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文档简介

1、1 1Digital Logic Design and ApplicationLecture #4Chap. 2 Number systems and CodesUESTC, Spring 2014Lec.1, 4, 5, 2, 3, 6, 7 .Digital Logic Design and ApplicationIntroduction Why digital systems are able to process any kind of information? 2Tab. 3-1 所有信息都可以用有限位的二进制数字表示,因此数字系统可以处理任何信息。Digital Logic Des

2、ign and ApplicationIntroduction 如何用二进制数字量来表示、运算信息模拟量有正、负之分模拟量有整、零之别除了二进制还有其他表示方法吗不能或不便抽象为两值子集的信息如何处理3Number system数 制Coding编 码Digital Logic Design and Application学习要求学习要求掌握:十进制、二进制、八进制和十六进制数的掌握:十进制、二进制、八进制和十六进制数的表示方法表示方法以及它们之间的以及它们之间的相互转换相互转换、二进制数的、二进制数的运算运算;符号数的表;符号数的表达:符号达:符号-数值码(数值码(Signed-Magnit

3、ude System、原码原码),),二进制补码二进制补码(twos complement,补码补码)、二进制反码、二进制反码(ones complement, 反码反码)表示以及它们之间的相互转)表示以及它们之间的相互转换;换;符号数的运算;溢出的概念符号数的运算;溢出的概念。掌握:其他信息的掌握:其他信息的编码表达编码表达:BCD码码(Binary Codes for Decimal numbers)、)、n中取中取1码码(独热码)、(独热码)、格雷码格雷码(Gray code)的特点及其与二进制数之间的转换关系;)的特点及其与二进制数之间的转换关系;了解:模拟信息的数字表达:了解:模拟信

4、息的数字表达:A/D转换的基本概念;转换的基本概念;了解:字符的代码表示,二进制代码在状态、条件等的表了解:字符的代码表示,二进制代码在状态、条件等的表示方面的应用;示方面的应用;4Digital Logic Design and Application2.1 Positional Number system用进位的方法进行计数的数制称为用进位的方法进行计数的数制称为进位计数制进位计数制(或或按位计数制按位计数制 Positional Number system)。5 1pniiirdD 111001221110121- - . . - .pniiinnppppnpprrdrdrdrdrdrd

5、rdddddddD和式按权展开按位计数法Digit(数码、数位)(数码、数位)Radix(基数)(基数)Number(数字)(数字)Weighted sum of the digits.Weight(权)(权)Digital Logic Design and Application2.1 Positional Number system6数制的数制的三要素三要素为:为:基数基数(base/radix):数码的进制数数码的进制数r,也称为,也称为基数(底数)。基数(底数)。数码数码(digit):0r-1,进位规律:逢,进位规律:逢r进一,进一,借一当借一当r。位权位权(weight):ri,数

6、码在一个数中的位置不,数码在一个数中的位置不同,权的大小就不同(同,权的大小就不同(i是数码所在的位是数码所在的位置)。置)。Digital Logic Design and Application2.1 Positional Number systemDecimalDecimal(十进制)(十进制)Digit:0 9,逢,逢10进进1,借,借1当当10Weight:(10) 10 iRadix: (10) 10 222101210 1010510710810510175.158iiorDaDigital Logic Design and Application2.1 Positional N

7、umber systemBinaryBinary ( (二进制二进制 ) )Digit :0 1,逢,逢2进进1,借一当,借一当2Weight: (2) 10 iRadix: (2) 10 3001232 or 2212120211011iiiBaDigital Logic Design and Application二进制的优点:运算简单,电路简单,工二进制的优点:运算简单,电路简单,工作可靠。数字电路中多使用二进制作可靠。数字电路中多使用二进制.二进制的不足:一个较大的十进制用二进二进制的不足:一个较大的十进制用二进制表示需要较多的位,为了克服二进制书制表示需要较多的位,为了克服二进制书写

8、太长的缺点,常用八进制和十六进制。写太长的缺点,常用八进制和十六进制。2.1 Positional Number systemDigital Logic Design and ApplicationOctal(八进制)(八进制)Digit:0 7,逢,逢8进进1,借,借1当当8Weight: (8) 10 iRadix: (8) 10 Hexadecimal(十六进制)(十六进制)Digit:0 9 AF(1015),逢,逢16进进1,借,借1当当16Weight:(16) 10 iRadix: (16) 10 2.2 Octal & Hexadecimal NumbersDigita

9、l Logic Design and Application计数制计数制数码数码位权位权 基数基数举例举例十进制十进制 0910i10(123)10 (456.321)D二进制二进制 0, 12i2(1010)2 (1001.101)B八进制八进制 078i8(567)8 (745.217)O十六十六进制进制09、AF 16i16(2A2B)16 (1B3.EC)H下标:下标:D-Decimal; B-Binary; O-Octal; H-Hexadecimal2.2 Octal & Hexadecimal NumbersDigital Logic Design and Applica

