广州市一模理科数学试题及答案

1、1绝密启用前2017 年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学注意事项：1.本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自 己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应 位置填涂考生号。2回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。3.回答第n卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。是双曲线C的左，右焦点，点P在双曲线C上，且PF1=7,贝y PF2等于、选择题：本小题共1 12 2题，每小题题目要求的

2、。5 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合2(1)复数1 i的共轭复数是1 i(B)1 -i(C)-1 i(D)_1_i(2)若集合M =x -兰1,2y y =x ,-(B)(C)N M（3）已知等比数列:an的各项都为正数,且a3,-O5,a4成等差数列2则a3?!的值是a4a6(B)3-75(C)-2(D)3.5（4） 阅读如图的程序框图.若输入n = 5,则输出k的值为(A)2(B)(C)42X(5)已知双曲线 C: -ya2y4二1的一条渐近线方程为2x 30,F1,F2分别2(A)1(B)13(C)4或10(D)1或133(7)五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全

3、相同的硬币，所有人同时翻转自己的 硬币若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着那么, 没有相邻的两个人站起来的概率为_x(9)已知p : x 0,e -ax：1成立，q:函数f x =(A)充分不必要条件(B )必要不充分条件(C)充要条件(D )既不充分也不必要条件(10)九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥P-ABC为鳖臑，PA丄平面ABC，P A二AB2,AC = 4,三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为(A)15)15ii(D)_5162 2xy(8)已知F1，F

4、2分别是椭圆C : 2=1 a b 0的左，右焦点，ab椭圆C上存在点P使.F1PF2为钝角,则椭圆C的离心率的取值范围是(迈(A)亍1(C)(FT(D)I 2- a -1是减函数，贝U p是q的(A)8二(B)12二(C)20二(D)24二(11)若直线y=1与函数f(x)=2sin2x的图象相交于点P(xl,y1), Q(x2,y2),且x23,3，则线段PQ与函数f x的图象所围成的图形面积是(C)3-23(D)3-2331(12)已知函数f八宀产2亍82016则V fkdk- 的值为2017(A)0(B)504(C)1008(D)2016(A)(A)(B)(D)(D)4本卷包括必考题和

5、选考题两部分。第13132121 题为必考题，每个考生都必须作答。第22222323 题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本小题共 4 4 题，每小题 5 5 分。(13)_ 已知a= 1, b= J2，且a丄(ab)，则向量a与向量b的夹角是_.no(14)_(3-Xn的展开式中各项系数和为64，则X3的系数为 _ .(用数字填写答案)gi -X门(15) 已知函数f(x)=，,X兰，若f(a化2贝U实数a的取值范围是 _1log2x,XAO,(16 )设Sn为数列 V 的前n项和，已知3=2,对任意p,N N ,都有ap =ap十aq,S+60_*则f n - (n N N)的最小值

6、为_三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(17)(本小题满分 12 分)如图,在厶ABC中，点P在BC边上, PAC =60 ,PC=2,AP AC=4.(I)求 /ACP ;(n)若APB的面积是 亠3,求sin /BAP.2(18)(本小题满分 12 分)近年来，我国电子商务蓬勃发展 2016 年“618 期间，某网购平台的销售业绩高达516亿元人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对该网购平台的商品和服务的评价系统从该评价系统中选出 200 次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为0.6,对服务的满意率为0.75，其中对商品和服务都满意的交易为80 次(I)

7、根据已知条件完成下面的2 2列联表，并回答能否有99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”？对服务满意对服务不满意合计对商品满意80对商品不满意合计200A5(n)若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的3 次购物中，设对商品和服务都满意的次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望EX.62附：K2nad一bC(其中n = a b c d为样本容量)(a+bj(c+d ya+cjb+d)P(K2Ak 0.150.100.050.0250.010k2.0722.7063.8415.0246.635(19)(本小题满分 12 分)如图 1,在直角梯形ABCD中，ADBC,AB丄BC

8、,BD丄DC,点E是BC边的 中点，将厶ABD沿BD折起，使平面ABD丄平面BCD，连接AE,AC,DE，得到如 图 2 所示的几何体.(I)求证：AB丄平面ADC；(n)若AD =1，二面角C - AB - D的平面角的正切值为.6，求二面角B - AD - E(20)(本小题满分 12 分)2过点P(a,-2)作抛物线C:x =4y的两条切线，切点分别为 人(羽，力)，B(x2,y2).(I)证明：MX? %y2为定值；(n)记厶PAB的外接圆的圆心为点M,点F是抛物线C的焦点，对任意实数a,试 判断以PM为直径的圆是否恒过点F?并说明理由.(21)(本小题满分 12 分)a已知函数f X

