多元函数微分法及其ppt课件

1、第八章第八章 多元函数微分法及其多元函数微分法及其 应用习题课一）应用习题课一）多元函数微分法多元函数微分法一、多元函数的基本概念一、多元函数的基本概念 1.极极 限：限： 2.连连 续：续： 3.偏导数：偏导数： 00( , )(,)lim( , )x yxyf x yA 0000( , )(,)lim( , )(,)x yxyf x yf xy 000000000 x0()(,)(, )limx xx xy yy yxxf xxf xyzzfxyxx 00000000000(,)()(, )limx xx xy yy yyyyf xyxf x ,yzzfxyyy 4.全微分：全微分： 5.

2、方向导数：方向导数： 6.梯梯 度：度： 000000grad (, )(,)(,)xyf xyfxyifxyj 二元函数二元函数 在点在点 沿方向沿方向 的方向导数为的方向导数为 ) ,(yxfz ) ,(000yxPlx x0y y000000(cos ,cos)()limtf xt ytf x ,yzlt 假设假设 ， ，则称函数则称函数 在点在点 可微分，可微分， )( yBxAz22)()(yx ( , )zf xy ) ,(yxP函数函数 在点在点 全微分为全微分为 ( , )zf xy ) ,(yxPyBxAdz 二、多元函数连续、可导、可微的关系二、多元函数连续、可导、可微的关

3、系函数连续函数连续函数可导函数可导函数可微函数可微偏导数连续偏导数连续三、多元函数的求导法三、多元函数的求导法 1偏导数求法偏导数求法 2高阶偏导数高阶偏导数 ),()(22yxfxzxxzxx 2()( , )xyzzfx yx yyx ),()(22yxfyzyyzyy ),()(2yxfyzxxyzyx 求函数求函数 的偏导数的偏导数 时，只要把时，只要把 暂时看作常量暂时看作常量而对而对 求导数；求导数；) ,(yxfz xz yx类似地，可求函数类似地，可求函数 的偏导数的偏导数 。 yz ) ,(yxfz 3多元复合函数求导法则多元复合函数求导法则 zuvtzuvxydzz duz

4、 dvdtu dtv dtzzuzvxu xvx zzuzvyuyvy (1)设设 和和 在点在点 可导，可导， 在对应点在对应点 处可微，则复合函数处可微，则复合函数 在点在点 处可导，且处可导，且 )(tu t)(tv ),(vufz ),(vut)(),(ttfz (2)设设 和和 存在偏导数，存在偏导数， 在对应点在对应点 处可微，则复合函数处可微，则复合函数 在在 偏导数存在偏导数存在,且且 ),(yxu ),(yxv ),(vufz ),(vu),(),(yxyxfz ),(yx4隐函数的导数隐函数的导数 由方程由方程 确定一个连续且具有连续导数的函数确定一个连续且具有连续导数的函

5、数 0) ,( yxF( )yf x , 则有则有 yxFFdxdy zxFFxz zyFFyz 由方程由方程 确定一个连续且具有连续偏导数的确定一个连续且具有连续偏导数的函数函数 ，则有，则有 ) ,(yxfz 0) , ,( zyxF5全微分的求法全微分的求法 微分形式的不变性：微分形式的不变性： 6方向导数的求法方向导数的求法 dyyzdxxzdz 当当 ，而，而 、 时，有时，有 ) ,(vufz ) ,(yxu ) ,(yxv dvvzduuzdz .coscoscos zfyfxflf 其中其中 是方向是方向 的方向余弦。的方向余弦。 cos ,cos ,cosl四、典型例题四、典

6、型例题 【例【例1】求极限】求极限( , )(0,0)1-1lim.x yxyxy 解：解： ( , )(0,0)1-1limx yxyxy ( , )(0,0)1-1lim(11)x yxyxyxy ( , )(0,0)1lim11x yxy 12 【例【例2】求极限】求极限22)()cos(1lim222200yxyxeyxyx 解法解法1： 22)()cos(1lim222200yxyxeyxyx 2222222001sin ()22lim()x yxyxyxye 222222222020sin ()()2lim8()2xx yyxyxyxye 222200lim08x yxyxye c

7、os ,sin ,xy 解法解法2：作变量代换，令：作变量代换，令 222222001-cos()lim()x yxyxyxye 42222cossin001-coslimxye 42222cossin0000sin1limlimxxyye 1 当当 时时, 任意任意,那么那么cos ,sinxy0, 分析：在二重极限分析：在二重极限 的定义中的定义中,动点动点 在在 中中趋向点趋向点 与一元函数与一元函数 的自变量的自变量 在数轴上的变在数轴上的变化不同化不同,它可以区域它可以区域 内沿着不同的路线内沿着不同的路线(如曲线或直线等如曲线或直线等)和不同方式和不同方式(连续或离散连续或离散),