10、tion2.2 Octal & Hexadecimal Numbers1210 =?Question:(10)B =(2)D(10)D =(10)D(10)r =(1r1 +0r0)r(10)O =(8)D(10)H =(16)DDigital Logic Design and Application2.2 Octal & Hexadecimal Numbers任何一种数制,其位权均是左高右低;任何一种数制,其位权均是左高右低;最高有效位(最高有效位( Most Significant Bit ,MSB)最低有效位(最低有效位( Least Significant Bit ,L

11、SB)任何一种数制的位权以该数制来表示都是任何一种数制的位权以该数制来表示都是10i;任何一种数制,相同数码所表示的数值大小都是相等任何一种数制,相同数码所表示的数值大小都是相等的;的; (1)B=(1)D=(1)H=(1)O任何一种数制,乘以基数任何一种数制,乘以基数r等于将数字向左移动一位,等于将数字向左移动一位,除以基数除以基数r等于将数字向右移动一位;等于将数字向右移动一位;13Digital Logic Design and Application142.3 General Positional-Number-System Conversion2.3.1 Radix-r-to-Dec

12、imal (R 进制进制-十进制十进制)Example 1:( 101.01 )2 = ( )10 ( 7F.8 )16 = ( )105.25127.5A shortcut? ( F1AC )16 = ( ( ( F16 ) +1 ) 16 + A ) 16 + Cnested expansion formula nested expansion formula 嵌套形式嵌套形式 1pniiirdDMethod: use the formula 数制转换不影响整数和小数部分,可分数制转换不影响整数和小数部分,可分开转换,按权展开再求和;开转换,按权展开再求和;Digital Logic De

13、sign and Application( 0.1101 )2 = ( )2/ = ( )10=2.3 General Positional-Number-System Conversion15Fraction part conversion(小数的转换小数的转换)任意数制的小数部分均小于任意数制的小数部分均小于1;也可先按照整数处理,最后移动小数点。也可先按照整数处理,最后移动小数点。 2.3.1 Radix-r-to-Decimal (R 进制进制-十进制十进制)Example2 :( 0.1101 )2 = ( )10= ( )10( 10.11 )2=( )10Question:还有别

14、的方法吗:还有别的方法吗?Digital Logic Design and Application162.3.2 Decimal-to-Radix-r Conversions (十进制十进制-R进制进制)Convert the integer and fractional parts separately and add the results afterwards.(1)Integer part(整数部分)(整数部分): Successively divide number by r, taking remainder as result.Example: Convert 5710 to b

15、inary57 / 2 = 28 remainder 1 (LSB) /2 = 14 remainder 0 /2 = 7 remainder 0 /2 = 3 remainder 1 /2 = 1 remainder 1 /2 = 0 remainder 1 (MSB)Ans: 11100122.3 General Positional-Number-System ConversionDigital Logic Design and Application172.3.2 Decimal-to-Radix-r Conversions (十进制十进制-R进制进制)(2)Fractional Pa

16、rt(小数部分)(小数部分)Successively multiply number by r, taking integer part as result and chopping off integer part before next iteration.May be unending!Example: convert .310 to binary.3 * 2 = .6 integer part = 0.6 * 2 = 1.2 integer part = 1.2 * 2 = .4 integer part = 0.4 * 2 = .8 integer part = 0.8 * 2 =

17、1.6 integer part = 1.6 * 2 = 1.2 integer part = 1, etc.Ans: .01001122.3 General Positional-Number-System ConversionDigital Logic Design and Application182.3.2 Decimal-to-Radix-rMethod: Radix Multiplication or Division 1001 11001001 11000.01011 0.01011 2.3 General Positional-Number-System ConversionI

18、nteger Parts 整数部分:除整数部分:除r r取余,逆序排列取余,逆序排列 Example 2:( 156 )10 = ( )2Decimal Fraction 小数部分:乘小数部分:乘r r取整,顺序排列取整,顺序排列 Example 3:( 0.37 )10 = ( )2 2 2-5-5Digital Logic Design and Application192.3.2 Decimal-to-Radix-rMethod: Radix Multiplication or Division 2.3 General Positional-Number-System Conversio

19、nInteger Parts 整数部分:除整数部分:除r r取余,逆序排列取余,逆序排列Decimal Fraction 小数部分:乘小数部分:乘r r取整,顺序排列取整,顺序排列 i01122111010d,.1,求令已知drdrdrdDDpppp i -111010d , .1,求令已知nnrdrdDDDigital Logic Design and Application2.3 General Positional-Number-System Conversion2.3.2 Decimal-to-Radix-r20Example Example 4 4:RequireRequire 10

