椭圆及其方程教案(中档篇)

1、高二数学椭圆及其标准方程教案 1. 掌握椭圆的定义。（第一定义和第二定义）。 2. 能根据条件熟练求出椭圆的标准方程； 3. 掌握椭圆的几何性质及标准方程中的a、b、c、e的几何意义，及a、b、c、e间的相互关系； 4. 能综合应用椭圆的有关知识解决最值问题及参数的取值范围； 5. 理解直线与椭圆的位置关系，会求椭圆截直线所得的弦长，会应用弦中点的性质求解问题。 能力训练：进一步巩固求曲线方程的方法，提高运用坐标法的自觉性及解决几何问题的能力；进一步培养数形结合的能力；同时提高代数运算能力、综合分析问题解决问题的能力。【典型例题】一. 知识提要： 1. 椭圆的第一定义：平面内，与两个定点F1、

2、F2的距离和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。 2. 椭圆的第二定义： 3. 椭圆的标准方程及几何性质：【学习障碍】1理解障碍(1)求椭圆标准方程可采取“先定位，后定量”的方法，如何定位是关键(2)对于直线和椭圆的位置关系，可用一元二次方程的来判定，其理论根据是交点个数，这一点应理解准确(3)直线和椭圆相交时，常常借助韦达定理解决弦长问题应深刻理解弦长公式的推导过程及各字母含义(4)给出椭圆标准方程，其焦点是在x轴还是在y轴，怎样判别，其理论依据是什么(5)理解椭圆两种形式的标准方程的统一形式，应理解为什么可以这样设2解题障碍(

3、1)确定一个椭圆的标准方程，必须要有一个定位条件(如焦点的位置)和两个定形条件(如a、b)，a、b是椭圆的定形条件，焦点是椭圆的定位条件(2)点(x0，y0)在椭圆内1；点(x0，y0)在椭圆上 1；点(x0，y0)在椭圆外1(3)椭圆定义是解题的常用工具，但如何转化为定义，如何应用定义需要有明确的思维方向【学习策略】1坐标法解析几何的最大特点就是通过建立平面直角坐标系，把一个难以解决的平面问题转化为代数问题，通过坐标和计算得出结论坐标系建的好坏，直接影响到解题过程的繁简以及结果的好坏通常建立平面直角坐标系时，可利用图形的对称性，或利用图形中的垂直关系，或使尽量多的点落在坐标轴上2求椭圆方程一

4、般采取“先定位，后定量”的方法所谓定位，就是研究一下此椭圆是不是标准形式的椭圆，其焦点到底是在x轴上还是在y轴上；所谓定量就是求出椭圆的a、b、c，从而写出椭圆方程3定义是解决椭圆问题的常用工具，如果题目的条件能转化为动点到两定点距离和为常数的问题可考虑能否利用椭圆定义；或者牵扯到椭圆上的点到焦点的距离，也可考虑椭圆定义4研究直线与椭圆的位置关系，或者利用弦长公式计算弦长事先都要先把直线方程和椭圆方程联立，消去y(或x)得x(或y)的一元二次方程，再利用其或韦达定理进行5直线与椭圆相交，如果涉及到中点及直线的斜率可考虑平方差法6Ax2By2C(其中A、B、C为同号且不为零的常数，AB)，它包含

5、焦点在x轴或y轴上两种情形方程可变形为1当时，椭圆的焦点在x轴上；当时，椭圆的焦点在y轴上例1. 的标准方程。 分析：求椭圆的标准方程，就是求中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆方程。但焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便，可设方程为mx2+ny2=1(m>0，n>0)不必考虑焦点位置，求出方程即知。 解：设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1，（m>0，n>0） 例2. 与椭圆交于A、B两点，求ABF2的周长。 解析：数形结合，由椭圆定义即可求得答案。 解： 又ABF2的周长=|AB|+|BF2|+|AF2|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=

6、4a ABF2的周长为4a。 例3. 线的距离为（ ） A. 6B. 8C. 10D. 15 解析：法一：应用椭圆的第二定义即可求出结果为15。 左准线距离，作差即可求出点P到右准线距离。 例4. 点P与定点F（2，0）的距离和它到定直线x=8的距离的比是12，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形。 分析：根据椭圆的第二定义可知，动点P的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上的椭圆， 解： 例5. 求|PQ|的最大值。 分析：做此题要数形结合，从图中可见，要求|PQ|的最大值，只要考虑圆心到椭圆上的点的距离即可，而椭圆上的点是有范围的，于是转化为二次函数在闭区间上的最值问题。 设：椭圆上的一点Q（x

