幂级数的部分练习题及答案

1、题目部分，（卷面共有 100 题,349.0 分，各大题标有题量和总 分）一、选择 （10 小题,共 22.0 分）（2 分）1n（2 分）2 函数项级数-的收敛域是n 1n（A）1,1（B）1,1（C）1,1（D）1,1答（）（2 分）3 设级数bnx 2n在x2处收敛，则此级数在n 0 x 4处(A)发散；(B)绝对收敛；(C)条件收敛；(D)不能确定敛散性。答：（）（3 分）4设级数anx 3n在x 1处是收敛的，则此级数n 0在x 1处（A）发散；（B）绝对收敛;(C)条件收敛；(D)不能确定敛散性。答:()(2 分)5设级数anx 1n的收敛半径是 1,则级数在x 3n 0占八、(A

2、) 发散；(B) 条件收敛；(C) 绝对收敛；(D) 不能确定敛散性。答:()(2 分)6如果lim也丄，则幕级数anx3nnan8n 0(A) 当x 2时,收敛；(B)当|x 8时,收敛；(C)当|x 1时,发散；8(D)当|x三时,发散；答()(2 分)7若幕级数anXn的收敛半径为 R,那么n 0(A) ”m也R,nan(B)nimR,(C)limanR,n若幕级数anxn在x 2处收敛，在x 3处发n 0散，则该级数(A) 在x 3处发散；(B) 在x 2处收敛；(C) 收敛区间为3, 2(D) 当x 3时发散。()(2 分)9如果f x在X。点的某个邻域内任意阶可导，那么幕级数fX。

3、x Xonn on!的和函数(A)必是f x，(B)不一定是f x，(C) 不是f x，(D)可能处处不存(D)limns 不一定存在an(3分)8在。（2 分）10如果f x能展开成x的幕级数，那么该幕级数（A）是f x的麦克劳林级数；（B）不一定是f x的麦克劳林级数；（C） 不是f x的麦克劳林级数；（D） 是f X在点X。处的泰勒级数。答（）。二、填空（54 小题，共 166.0 分）（2 分）1函数项级数arctan飞也的收敛域n 1X n（2 分）2讨论 x 值的取值范围，使当 _时亠字收敛n 1n当时（nnx）发散n 1n（3 分）3x2n1设级数Unx的部分和函数S. xx2n

4、1，n 1x1级数的通项UnX（2 分）4（2 分）5 级数nxenxn 1 xen 1x在0,1上的和n 1函数是_（3 分）6设x不是负整数，对p的值讨论级数亠p 0的收敛性x n（2分）7 幕（3 分） 8幕级数函数是时，绝对收敛，时，条件收敛。1n1丄2x 3n 02n 1n1x2n11三冷的收敛半径是的收敛域， 和（1 分）9如果幕级数anx 1n的收敛半径是 1，则n 0级数在开区间内收敛。（2 分）10女口果limnan3n 12，则幕级数anx 1n在开区间n 0内收敛。（2 分）11设幕级数nanXn 0的收敛半径是RO R，则幕级数2nanX0的收敛半径是（2 分）12如果

5、幕级数在X1处收敛，在x 3处发散，则它的收敛域是（5 分）13幕级数|x222x523x1043- x4的通项17，收敛域是n 0（6 分）14nnxn的收敛域n 1n n（4 分）15（4 分）16（4 分）17幕级数幕级数n4n 0n!xn 0若幕级数收敛半径分别为Ri、R2,关系（3 分）18 设limn的收敛半径是1xn的收敛区间是的收敛域是anxn和n 1 anx0n 0则Ri、R2具有anan 13，则幕级数2nanX0（2 分）19幕级数1n 1nn-的收敛域是n和函数是（3 分）20幕级数（3 分）21幕级数的收敛域是的和函数是（2 分）22 级数1 “是_，和函数是（2 分