20、 10-2-2 ,complete the complete the following conversionfollowing conversion ( 617.28 ) ( 617.28 )10 10 = ( )= ( )2 210 0110 1001 . 0100 01110 0110 1001 . 0100 0112 2- -n n = 10 10-2 -2 n = 7n = 7Question:带小数的十进制数to二进制数转换可否使用先按整数处理,再移动小数点的方法?N0Digital Logic Design and Application2.3 General Positiona

21、l-Number-System Conversion八进制八进制/十六进制的权是十六进制的权是2的幂,因此与二进制之的幂,因此与二进制之间的转换十分容易;间的转换十分容易;一位八进制数码可用一位八进制数码可用3位二进制数码表示;位二进制数码表示;一位十六进制数码可用一位十六进制数码可用4位二进制数码表示;位二进制数码表示;不足位补零。不足位补零。212.3.2 Binary to Octal/Hex( 100 110 )( 100 110 )2 2 = ( )= ( )8 84646( 10 0110 )( 10 0110 )2 2 = ( )= ( )2 2= ( )= ( )1616001

22、0 01100010 011026( 10. 01 )( 10. 01 )2 2 = ( )= ( )2 2= ( )= ( )16160010 . 01000010 . 01002.42.4Digital Logic Design and Application22 ( 0010 1100 0110 ) ( 0010 1100 0110 )2 2 = ( )= ( )10102.3 General Positional-Number-System Conversion2.3.2 Binary to Octal/HexUse Hexadecimal as the middle state be

23、tween Binary and Decimal.(0010 1100 0110 )(0010 1100 0110 )2 2 = ( )= ( )1616= ( )= ( )10102 C 6 2 C 6 710710( 1000 1)( 1000 1)10 10 = ( )= ( )2 2(10001 )(10001 )10 10 = ( )= ( )1616= ( )= ( )2 2271127110010 0111 0001 00010010 0111 0001 0001Digital Logic Design and Application2.3 General Positional-

24、Number-System Conversion小数转换的精度小数转换的精度转换时不应低于原精度转换时不应低于原精度受实际数字系统的限制受实际数字系统的限制对二进制可采取对二进制可采取“零舍壹入零舍壹入”的近似方法的近似方法:即小即小数点后第数点后第n+1位是位是1则将其进位到第则将其进位到第n位位,如为零如为零,则舍去则舍去,结果为小数点后结果为小数点后n位位.232 2- -n n = 100)-3c=24 3=10000 0011=1101(二进制)(二进制)Digital Logic Design and Application2.5 Representation of Negativ

25、e NumbersIf a number D is complemented twice, the result is D.对一个数求两次补的结果等于其本身对一个数求两次补的结果等于其本身3 c =10000-(10000 0011)=10000-1101=0011 taking complement and complement number are different. 对正数求补得到其相反数(即负数)的补码对正数求补得到其相反数(即负数)的补码*。32Digital Logic Design and Application2.5 Representation of Negative Nu

26、mbers33Example 3. Example 3. 试求试求119119的的8 8位二进制补码。位二进制补码。解:解:+119+119的二进制原码:的二进制原码:+119+1190111011101110111 则则-119-119的补码可以通过下式算法得到:的补码可以通过下式算法得到: 28: 1 0 0 0 0 0 0 0 0 减去减去+119: 0 1 1 1 0 1 1 1119的补码:的补码: 1 0 0 0 1 0 0 1+119: 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0舍去舍去MSB的进位的进位有没有更简便的方法求补码?Digital Logic

27、 Design and Application342.5 Representation of Negative NumbersComplement Number Systems(补码)Diminished Radix-Complement(基数减1补码/反码) The Diminished Radix-Complement of an n-digit number is obtained by subtracting it from rn -1.-D反反= rn-1D (注意注意D0)Example :(-5)10的的4位二进制反码应为位二进制反码应为 (1111)2(0101)2=(1010

28、) 2(Tab. 2-6)Digital Logic Design and Application35Example 4. Example 4. 利用反码的定义求利用反码的定义求119119的的8 8位二位二进制反码进制反码。解:首先计算解:首先计算+119+119的原码:的原码:1191190111011101110111 则其补码可以通过下式算法得到:则其补码可以通过下式算法得到: 全全1码:码:1 1 1 1 1 1 1 1 减去减去+119:0 1 1 1 0 1 1 1119的反码:的反码:1 0 0 0 1 0 0 0-D反反= rn-1D (注意注意D0)Digital Logi

29、c Design and Application362.5 Representation of Negative NumbersOnesComplement Representation (二进制反码)一个负数的二进制反码为:一个负数的二进制反码为: 其其对应正数的原码每一位均对应正数的原码每一位均按位取反按位取反 OR 符号位不变符号位不变,其余位,其余位在本身原码基础上在本身原码基础上按位取反按位取反Twos-Complement Representation (二进制补码)Onescomplement + 1 Only one representations of Zero (Why?)