7、，y），又C（0，4）。 则|QC|2=x2+(y4)2 |PQ|的最大值为5+1=6。例6. 上求一点M，使|MP|+2|MF|的值最小，求点M的坐标。 分析：|MF|是椭圆上一点到焦点的距离，根据椭圆的第二定义，有 显然，P、M、M'三点共线时，|PM|+|MM'|有最小值。 解：过P作PM'l交椭圆于M，由椭圆方程知 例7. 在的直线方程。 分析：所求直线过定点M（2，1），因此，设为y1=k(x2)，再利用弦中点条件求出直线的斜率k。 解法一：设所求直线方程为y1=k(x2)， 解法二：设直线与椭圆的交点为A（x1，y1），B（x2，y2） M（2，1）为AB的

8、中点， x1+x2=4，y1+y2=2。 解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A（x，y），由于中点为M（2，1），则另一个交点B（4x，2y）。 点A、B都在椭圆上。 由于过A、B的直线只有一条， 【例题分析】例1求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(4，0)，(4，0)，椭圆上一点P到两焦点的距离的和等于10；(2)两个焦点的坐标分别是(0，2)，(0，2)，并且椭圆经过点(，)；(3)焦点在坐标轴上，且经过点A(，2)和B(2，1)策略：根据题意，先判断椭圆的焦点位置，后设椭圆的标准方程，求出椭圆中的a、b即可若判断不出焦点在哪个轴上，可采用标准方程的统一形式解：(

9、1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为1(ab0)2a10，2c8，a5，c4b2a2c252429所以所求的椭圆的标准方程为1(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为1(ab0)由椭圆的定义知，2a又c2，b2a2c21046所以所求的椭圆的标准方程为1(3)解法一：若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为1(ab0)由A(，2)和B(2，1)两点在椭圆上可得：解之得若焦点在y轴上，设所求椭圆方程为1(ab0)，同上可解得，不合题意，舍去故所求的椭圆方程为1解法二：设所求椭圆方程为mx2ny21，(m0，n0且mn)由A(，2)和B(2，1)两点在椭圆上可得即，解得故所求的椭圆方

10、程为1评注：(1)求椭圆的标准方程时，首先应明确椭圆的焦点位置，再用待定系数法求a、b(2)第(3)小题中的椭圆是存在且惟一的，为计算简便，可设其方程为mx2ny21(m0，n0)，不必考虑焦点位置，直接可求得方程想一想，为什么？例2已知B、C是两个定点，|BC|6，且ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程策略：在解析几何里，求符合某种条件的点的轨迹方程，要建立适当的坐标系为选择适当的坐标系，常常需要画出草图如图811所示，由ABC的周长等于16，|BC|6可知，点A到B、C两点的距离的和是常数，即|AB|AC|16610，因此，点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，据此可建立坐标系并画出草图

11、解：如图811所示，建立坐标系，使x轴经过点B、，原点与BC的中点重合由已知|AB|AC|BC|16，|BC|6，有|AB|AC|10，即点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，且2c6，2a10，c3，a5，b2523216由于点A在直线BC上时，即y0时，A、B、C三点不能构成三角形，所以点A的轨迹方程是1(y0)评注：椭圆的定义在解题中有着广泛的应用另外，求出曲线的方程后，要检查一下方程的曲线上的点是否都符合题意，如果有不符合题意的点，应在方程后注明，常用限制条件来注明例3一动圆与已知圆O1：(x3)2y21外切，与圆O2：(x3)2y281内切，试求动圆圆心的轨迹方程策略：两圆相切时，圆心之

12、间的距离与两圆的半径有关，可以找到动圆圆心满足的条件解：两定圆的圆心和半径分别为O1(3，0)，r11；O2(3，0)，r29设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，则由题设条件可得|MO1|1R，|MO2|9R|MO1|MO2|10由椭圆的定义知：M在以O1、O2为焦点的椭圆上，且a5，c3b2a2c225916故动圆圆心的轨迹方程为1评注：正确地利用两圆内切、外切的条件，合理地消去变量R，运用椭圆定义是解决本题的关键，这种求轨迹方程的方法叫做定义法例4已知P是椭圆1上的一点，F1、F2是两个焦点，且F1PF230°，求PF1F2的面积策略：如图812所示，已知P30°，要求

13、PF1F2的面积，如用|F1F2|·|yP|，因为求P点坐标较繁，所以用S|PF1|·|PF2|·sin30°较好，为此必须先求出|PF1|·|PF2|，从结构形式可看出用余弦定理可得出夹30°角的两边的乘积 解：由方程1，得a5，b4，c3，|F1F2|2c6|PF1|PF2|2a10F1PF230°在F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|·|PF2|·cos30°即62|PF1|22|PF1|·|PF2|PF2|22|PF1|·|PF