9、；=lnxa 0.x(I)若函数f x有零点，求实数a的取值范围21的余弦值.图 1A图 27(n)证明：当a,b 1时，f in bi、一.eb请考生在第 22222323 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。(22)(本小题满分 10 分)选修 4 4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为X =3- t,为参数)在以坐标原点为极点17=1+1x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：A=22COS-I 4丿(I)求直线丨的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(n)求曲线C上的点到直线丨的距离的最大值.(23)(本小题满分 10 分)选修 4 5:不等式选讲已知函数

10、f (x ) = |x + a1 +x2a (I)若f 1：3，求实数a的取值范围；(n)若a _1,x R R ,求证：f x _2.82017 年广州市普通高中毕业班综合测试(一)理科数学试题答案及评分参考评分说明：1 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题 的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.2对计算题， 当考生的解答在某一步出现错误时， 如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步

11、应得的累加分数.三、解答题(17) 解： (I)在厶APC中，因为PAC =60 ,PC =2,AP AC = 4,2 2 2由余弦定理得PC二AP AC -2 AP AC cos PAC,. 1 分2 2 2 所以2 =AP +(4 AP ) 2 AP f4 AP ) cos60,2整理得AP-4AP 4 =0,. 2 分解得AP=2. 3 分所以AC = 2. 4 分所以APC是等边三角形 .5 分所以ACP =60.6 分 (n)法 1:由于APB是厶APC的外角，所以APB =120.因为APB的面积是33,所以丄AP PB sin APB =22 2所以PB =3.在厶APB中，AB

12、2=AP2PB2-2 AP卩B cos APB4.只给整数分数.选择题不给中间分.一、选择题(1) B(2) C(3) A(7)二、填空题C(8) A(9) B(13)JI4(14)-540(4) B( 5) D(6) D(10) C(11) A(12) B29(乙(15)92 2=23 -2 2 3 cos120= 19,所以sin BAP二sin BAD -30=sin BAD cos30 - cos BAD sin30.4,3、3 119 V 19 23.5738.(18)解:(I)2 2列联表:对服务满意对服务不满意合计对商品满意8040120对商品不满意701080所以AB二.19.

13、10 分在厶APB中，由正弦定理得ABsin. APBPBsin BAP11 分所以sin BAP =3sin120.193.5738.法 2:作AD _ BC,垂足为D,因为APC是边长为2的等边三角形，所以PD =1,AD二PAD =30 .7 分因为APB的面积是 聖3,所以1AD PB二3总2 2 2所以PB=3. 9 分所以BD =4.在 RtADB中，AB = BD2AD2=$19, . 10 分所以sin BADBD 4AB 19cos匕BAD=AD .3AB一.1911 分12 分12 分10合计1505020011222 0 0( 80 1-0 40)70K211.111,1

14、5 0 50 120 80因为11.111 6.635,所以能有 99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系” .4 分2(n)每次购物时，对商品和服务都满意的概率为一，且X的取值可以是 0,1，2,3.5. 6 分54125(19) 解：(I)因为平面ABD丄平面BCD，平面ABD|平面BCD = BD,又BD丄DC，所以DC丄平面ABD. 1 分因为AB平面ABD，所以DC丄AB. 2 分又因为折叠前后均有AD丄AB,DCnAD = D,. 3 分所以AB丄平面ADC. . 4 分(n)由(1)知AB丄平面ADC，所以二面角C - AB - D的平面角为/CAD.5 分 又D

15、C丄平面ABD,AD平面ABD，所以DC丄AD.CD依题意tan CAD二-二.6. 6 分AD因为AD =1，所以CD 6.设AB = x x 0，则BD = x21AB CDx V6依题意ABDBDC，所以，即.7 分AD BD1 如十解得x = 2，故AB二2, BD二3, BC二BD2CD2= 3. 8 分2P X =2二C311?1 = 11；23皿任H|展10 分X的分布列X0123p2754368125125125125所以EX =0红1卫4125125-2 3631251256 .5.或者：由于XB3,5，则EX=3ri.511 分12 分12 分12法 1:如图所示，建立空间

16、直角坐标系D -xyz,则D(0,0,0),BC 3,0,0),C(0, . 6,0),2413E俘,。I A呼胡II2 2丿I33丿所以岸=佟迥。,慨也空2 i 3 3由(i)知平面BAD的法向量n = (0,1,0). 设平面ADE的法向量m二(x, y,z)+晶0 x +y = 0,得22得一、3、.6一x DE =0,由m.m DA二0,令x =、.6，得y二i、3, z所以m = ( 6-.3,- .3).10 分n m所以cos：n, m =-11 分由图可知二面角B-AD -E的平面角为锐角,1所以二面角B - AD - E的余弦值为丄. 12 分2法 2 ：因为DC丄平面ABD

17、,过点E作EF/DC交BD于F,则EF丄平面ABD.因为AD平面ABD,所以EF丄AD.过点F作FG丄AD于G，连接GE,所以AD丄平面EFG，因此AD丄GE.所以二面角B-AD-E的平面角为EGF.由平面几何知识求得EF所以EG = EF2FG2=、2.所以 cos/EGF=-FG=-.EG 21所以二面角B - AD - E的余弦值为 丄.2(20)解：12 分(i)法 1：由x2=4y,得y=x2,所以y1所以直线PA的斜率为14因为点Agy,)和B(X2, y2)在抛物线C上，所以= 卜2,y?.121所以直线PA的方程为y_4% =-XiX_% . i分因为点P a,-2在直线PA上