6、）23若幕级数1 3313 54XX2 4 62 4 6 8_, 和函数35x x2x2x2的收敛域anxn的收敛半径是R，贝y其是O和函数在开区间_ 上是连续的。（2 分）24如果幕级数anxn与bnxn的收敛半径n 0n 0分别是Ri、R2，则级数anbnxn的收敛n 0半径是_ 。（3 分）25若幕级数anxn的收敛半径是R,则n 0其和函数SX在开区间_内是可微的，且有逐项求导公式 _ 。（3 分）26设幕级数anXn的收敛半径是R,则其和函数n 0S X在开区间_ 上可积，且有逐项求积公式_。（4 分）27函数sin Xn的麦克劳林展开成4为_ ，其收敛域是_ 。（3 分）28函数i

7、 xR的麦克劳林展开式为_, 收敛区间（3 分）29 函数y axa 0, a 1在x。0点的泰勒展开式为_ ，收敛区间（3 分）30 函数丄的麦克劳林展开式1 _x为_，收敛域是_ 。（3 分）31函数 丄 的麦克劳林级数展开式1 x为_，收敛域是_ 。（5 分）32 函数y In J的麦克劳林展开式1 x为_ ，收敛域是_。（6 分）33函数y In1 x 2x2关于x的幕级数为_ , 收敛域（4 分）34 函数y In 2 x的麦克劳林展开式为_，收敛域是_ 。（4 分）35 函数cos x的麦克劳林展开式为_，其收敛域是 _。（3 分）36 如果f x的麦克劳林展开式为anX2n，贝y

8、an_。n 0（2 分）37 函数ex在点xo0的泰勒级数为_ ，收敛区间为_。（2 分）38 函数sinx的麦克劳林级数为 _收敛区间为_ 。（2 分）39函数In1 x的麦克劳林级数为 _收敛域为_ 。（4 分）40 函数Inlx的麦克劳林展开式dnln1 xndx（3 分）41 函数cosx的麦克劳林n c，cos 0（5 分）42 函数ytdt关于（4 分）43 函数sinhxsinhxn（4 分）44 函数coshxcoshxn（2 分） 45函数f x_ O12 2a xa 0关于x的幂级数dnf x，dxn（6 分）46函数Sin2X的麦克劳林级数为sin2xn（3 分）将函数f

9、 x七展开成形如anX 1n 0的幕级数时，收敛域是（3 分）48若函数fX在点XO的某一邻域内任意阶可微，邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是（3 分）49 函数y丄在点xo3的泰勒展开式x其收敛域是（3 分）50函数y x2cos. X2的麦克劳林级数是,其收敛域是（3 分）51函数y x2sinx2的麦克劳林级数是,其收敛域是i（3分）52根据1 x的幂级数展开式将阪0 211表示成一个数项级数，该数项级数的前三项（用分数表示）（2 分）53 级数 4 发散时，k的取值范围（2 分）54利用ex的幕级数展开式将：表示成一个数项级数，该数项级数的第六项（用分数表示）是fxn1k ok!kX。

10、X X。kRnx，那么f x在该数。三、计算（3小题,共 161.0 分）（3 分）1求级数3X5x3x7x的和函（3 分）设U1xx,unx xnxn 1, n 2, 3,0 x 1,n 0试求级数nUnX的和函数。1（3 分） 3求函数项级数x2enxn 0,x 0的和函数 S（x）。（4 分） 4求级数nxn1在（-1 ，n 11）内的和函数。（4 分） 5设f X为，上的连续函数，级数UnXfnXJ iX,n 2n 21n 1k其中fnx - fx - n 1,2,nk on试确定UnX的收敛域及和函数n 2（4 分）6试求幕级数2n11xn的和函数。n 0（5 分）75 2n试求幕级

11、数1 X的收敛域。n 02n1（4 分）82试求级数片的收敛域。n 1X（3 分）9试求级数lg x lg x2lg x3的收敛域。（4 分）10试求幕级数x盯的收敛半径及收敛域。n 10,0 ex1,级数X2enx收敛n 0 x 0X0 x 0综上所述s(x)=1 x(4 分)4答案解法x21 x2解法二s(x)nxnn 112,3亠4nx2x3xnx(x234x)xx(x34x x)nn 1n 2xxx23nxxx1 x 1x21x1 x1x 12xxs(x)nx2n 1x nxn 12n 1（4 分）5答案设SnX为UnX的部分和，则n 2（4 分）6答案幕级数的收敛域是丄,2 2所以当