30、?) An n-bit twos-complement range is 2n-1 +(2n-11)Extra number, 2n1, doesnt have a positive counterpart(Tab. 2-6)Expanding the sign bit ( 符号位扩展符号位扩展 ) Digital Logic Design and Application十进制十进制二进制原码二进制原码二进制反码二进制反码二进制补码二进制补码-81000-7111110001001-6111010011010-5110110101011-4110010111100-3101111001101-

31、2101011011110-110011110111101000或或00001111或或000000001000100010001200100010001030011001100114010001000100501010101010160110011001107011101110111Tab. 2-6 Decimal and 4-bit binary numbersDigital Logic Design and Application38(1 1)原码)原码 反码反码 补码补码 1 10001101 0001101 1 1111 0010 111 0010 1 1111 0011111 00

32、11Example 5:Write the 8-bit signed-magnitude, twos-complement representations for each of these binary numbers. ( 1101 )2 ( 0 . 1101 )2 符号数符号数 (1101 )2 (2 2)原码)原码 反码反码 补码补码1 1000000. .1101 1101 1 1111111. .0010 0010 1 1111111. .00110011 (3 3)原码)原码 反码反码 补码补码8-bit8-bit:1 1000 0000 01 101 101 1111111 1

33、 1010 1010 1111 1111 1011011 4-bit4-bit:1 11 101 1010 101101 1010 1011Digital Logic Design and Application39Example 6. Example 6. 利用利用反码反码求求119119的的8 8位二进制补码位二进制补码。解:首先计算解:首先计算+119+119的原码的原码:0 1 1 1 0 1 1 1119的反码的反码按位取反:按位取反: 1 0 0 0 1 0 0 0 加加1: + 1 119的补码:的补码: 1 0 0 0 1 0 0 1或者:或者:首先计算首先计算-119-119

34、的原码的原码:1 1 1 1 0 1 1 1119的反码的反码符号位不变,其余按位取反符号位不变,其余按位取反: 1 0 0 0 1 0 0 0 加加1:+ 1 119的补码:的补码:1 0 0 0 1 0 0 1Digital Logic Design and Application40NOTEPositive number has the same: Sign-Magnitude, Ones- Complement, and Twos- Complement 正数的原码、反码、补码相同正数的原码、反码、补码相同Digital Logic Design and Application原码原码

35、/反码反码/补码的小结补码的小结为了表示负数才需要符号数的原码为了表示负数才需要符号数的原码;为了保证原码为了保证原码加减法的正确才需要负数的补码表达形式加减法的正确才需要负数的补码表达形式;从正数从正数A计算计算-A的补码有三种等效方法的补码有三种等效方法:2n-AA的原码按位取反的原码按位取反(带符号位带符号位)+1-A的源码按位取反的源码按位取反(不带符号位不带符号位)+1 。正数的补码正数的补码MSB为为0 ,负数的补码,负数的补码MSB为为1.二进制原二进制原/反反/补码均有顺序递增补码均有顺序递增/减的规律。减的规律。41Digital Logic Design and Appli

36、cation原码原码/反码反码/补码的小结补码的小结正数的原正数的原/反反/补码相同补码相同.N位二进制原码位二进制原码/反码反码/补码均可以表示补码均可以表示2n个数。个数。二进制原码和反码中零有两种表达形式二进制原码和反码中零有两种表达形式,补码中零只有一种表补码中零只有一种表达方式达方式,即即+0。N位二进制补码可以表示位二进制补码可以表示-2n-1,原码原码/反码中没有。反码中没有。使用补码后可以用加法代替减法使用补码后可以用加法代替减法42 D D 反反 反反 = = D D D D 补补 补补 = = D DDigital Logic Design and Application4

37、30000000100100011010001011000100110101101111111101011110001110110+0+1+2+3+4+5 8 7 6 3 1 2 5 4+7+64-bit twos-complement numbers使用补码后可以使用补码后可以用加法代替减法用加法代替减法+ +Why?Why?A+-AA+-AC C=0=0“模”,“同余”“模模”是指一个计量系统的计是指一个计量系统的计数范围,实质上是计量器产生数范围,实质上是计量器产生“溢出溢出”的量,它的值在计量的量,它的值在计量器上表示不出来,计量器上只器上表示不出来,计量器上只能表示出模的余数。任何有模能表示出模的余数。任何有模的计量器,均可化减法为加法的计量器,均可化减法为加法运算。运算。Digital Logic Design and Application442.6 Twos-Complement Addition and SubtractionAddition Rules: By ordinary binary addition, ignoring any carries beyond the MSB; No different cases based on operands signs!按照无符号数的加法规则相加按照无符号数的加法规则相加,符号位参加运算。符号位参加运算

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