新北师大版九年级数学下册《三章圆.7切线长定理》教案_9

1、北师大版数学九年级（下）第三章 圆3.7 切线长定理教学设计教材分析：本节课是选学内容，是在学习了切线的性质和判定的基础之上，继续对切 线的性质的研究，是在垂径定理之后对圆的对称性又一次的认识 .体现了图形的 认识、图形的变换、图形的证明的有机结合 .在利用切线长定理计算中体现了把 复杂问题转化为简单问题后解决问题， 从而滲透转化思想和方程思想， 提高应用 意识.切线长定理的探究，应用了“实验几何论证几何”的探究方法，并初 步建立了由动手操作抽象出数学条件进而解决问题的意识 .让学生的思维能够经 历一个从模糊到清晰，从具体到抽象，从直觉到逻辑的过程，再由直观、粗糙向 严格、精确的追求过程中，使

2、学生体验数学发展的过程 .它也是为证明线段，角 相等，弧相等，垂直关系等提供了理论依据 .学情分析：学生在七、八年级已经学习了轴对称图形、三角形全等的判定与性质、正 方形的判定与性质、勾股定理，在本章圆前面已经学习了切线的定义、判定 与性质、圆的对称性 .因此学生对前面圆的相关知识都有一定的认识，这对本节课的学习有一定的帮助， 学习过程不会很困难， 理解也不很困难， 但书写证明过 程有一定的难度 .在相关知识的学习过程中，学生已经经历了利用轴对称图形的 性质证明垂径定理的经验，和尺规作图等动手操作能力 ，经历了对数学问题进 行观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程 . 同时在以前的数学学

3、习中 学生已经经历了很多合作学习的过程， 具有了一定的合作学习的经验， 具备了一 定的动手实践、自主探索与合作交流的能力 .教学目标：知识与技能理解切线长定义， 使学生掌握切线长定理， 并能初步运用。过程与方法学生在猜想、探索、验证切线长定理活动中通过相互间的 合作与交流， 进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力 . 进一步培养学生 的动手操作能力和创新意识 .情感态度与价值观通过分析问题、解决问题的过程，激发学生学数学 的兴趣，使学生积极参与、体验成功 .教学重点切线长定理教学难点应用切线长定理解决问题教法与学法猜想一一合作探究一一归纳总结一一应用提升教学用具准备PPT 课件、圆规、直尺

4、等。教学过程：一、复习回顾1.切线的判定方法：（1）定义法；（2）数量关系法；（3）判定定理法2. 证明一条直线是圆的切线的常见的方法（两种）：（1）“有交点、连半径，证垂直”；（2）“无交点、作垂直，证半径”。3. 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。二、探究新知（学生动手操做）。由于平面上的一个已知点位置未确定，需分情况讨论：点在圆上、点在圆内、点在圆外三种情况。点在圆内只能做圆的割线，点在圆上做圆的切线上节已学过P那么点在圆外又如何用尺规作圆的切线呢？请同学们看一个微课视频。厂（播放微课视频）由此引出切线长的概念与切线长定理。（一）切线长定义1、 板书定义：从圆外一点可以引圆的两

5、条切线，这一点和切点之间线段的长度叫做圆的切线长2、 剖析定义：（1） 找出中心词，把定义进行缩 句.（线段的长叫做切线长）（2） 定义中的“线段”具有什么特征？在圆的切线上；两个端点一个是切点，一个是圆外已知点.3、 切线和切线长区别.切线是到圆心距离等于圆的半径的直线，而切线长是线段,指过圆外一点做圆的切 线该点到切点的距离.4、在图形中辨别：（1）已知：如图 1，PC 和OO 相切于点 A，点 P 到。O 的 切线长可以用哪一条线段的长来表示？（线段 PA）（2）已知：如图 2, PA 和 PB 分别与。O 相切于点 A、B ,点 P 到。O 的切 线长可以用哪一条线段的长来表示？（线段

6、 PA 或线段 PB）（3）如图 2,思考：点 P 到。O 的切线长可以用三条或三条以上不同的线段的 长来表示吗？这样的线段最多可以有几条？为什么？（4）既然点 P 到。 O 的切线长可以用两条不同的线段的长 来表示，那么这两条 线段之间一定存在着某种关系，是什么关系呢？我们来探索一下，出示探索问题 1,从而进入定理教学.（二八切线长定理：问题 1:如图 3,（课件展示）是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？问题 2:在这个图中你能找到相等的 线段吗？说说你的理由？由此你得到什么猜想？问题 3:如何证明你的猜想？处理方式：问题 1 学生直接判断.问题 2 当学生回答 PA=PBt，师关注学

