动态几何软件对小学数学教学的影响

1、動態幾何軟件對小學數學教學的影響The impacts of dynamic geometry on the teaching and learning of primary mathematics吳銳堅*、胡強輝*香港教育學院 .hk*香港教育學院 .hk隨著電腦的普及、網絡通信的高速發展和多媒體技術的進步，電腦輔助教學已成為現今教育工作者一個必須探討的課題。在香港，小學教師運用電腦來輔助數學教學，很多時只著重於文稿演示，例如利用PowerPoint製作多媒體的幻燈片以代替傳統的板書及高影片。這無疑對提高學生學習興趣有所幫助，但電腦輔助數學教學是否只

2、限於教學媒體的改變？除了提高學習興趣外，電腦輔助教學還是否對數學課程還有更深層的影響？本文透過一個專為數學教學而設計的軟件動態幾何軟件，和現行香港小學數學課程中一個重要課題 圖形與空間，闡述數學教師可以如何透過電腦的運用，從而轉變其教學的策略及提高教學效能。With the popularization of computers, rapid development of Internet and the advances of multimedia technology, computer-assisted teaching is high on the teachers' agen

3、da. In Hong Kong, the use of computers in the classroom to many primary school teachers simply means the use of presentation software, such as the use of PowerPoint to produce multimedia slides as substitute for the chalkboard and OHP. It can certainly motivate students to learn, but does computer-a

4、ssisted teaching imply merely a change of teaching media? Apart from motivation, does the use of computers have further implications for mathematics curriculum? In this paper, we will demonstrate, through the use of dynamic geometry, a software which is designed primarily for the teaching and learni

5、ng of mathematics, in teaching the topics in 'Shape and space', a crucial dimension of Hong Kong primary mathematics syllabus, how computers could be used to change the teaching strategies and enhance the effectiveness of teaching mathematics in schools.關鍵字：電腦輔助教學、動態幾何、數學教學1 引言隨著電腦的普及、網絡通信的高

6、速發展和多媒體技術的進步，如何把電腦輔助教學落實至課堂實踐的層面已成為現今教育工作者一個必須探討的課題。在各個學科之中，數學一直被視為最有可能實踐這種符合時代需求的教學模式的學科之一。可是，不少小學教師運用電腦來輔助數學教學，很多時只重於文稿演示，例如利用PowerPoint製作多媒體的幻燈片以代替傳統的板書及高影片。這無疑對提高學生學習興趣有所幫助，但電腦輔助數學教學是否只限於教學媒體的改變？除了提高學習興趣外，電腦輔助教學還是否對數學課程還有更深層的影響？在香港小學課程中，圖形與空間範疇中的幾何圖形學習是為了讓學生認識周圍事物的特性，了解物體的形狀、大小及相互間的位置(例如方向及距離)，從

7、而發展他們的空間感和空間想像(香港教育處數學組，2000) 。根據課程綱要的建議，初小學生(小一至小三)透過這個範疇的學習，應能辨別及描述平面和立體圖形，並把它們分類，直觀地認識立體圖形的基本性質，認識平面圖形的性質，從已知條件製作平面和立體圖形、認識、描述及欣賞圖形。對高小學生(小四至小六)，圖形與空間範疇的學習目標為理解平面和立體圖形的性質，進行平面和立體圖形的製作(香港課程發展議會，2000)。傳統上，小學生很難有機會在課堂上探究圖形的特性，更不要說發現新的圖形性質或學習幾何證明了。這是否單單基於 van Hiele 幾何思想發展理論，學生不應學習一些他們還未達到的階段中的東西? 我們在

8、下本試圖透過一個專為數學教學而設計的動態幾何軟件 Geometer's Sketchpad，闡述數學教師可以如何透過軟件的運用，從而轉變其教學的策略及提高教學效能。2 Geometer's Sketchpad的運用及其對小學數學教學的影響根據van Hiele理論，兒童幾何思想發展可分為五個階段：視覺的、分析的、非正式演繹或抽象的、正式演繹、和嚴格階段 (Fuys, Geddes, & Tischler, 1988)。對第一階段的學生，他們只能依據圖形的外表和整體形狀來分辨圖形，他們不懂分析圖形的性質。老師示例時必須注意例子的多樣性。例如，老師講解正方形時，示例若只限於

9、圖1(a) 中的正方形，學生可能並不會把圖1(b)中的圖形叫做正方形(周淑惠，1995，頁129)。 圖1 圖2為了解決這個問題，老師通常會讓學生操控(斜放、提起、反轉、平移、旋轉等)有關圖形的實物(例如正方形的卡紙)，加強他們對圖形整體外貌的把握。但另一問題亦隨之出現，學生在操控實物時可能受該實物的非幾何性質(例如顏色、表面質感、重量等)影響他們對圖形特性的認識。在這方面，老師如果讓學生透過動態幾何軟件操控有關圖形(圖2)，除了有可避免實物非幾何性質的干擾的優點外，它在操控上比上述實物操控更具多樣性(如放大縮小)。動態幾何軟件的其中一個特點，是它可提供無數例子，供老師示範或學生探究。這在傳統

10、教學上很難做到。例如， 辨形三角形時，老師很多時在有意無意間忽略鈍角三角形，但當學生利用動態幾何軟件操控三角形時，他們很容易在拖動頂點時便會發現不同類形的三角形的存在。另外，在學習梯形面積的計算時，老師即使打算透過實物圖形併砌來說明有關計算原理，但限於圖形多樣性不足，一則說明難具說服力(是否其他梯形都一定可併砌出平行四邊形?)，二則很難讓學生自行探究出有關原理。透過以下動態幾何軟件的設計(圖3)，老師可隨意改動梯形的形狀，然後讓學生觀察(或學生自行探究)它們是否總可合成一平行四邊形： 圖3 圖4由此可見，動態幾何軟件的互動和多樣性，可提供更多空間讓學生進行探究活動 (Bennett, 1999

11、)。除此之外，動態幾何軟件對老師作動態示範(例如圖4的密舖)，亦能提供不少幫助。3 結論根據過往的研究，大多數小學生只能達到van Hiele理論中首三個階段(劉秋木，1996)，有人因此認為在小學不宜學習幾何證明。動態幾何軟件最多只能在小學中作為驗證工具(例如圖5中驗證任意三角形的內角和必為)： 圖5可是，驗證某些幾何猜測的真假，是否真的那麼重要嗎? 正如Rehuda Rav 所言，數學知識的重點在於定理的證明而非它的內容 (De Villiers, 1999)。 對學生來說，學習探究的精神、證明中的技巧、和邏輯的思維比幾何定理或性質的認識或背誦更為重要。只要我們把證明的要求放鬆，小學生其實

12、也可領略證明的樂趣，例如，上述三角形內角和的證明便可透過以下方式加以說明 (圖6)：圖6電腦數學輔助教學不單是教學媒體的改變，它更可意味著數學學習目的和內容的改變，我們還會認為認識或背誦給定的幾何性質比幾何性質的開放式探究更為重要? 畢氏定理的證明(例如圖7)一定不能成為小學課題嗎? 圖7參考文獻香港課程發展議會(2000) ，小學課程綱要：數學科(小一至小六)(第二稿)，香港，教育處。香港教育處數學組(2000)，空間探究：第一及第二學習階段，香港，教育處。周淑惠(1995) ，幼兒數學新論教材教法，台北，心理出版社。劉秋木(1996) ，國小數學科教學研究，台北，五南。Bennett, D. (1999). Exploring geometry with the Geometer's Sketchpad. Emeryville, CA: Key Curriculum Press.De Villiers, M.D. (1999). Rethinking proof with