12、X丄，丄时，有2 22n1X2 11 2X1X设UnX因为lim丛比x2nUnX所以当x 1时，级数收敛;（5 分）7答案SnXfnX1n1k一X- fnk ox nf XsXlim snXnt dt f X函 数所求为5 2nX又当x 1，级数发散，故收敛域为1, 1O（4 分）8答案令1t,原级数化为n2tn,Xn 1当且仅当t 1时，级数n2tn收敛，n 1所以原级数的收敛域是，11,（3 分）9答案令Igx t,级数化为tn,n 1当且仅当t 1时，tn收敛，n 1所以当丄X 10时,原级数收敛，10收敛域为,10.10（4 分）10答案X n令x 5 t,级数t的收敛半径是 1,n

13、1Jn收敛域是1,1,故原级数收敛半径是1,收敛域是4, 6.（4 分）11答案由于lim也1，所以R 1，nan当X 1时，级数发散;当x 1时，级数收敛; 故收敛域为1, 1.（5 分）12答案故原级数的收敛域是1, 3.（4 分）13答案利用两级数之间的关系，可得所以收敛半径是bRo.（5 分）14答案n 1 2n 1设Unx石行故收敛域为（5 分）15答案设UnX令t x 1,原级数化为1ntn13n 1 2n此级数的收敛半径是2,收敛域是2, 2当|xRo,即|x bRo时，级数bRo时,级数ann 0nb收敛，limnUn 1XUnX2x*2所以R 2,且X2时，级数发散，故收敛域

14、是2, 2（5 分） 16 答案设unX3nXn所以当X1时，级数收敛， 当|X1时，级数发散，3故 收 敛 域 为（5 分）17答案3，故R 3，且当X3时，级数发散 当X 3时，级数收敛。2n8n3nX因为limUn 1XUnX因为un 1X 3X2n1UnX设an1n 3nIn n由于limnanan 1所以收敛域是3, 3（5 分）18答案且当x 1 1即x 0时，级数收敛; 当x 11即x 2时，级数收敛所以收敛域是2, 0o（6 分）19答案由于戸辛1，所以R1, 且当x 2 1时，级数收敛，当x 21时，级数发散，故收敛域是1, 3。（5 分）20答案2因为lim也兰0，nunx

15、 4所以当x 2时，级数收敛， 故收敛半径R 2。（6 分）21答案因为lim丛兰x 32，nUnx所以当x 3 1时，级数收敛，因为limnanan 11,所以R 1,且当x 3 1时，级数发散，故收敛域是2, 4（5 分）22答案因为lim餉x所以收敛半径 R=2, 且当|x|=2 时，级数发散。故收敛域为（-2 , 2）（4 分）23答案所以当x1, 1时，xIn 11 x（5 分）24答案4nx dx111 x In4答案这是以ex为公比的等比级数 令ex1解得x 0故所所求收敛域为（3 分）26答案幕级数的收敛域是1, 1，幕级数的收敛域是1, 1，当x 1, 1时，有1 arcta

16、 nx2（2 分）lim也limnannn 1级数的收敛半径R（2 分）27答案级数的收敛半径（6 分）28答案f x在1, 1上的连续，且可逐项积分（6 分）29答案f x在2, 2上连续，且可逐项积分。故1nn 1, nx dx0n02lim空lim竺口nannn 13n 2因为幂级数的收敛域是1, 1，所以1301nnx1dx由于幕级数的收敛域是2, 2，所以1f x dx0（6 分）30答案由于xn的收敛区域是1, 1，当n 0 x1,1时，g x可微，而且n 1 xn,n 0所以n!（6 分）31答案n因为f x的收敛区域是n 0n!f x在任意点可微，且可逐项微分n 0n!nxkxn 0n!k 0k 0k!（6 分）32答案由于xn、2nxn的收敛半径分别为1,1，n 0n 02所以两幕级数乘积的收敛半径是1，2故当x丄丄时，2 2x （）nc n nx x 2 xn 0n 0n2n 0 k 011 xn幕级数的收敛域是3n