18、，1212所以_2X,为a_为，即卩X-!-2am 8 = 0. 2 分同理，x2-2 ax2-8=0.3 分2所以X1,X2是方程X-2ax-8 =0的两个根.所以X1X2= -8. 4分121212又y2X1X2X1X2=4,. 5 分4416所以X1X2 %丫2二-4为定值. 6 分法 2：设过点P a, -2且与抛物线C相切的切线方程为y 2二k x - a,y + 2 =kfx a,+2由2 丿消去y得X4kx+4ka+8=0,x =4y,由厶=16k2-4 4ak 8=0,化简得k2ak - 2 =0.所以&k2二-2.由x2=4y,得y x2,所以yx.42所以直线PA的

19、斜率为 匕=1%，直线PB的斜率为k1X2.2 2所以1X2二-2,即x2二-8.4又y2X24x；=2 X1X22=4,4416所以X1X2 yy二-4为定值.12 2由于 = 片，片-8=2ax1,(n)法 1：直线PA的垂直平分线方程为心X2X1X1a2所以直线PA的垂直平分线方程为ax1-X-X1X1a215把点F 0,1代入上方程，知点F的坐标是方程的解.所以以PM为直径的圆恒过点F. .12 分法 2：设点M的坐标为m,n,2 2 2 2则厶PAB的外接圆方程为x - m亠i y - n j： m - a j亠n 2,由于点A %,% ,B x?, y2在该圆上，2 2 2 2则

20、捲m亠叶n m a亠n 2,2 2 2 2x2m亠y2nmam 2.两式相减得 为-X2x1X2-2m亠-y2yry：-2n产0,.7 分1212由（I）知为x 2a, X1X2-七，y1为,y2X2，代入上式得443为-x24a-4m a 4a-2ani；=0,. 8 分3当为x2时，得8a - 4m a - 2an = 0,假设以PM为直径的圆恒过点F,则MFPF,即-m, n-让-a, -3=0,得ma -3 n -1 =0,. 9 分3丄12由解得m a,n =1 a,. 10 分2 2iz312）同理直线PBax23由解得x a22“ ay =1 -2所以点M笃1+g2丿抛物线C的焦

21、点为F 0,1 ,则MF由于MTPF-歿一宜=0，2 2T T所以MF _PF.所以以PM为直径的圆恒过点F.另法：以PM为直径的圆的方程为xa x?a y 2I 2丿- a,3 .2 ay_1_ =0.2丿10 分11 分12 分11 分2X2X2a16所以点M a,1+ a:.11 分22丿17当=x2时，则a = 0,点M 0,1.所以以PM为直径的圆恒过点F. .12 分(21 )解：a(I )法 1：函数f x =ln x的定义域为0, ：.xa1 a x - a由f x =ln x,得f x22. 1 分xx x x因为a 0,则x三 i0,a时，f x：0；x三 ia,：；时，f

22、 x - 0.所以函数f x在0,a上单调递减，在a,：上单调递增 . 2 分当x=a时，-f(xjmin=lna+1.3 分1当In a 1三0,即0：a时，又f 1= ln1 a = a 0,则函数f x有零点4 分e所以实数a的取值范围为 0,1L . 5 分I e法 2：函数f x =ln x-的定义域为0 -.xa由fx=l nx 0,得a = -xl nx . 1 分x令g x = -xl nx，则g x = - I nx 1所以函数g x在0,1上单调递增，在丄，=上单调递减.2分I e丿2 丿11；1 1 1故x=_时，函数g(x )取得最大值g._ =-l n_ =_ . .

23、 3分ele丿e e ea1因而函数f X =l nx有零点，则0：a .4 分xe所以实数a的取值范围为 怙,1. 5 分I e(n)令h x =xlnx a,贝U h x =lnx 1.11当0：x时,f x：0当xgx 0 ；当xgx：0.18ee19所以函数h x在0,1上单调递减,在丄，； 上单调递增e丿2丿1一1当x = 时, 5(X)1.=-一+a . 6分e- 5 e21 1于是,当a时，h xa . 7 分所以函数x在0,1上单调递增，在1,匸：上单调递减._ 1当XT时，严(x)L=e.1于是，当x 0时，x .e显然，不等式、中的等号不能同时成立2丄故当x 0, a时，xln x a xe.e因为b 1,所以lnb 0.(22)解:x = 3 t(I)由y刊t,/肖去mx八0,所以直线l的普通方程为x y -4 = 0.3TCOSTcos sin v sin 2cos v 2sin v ,.3 分44)得P2=2 Pcos+2Psin.4 分将