幂律分布研究简史_胡海波

1、 评 述 绝、 交通阻塞 、 以及金融市场中的幂律分布现象 . 这 种理论的启示是小事件和大事件可 能有相同的起 因 , 这为地震 、 恐龙灭绝 、森林火灾等复杂大系统的 突变提供了新的解释 . 以恐龙灭绝为例 , 古生物学家 经过对化石的研究指出 , 这一重大事件不是经历了 数万年或者几年 , 而是在 20 多天的突变中 “一朝覆 灭 ”的. 恐龙的灭 绝可以被看作是处于临界状态下 的生态系统发生的一次 “大雪崩 ”. 4 . 3HOT 理论 另一种解释 幂律分布形成原因的重要理论是 HOT 62, 63, 77 认为 , 幂律分布是许多不同的过程或作用导致的 结果 , 这就像经典 力学 ,

2、 牛顿 的经典力学固 然很伟 大 , 但它仅适用于宏观低速的情形 . 79 5 幂律分布的动力学影响 幂律分布的动力学影响主要是对复杂网络而言 的. 网络动力学性质的基本研究对象是动力学模型 在不同网络上的性质与相应网络的度分布的联系 , 在一定程度上说 , 这是一种关于网络的结构与功能 关系的研究. 幂律特性的度分布对无标度网络的动力学性质 有着极其深刻的影响 . 以疾病或病毒在网络中的传 播这一物理过程为例 , 以前的基于规则网络及随机 80 82 网络的研究表明 , 疾病的传染强度存在一个阈 值 , 只有传染强度大于这个阈值时 , 疾病才能在网络 中长期存在 , 否则感染人数会呈指数衰减

3、. 但对无标 度网络上传染病模型的研究结果表明 , 不存在类似 的阈值 , 只要传染病发生 , 就将长时间存在下 去 , 这一特性表明 , 要想在 Inte rne t这样的无标度网 络上彻底消灭病毒 , 即使是已知的病毒 , 也是不可能 的 . 另外 , 度分布的幂律特性对网络的容错性和抗 攻击能力也有很大的影响 , 对网络的攻击分为随机 攻击和选择性攻击两种类型 , 分别称为网络的容 87, 88 错能力与抗攻击能力 . 研究表明 , 无标度网络 具有很强的容错性 , 但是对基于节点度值的选择性 攻击的抗攻击能力相当差. 比如对万维网或因特网 中集散节点的攻击 , 有可能造成整个网络的瘫痪

4、 , 对 于某些微生物来说 , 它们体内度值很高的蛋白质通 37 常掌握着细胞的生死 ( 如图 6 所示 . 度分布满足 泊松分布的随机网络 , 其容错性和抗攻击能力则是 基本相当的 . 可见 , 网络的结构稳定性是与网络 的度分布特性紧密联系在一起的 . 对于幂律分布对网络的其他动 力学方面的影 响 , 比如对网络 上 Ising 模型 、XY 模型 、临 92 93 界现象 及沙堆模型 等的影响 , 限于篇幅 , 本文 不再赘述 , 有兴趣的读者可以参考相关文献 . 幂律分 布对现实中无标度网络的动力学性质影响深刻 , 这 在相当程度上改变了我们对原有物理世界的看法 , 并进一步显示了幂律

5、分布的重要性. 89, 90 91 87 87 37 83 86 . 该理论 由加州 大学 圣巴 巴拉分 校的 Jean Carlson 以及加州理工学院的 John Doy le 提出 . 他们宣称 , 对于由许多 子系统连结成的 复杂系统 , 不管是自然演化还是人为设计的 , 当该系统可以有 效地容忍某些不确定因素时 ( 具强健性 , 将对其他 未被考虑到的不确定因素变得更敏感 . 也就是说 , 强 健性和敏感度具有相互递换的效果. 这里的不确定 因素包含系统内部的不确定因素以及外在环境的干 扰 . 以生态系统为例 , 如果它可以容忍气温 、 湿度 、 养 分等巨幅变化 , 那么这生态系统

6、却可能无法容忍一 些意料之外的小干扰 , 如基因突变 、外来族群迁入 、 或新的病毒 , 这些干扰可能会造成生态环境的巨大 改变. 当一复杂系统处于 HOT状态时 , 该系统将满足 幂律 , 也就是说 , 全局 性的优化过程 可导致幂律分 布: 具有 特征尺 度的输 入经 过一 个全 局性的 系统 “产量 ”优化过程后 , 可产生具有幂律分布特性的输 出 . 全局性优化在生态系统 、航空航天与汽车系统 、 林业系统 、 因特网 、 交通运输及电力系统中具有广泛 的应用 , HOT 理论可以解释上述系统中出现的幂律 分布现象 , 比如可以解释林业系统中火灾规模所呈 现的幂律分布. 4 . 4 随

7、机过程 一些随机过程也可以产生幂律 分布 : “随机行 走 ”模型可以解释物种寿命所呈现的幂律分布 “ Yu le 过程 ” 21, 73 78 ; 是一个生成幂律的比较通用的机 制 , 通过调节它的某些参数 , 可以产生幂指数范围相 当宽广的幂律分布 , 并可与实际观测值相一致 . 产生幂律分布的机制是相当多的 , 是否存在某 个单一的 、 通用的理论可以解释所有的性质迥异的 幂律分布呢 有一部分学者 , 特别是自组织临界理 论的支持者 , 声称他们的理论可以 , 但大多数科学家 894 6 结束语 幂律分布已有超过 100 年的研究历史了 , 即使 物理 评 述 9 10 Gu tenbe

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13、 、地质学家 、 数学家和社会学家 , 并不断有新的研究者加入到该领域. 但即便如此 , 要 真正从本质上把握驱动系统呈现幂律分布的物理过 程与机制 , 仍然有许多试验或理论性的工作要做. 另 外 , 不同类型的幂律分布幂指数有很大的不同 , 究竟 是什么原因导致了这种不同 这仍然是一个尚未完 全解决的问题. 不过 , 我们相信 , 不久的将来 , 在众多 科学家的共同努力下 , 人类最终将根本性地破解幂 律分布之谜 , 为物理世界的简洁之美再谱华章 . 致谢 感谢审稿人不仅诚恳地提出 了若干修改意 见 , 而且还具体提供了成熟市场中金融资产收益率 的幂律分布的一些信息. 参 1 2 3 4

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