7、生是怎么找到的？如：有的学生会利 用图形的对称性解释；有的可能通过测量得到.对学生的回答师给予鼓励.学生猜想：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等. （若学生提不出师及时 引导.）问题 3 学生分组探究，写出证明过程.（小组讨论，个别展示交流.）已知：如图 2, PA PB 分别是OO 的切线，A、B 是切点.求证：PA=PB.证明：连接 OA,OB. PA PB 分别是OO 的切线，/ PAOMPBO=90 .AO图PAOB图2P在 Rt AO 和 Rt BO 中,OA=OB,OP=OP. Rt AOP Rt BOP PA=PB至此，我们证明了猜想是正确的，得到 切线长定理（课件展示）板书切线

8、长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。符号语言表达： PA PB 分别是OO 的切线，点 A、B 分别为切点，（PA PB 分别与OO 相切于点AB） PA=PBZAPOMBPO.（反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法）设计目的：定理教学的方式是学生自主探索，相互交流相结合 首先出示探索问 题的前两个，等学生猜想出结论后，再明确仅凭观察、度量、利用圆的对称性，通过折叠，猜想并不能说明结论的正确性，还需证明结论的正确性，同时激励学 生寻找证明猜想的途径之后，再让学生探索更多的结论，并通过推理证明得出 定理.让学生经历观察一猜想-

9、验证的数学探索过程， 有助于学生理解切线长定 理， 更深层次的挖掘其内涵，为解题提供方便.1.如图，PA、PB 是。0的两条切线,A,B 是切点，OA=3.（1 ）若 AP=4,则 OP=_ ;（2 ）若 / BPA=60 ,则 OP=_2.判断（1）过任意一点总可以作圆的两条切线（）（2）从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等（）（三）圆的外切四边形的性质（作为备用讲解知识，根据时间选是否讲解）请同学们先在草稿本中作出有关已知圆 O 的四条切线，再互相交流与讨论 你的发现与结论并加以验证AD练一练结论：圆的外切四边形的两组对边的和相活动目的：学生通过在图形中识别切线长定理的基本图形，总结的出

10、圆外 切四边形的性质，学生再次应用本节核心知识发现新的结论 .这样教学，教师不 只是让学生“见到树木，也看到了他们所在的森林”.三、例题解析，运用新知例 1、 PA PB 是OOl 勺两条切线，于 Co(1) 写出图中所有的垂直 关系(OA! PA OB 丄 PB, AB 丄 OP)(2)写出图中所有的全等E三角形( AO 医 BOP AOC2( BOC ACP BCP(3) 写出图中所有的等腰三角形（ ABP AOB（4）如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径 0A 的长.解：(4) 设 OA = x cm ,贝 U PO = PD + x = 2 + x (cm)在

11、Rt OAP 中，由勾股定理，得PA 2 + OA 2 = OP 2即：4 2 + x 2 = (x + 2 ) 2解得 x = 3 cm二半径 OA 的长为 3 cm.处理方式：(1) - (3)小题分别让学生上黑板做，再让学生讲评；(4)小题教师 引导学生完成。(反思：在解决有关圆的切线长问题时，往 往需要我们构建基本图形即有关圆的切线长问题常见的添辅助线的 方法：(1) 分别连结圆心和切点；(2) 连结圆心和圆外一点；(3) 连结两切点)AB 为切点，直线 OP 交OO 于点 D E,交 AB3.7 切线长定理四、课堂练习1.（珠海中考）如图，PA,PB 是。O 的切线,切点分别是 A,

12、B，如果/ P= 60 ,那么/ AOB 等于（ ）A.60 B.90C.120D.150 五、课堂总结通过节这课的学习，你有什么收获或体会?处理方式：给学生一定的时间进行思考，得出结论后，再进行集体交流和课件展 示.设计目的:以“回顾提问”的方式让学生总结本节课的收获，使学生养成梳理学习内容、思想、方法、思路形成知识体系的习惯.六、布置作业课本习题 P96 习题 3.9 : 1，2, 3 ，板书设计2.如图， ABC 的内切圆分别和 BC, AC,AF=2cm,BD=7cm,CE=4cm,图i1.切线长：过圆外一点画圆的切线， 这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的 切线长.如图，线段 PA

13、PB 叫做点 P 到。O 的切线长.2.切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长相等；这一点和圆心的连线平 分两条切线的夹角。符号语言： PA PB 分别与。O 相切于点 A、B PA=PBZAPOMBPO.教学反思本节课首先通过复习回顾前面学过的有关圆的切线的知识：（1）切线的判定方法；（2）证明圆的切线常见的添辅助线的方法；（3）切线的性质定理为基 础，再通过探究问题：经过平面上一个已知点，作已知圆的切线会有怎样的情形？ 由学生动手操作画圆的切线，用直尺或三角板画过圆外一点做圆的切线，这样做 的是圆的切线吗？看着像，那究竟该怎么做？接着插入一个微课视频： 用尺规作 过圆外一点作圆的切线，引出切线长的概念及切线长定理