称S（）在上一致收敛

2、于S().例1 讨论 0，1的一致收敛性由于S（）=0,故 ，不收敛于零，故在0，1上非一致收敛(2)函数项级数一致收敛的几何意义:函数列一致收敛于的几何意义：对任给的正数，存在正整数，对一切序号大于的曲线y=()都落在以曲线y= ()+与y=()-为上，下边界的带形区域内.2.函数列一致收敛的判别准则（充要条件）柯西准则函数项级数在上一致收敛的充要条件是; 证明：必要性： 已知在区间一致收敛，设其和函数式（）,即 也有 于是充分性：已知有 从而在区间收敛，没其和函数是（）,因为是任意正整数，所以当时，上述不等式有即函数项级数在区间一致收敛.余项准则函数列在上一致收敛于的充要条件是3.函数项级

3、数一致收敛判别法（1）充分条件定理1（魏尔斯特拉斯判别法）若对充分大的,恒有实数使得对上任意的都成立，并且数项级数在上一致收敛.证明 由的收敛性，对任给的>0,可得（），使>()时 （p=1,2,）,对上的一切的我们有 ，由一致收敛的柯西充要条件即得定理的结论.例2 若绝对收敛，则sin和cos 在内都是绝对收敛和一致收敛的级数.事实上， ， ，由魏尔斯特拉斯判别法即可得证.定理2(阿贝尔判别法)若在上一致收敛，又对中每一固定的,数列单调.而对任意的和中每个，有（不依赖于和的定数），那么在上一致收敛.这个定理与数项级数的阿贝尔定理相似，其证明也大体相同，只要利用阿贝尔引理即可。事实

4、上，由的一致收敛性，对任意给定的>0,可得（），使>()时恒有 （p=1,2），固定,由上式及的单调性，利用阿贝尔引理得到 再从一致收敛的柯西充要条件即可.例3设级数收敛，证明.证明：因为，且，故单调且一致有界，又级数收敛，即在上一致收敛，所以由阿贝尔判别法知，在上一致收敛，又上连续，故在上也连续，即 .定理3（狄利克雷判别法）设的部分和在上一致有界，又对内每一,数列单调，并且函数列在上一致收敛于零，则在上一致收敛.证明 设(不依赖于和的定数)，那么对上任意的和任意的正整数恒有 因此，利用阿贝尔引理 ，再由一致收敛于零即得.例3 讨论的一致收敛性设 易见对一切及都有，即一致有界，另

5、外，对任意固定的都有 所以对任意的x单调递减，并且有 故在上随而一致收敛于零.依狄利克雷判别法知级数内一致收敛.（2）必要条件函数项级数在数级上一致收敛的必要条件是函数列在上一致收敛于零.4.由极限的夹逼原理得到的一致收敛判别法定理4:已知在上一致收敛，且N，当在上一致收敛.证明：不妨设开始，便有，由在上一致收敛，根据一致收敛的柯西准则：N，当N，有 即 而 (=1,2,)就必有 此即上满足柯西一致收敛条件.推论：已知数项级数都收敛，若N，当，则函数项级数一致收敛，显然当即为常数项级数，则可判断收敛.定理5：设函数数列N. 及都绝对收敛，则级数在一致收敛.证明时只要注意有并用定理四的推论即得.参考文献;1. 欧阳光中，朱学炎，金福临等.数学分析第三版下册M，北京:高等教育出版社，1978,7589