8、从四面八方趋近于点从四面八方趋近于点 ,二元函二元函数数 在点在点 的极限都是的极限都是 .反之反之, 动点动点 沿着两条沿着两条不同的路线不同的路线(或点列或点列)趋近于点趋近于点 ,二元函数二元函数 有不同有不同的极限的极限,则二元函数则二元函数 在点在点 的极限不存在的极限不存在.00lim( , )xyf x yA ( , )P x y2 2R R00(,)P xy( )yf x x2DR 00(,)xyA( , )f x y( , )f x y( , )P x y00(,)P xy( , )f x y00(,)P xy00(,)P xy【例【例3】设】设22 ( , )(0,0)(

9、, )0 ( , )(0,0)xyx yxyf x yx y 判断判断 的存在性。的存在性。 00lim( , )xyf x y000lim( , )lim( ,0)0 xxyf x yf x 解：因为当点解：因为当点 沿沿 轴趋向于点轴趋向于点 时时,x(0,0)( , )P x y又当点又当点 沿着直线沿着直线 趋于点趋于点 时时,( , )P x yyx (0,0)222001lim( , )lim2xxyxxf x yxx 所以所以 的极限不存在。的极限不存在。 ( , )f x y【例【例4】 设二元函数设二元函数 , 判别判别 在在22, =0( , ) 1, 0 xyxyf x

10、yxy ( , )f x y点处的连续性。点处的连续性。 ) 0 , 0(分析：分析： 在在 点处的连续性点处的连续性,应满足应满足 .( , )f x y)0 , 0(00lim( , )(0,0)xyf x yf 解：因为当点解：因为当点 沿沿 轴趋于点轴趋于点 时时,( , )P x yx)0 , 0(000lim( , )lim( ,0)0 xxyf x yf x 又当点又当点 沿着直线沿着直线 趋于点趋于点 时时,( , )P x y)0 , 0( (0)yxx 000lim( , )lim( , )lim11xxxyxf x yf x x 所以，函数所以，函数 在原点在原点 的极限

11、不存在，因而，的极限不存在，因而， ( , )f x y)0 , 0(在原点在原点 不连续不连续.( , )f x y)0 , 0(【例【例5】设】设 , 那么那么 在在点点22 , ( , )(0,0)( , ) 0 , ( , )(0,0)xyx yf x yx y ( , )f x y(0,0)处连续，但处连续，但 在点在点 处对处对 和和 的偏导数不存在的偏导数不存在.( , )f x y(0,0)xy而点而点 为为 的分界点的分界点,求偏导数需用偏导数定义。求偏导数需用偏导数定义。(0,0)( , )f x y分析：分析： 在点在点 处的连续性处的连续性, 应满足应满足 .(0,0)

12、00lim( , )(0,0)xyf x yf ( , )f x y不存在不存在 不存在不存在 解：因为解：因为 , 而而 , 所以所以220000lim( , )lim0 xxyyf x yxy(0,0)0f ( , )f x y在点在点 处连续处连续. (0,0)00(0,0)(0,0)(0,0)limlimxxxxfxffxx 00(0,0)(0,0)(0,0)limlimyyyyfyffyy 所以所以, 在点在点 处对处对 和和 的偏导数不存在的偏导数不存在.( , )f x y(0,0)xy解解: 因为因为 00(0,0)(0,0)0(0,0)limlim0 xxxfxffxx 00

13、(0,0)(0,0)0(0,0)limlim0yyyfyffyy 【例【例6】* 设函数设函数 ,判断判断 在原点在原点 处的可微性处的可微性.( , )f x yxy (0,0)( , )f x y分析分析:多元函数在一点可微与否？关键是要判别多元函数在一点可微与否？关键是要判别 是不是是不是 的高阶无穷小的高阶无穷小?假如假如 , 则函数则函数 在该点可微在该点可微, 否则函数否则函数 在该点不可微在该点不可微. 但反过来但反过来, 多元函数在某一点多元函数在某一点可微可微, 函数在该点对各个变量偏导数存在函数在该点对各个变量偏导数存在, 即函数偏导数存在即函数偏导数存在是函数可微的必要条

14、件。是函数可微的必要条件。fdf 0lim0fdf ( , )f x y( , )f x y 所以所以(0,0)(0,0)xydffxfy 又因为又因为(0,0)(0,0)ffxyfx y 22()()xy 001limlim022xxfdfx 当沿着特殊的路线当沿着特殊的路线 , ,所以所以xy 00 x 因而，因而， 在原点在原点 不可微不可微.( , )f x y(0,0)解：解： 1yzuyxxz 1lnyzuxxyz 2lnyzuyxxzz 【例【例7】求函数】求函数 的偏导数的偏导数.yzux 分析：因为函数分析：因为函数 为三元函数，所以，应分别求对为三元函数，所以，应分别求对

15、yzux , ,x y z的偏导数。的偏导数。 解：根据复合函数求偏导法则得解：根据复合函数求偏导法则得 【例【例8】设】设 ,而而 , , 求求 和和 .sinuzev uxy vxy zx zy zzuzvxu xvx sincos1uuev yev sin()sin()xyeyxyxy zzuzvyuyvy sincos1uuev xev sin()sin()xyexxyxy 分析：先确定是几元函数，然后分别求导，求出全微分，分析：先确定是几元函数，然后分别求导，求出全微分，也可利用全微分形式的不变性。也可利用全微分形式的不变性。解法解法1： 1111122(1)yyyyyyzy xy

16、xxxxxx 11lnln122(1)yyyyyyzxxxxyxxxx zzdzdxdyxy1ln2(1)2(1)yyyyyyy xxxdxdyxxxx 【例【例9】求函数】求函数 的全微分的全微分.arctan (0,1)yzxxx 解法解法2：由微分形式的不变性：由微分形式的不变性 1(arctan)()1yyydzdxdxx 111()12yyyd xxx 11(ln)2(1)yyyyyxdxxxdyxx 【例【例10】设】设 , 其中其中 具有二阶连续偏导数，具有二阶连续偏导数， ) ,(22xyyxfz f求求2, .zzxx y 分析：求抽象复合函数分析：求抽象复合函数 的二阶偏导

17、数，最需要注意的一的二阶偏导数，最需要注意的一点是一阶偏导数点是一阶偏导数 (及及 )仍旧是复合函数，且与函数仍旧是复合函数，且与函数 具具有同样的中间变量与自变量。有同样的中间变量与自变量。 ffu fv f解法解法1： 设设 ,那那么么22, uxyvxy2zzuzvzzxyxu xvxuv 2(2)zzzxyx yyuv 2222222 ( 2 )( 2 )zzzzzxyxyyxuu vvv uv 22222224(22)zzzzxyxyxyvuu vv zuvxyzzuzvxu xvx 122xfyf212(2)zxfyfx yy 2221112224(22)fxyfxyfxyf 解法

18、解法2：若记：若记 12, ,zzffuv22112222, ,zzffuv221221, zzffu vv u 那那么么利用隐函数的求导公式得利用隐函数的求导公式得 xzFzxF 2yzzxy 2yzzxy yzFzyF 2xzzxy 2xzzxy 解解:令令 ,那么那么33( , , )3F xyzzxyza 23,3,33xyzFyz Fxz Fzxy 【例【例11】设】设 ,求求 .333zxyza 2zx y 分析：如果令分析：如果令 , 则由方程则由方程 33( , , )3F xyzzxyza ( , , )0F x y z 确定了确定了 是是 的函数的函数,求求 用隐函数求导法

19、。但在求二阶混用隐函数求导法。但在求二阶混合偏导时，应采用直接求导法。合偏导时，应采用直接求导法。 zxy，zx 22()zyzx yy zxy 222()()(2)()zzzyzxyyzzxyyzxy 422223(2)()z zxyzx yzxy 计算计算 时，我们采用在方程两边同时对时，我们采用在方程两边同时对 求偏导的方法求偏导的方法, 2zx y y并视并视 为为 的二元函数的二元函数 , 得得z,x y( , )z x y11ze 11ze xzFzxF yzFzyF 21()()1zzzx yyxye 2(1)zzzeye 3(1)zzee 【例【例12】设】设 是方程是方程 所确定的所确定的 与与 的函数的函数,求求zzxyzexyyxz 2分析：如果令分析：如果令 , 则由方程则由方程 确定了确定了 是是 的函数，求的函数，求 用隐函数求导法。但在求二阶用隐函数求导法。但在求二阶混合偏导时，应采用直接求导法。混合偏导时，应采用直接求导法。( , , )zF x y zxyze 0),( zyxFzxy，zx 解解:令令 , 那么那么( , , )zF x y zxyze 分析：求方向导数需求出偏导数及方向余弦，然后代入方向分析：求方向导数需求出偏导数及方向余弦，然后代入方向导数公式计算即可。导数公式