14、2|·|PF1|·|PF2|(2)|PF1|·|PF2|(|PF1|PF2|)2361003664，|PF1|·|PF2|64(2)|PF1|·|PF2|·sin30°·64(2)·16(2)例5椭圆ax2by21与直线xy1相交于P、Q两点，若|PQ|2且PQ的中点C与椭圆中心连线的斜率为，求椭圆方程策略：该题是求椭圆方程，即利用题设中的两个独立条件，求出a、b之值即可解：由得(ab)x22bxb10设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x2，x1x2|PQ|·ab 又PQ的中点C(，1

15、)，即C(，)kOC 由得a，b所求椭圆方程为1评注：本题是一个小型综合题，此类问题一般先将两个独立的条件都用待定系数a，b表示出来，再联立解方程组，可得所求椭圆方程例6中心在原点的椭圆C的一个焦点是F(0，)，又这个椭圆被直线l：y3x2截得的弦的中点的横坐标是，求该椭圆方程策略：本题中涉及到弦的中点及弦所在直线的斜率，故可采用“平方差法”解：据题意，此椭圆为焦点在y轴上的标准形式的椭圆，设其方程为1(ab0)设直线l与椭圆C的交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有：1，两式相减得：0即3 a23b2 又因为椭圆焦点为F(0，) c则a2b250 由解得：a275，b225该椭圆

16、方程为1【同步达纲练习】1如果方程x2ky22表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（ ）A(0，) B(0，2)C(1，) D(0，1)2已知椭圆1，F1、F2分别为它的两焦点，过F1的焦点弦CD与x轴成角(0)，则F2CD的周长为（ ）A10 B12C20 D不能确定3椭圆1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是（ ）A± B±C± D±4设椭圆1的两焦点分别是F1和F2，P为椭圆上一点，并且PF1PF2，则|PF1|PF2|等于A6 B2C D5直线yx与椭圆y21相交于A、B两点，则|AB|等于

17、A2 BC D6点P是椭圆1上一点，F1、F2是其焦点，且F1PF260°，则F1PF2的面积为_ _7ABC的两顶点B(8，0)，C(8，0)，AC边上的中线BM与AB边上的中线CN的长度之和为30，则顶点A的轨迹方程为_ _8 F1、F2为定点，|F1F2|6，动点M满足|MF1|MF2|6，则M点的轨迹是_ 9以两坐标轴为对称轴的椭圆过点P(，4)和Q(，3)，则此椭圆的方程是_ _10在椭圆1内，过点(2，1)且被这点平分的弦所在的直线方程是_ 11 ABC的两个顶点坐标分别是B(0，6)和C(0，6)，另两边AB、AC的斜率的乘积是，求顶点A的轨迹方程12在面积为1的PMN

18、中，tanM，tanN2，建立适当的坐标系，求出以M、N为焦点并且过点P的椭圆方程【模拟试题】 1. 已知P是椭圆上一点，F1、F2是焦点，F1PF2=30°，求F1PF2的面积。 2. 已知椭圆的焦点F1（0，1），F2（0，1），直线y=4是它的一条准线，P是椭圆上一点，且|PF2|PF1|=1，求F1PF2的面积。 3. 椭圆的焦点为F1，F2，点P为其上一动点，当F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围。 4. 求与椭圆相交于A、B两点，并且线段AB的中点M（1，1）的直线方程。参考答案bbb:/aaadeareduaaa【同步达纲练习】1解析：将方程x2ky22化为椭圆的标

19、准方程为1，又焦点在y轴上，>2，解之得0<k<1答案：D2解析：由椭圆方程知a5，|CF1|CF2|2a10，|DF1|DF2|2a10，则F2CD的周长|F2C|F2D|CD|CF1|CF2|DF1|DF2|101020答案：C3解析：由椭圆的标准方程易知c3，不妨设F1(3，0)、F2(3，0)，因为线段PF1的中点在y轴上，由中点坐标公式知xP3，由椭圆方程1解得yp±，故M点纵坐标为±答案：A4解析：从方程中可得a3，b2，c5|PF1|PF2|2a6，(|PF1|PF2|)2180即|PF1|2|PF2|22|PF1|·|PF2|18

20、0由已知PF1PF2，|PF1|2|PF2|2(2c)2100代入上式得2|PF1|·|PF2|80(|PF1|PF2|)2|PF1|2|PF2|22|PF1|·|PF2|20|PF1|PF2|2答案：B5解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)由方程组得1x±y±，即A()，B(，)由两点间距离公式可得|AB|答案：C6解析：设|PF1|m，|PF2|n，在F1PF2中，由余弦定理有m2n22mncos60°|F1F2|2122，即m2n2mn144 由椭圆定义知mn20，则m2n22mn400 由得，3mn256，故mn因此，答案：7解析：如图23所示，设B、C为BC的两个三等分点，则B(24，0)，C(24，0)，连接AB，AC，设A(x，y)，BM、CN又分别为ACB与ABC的中位线|AB|2|BM|，|AC|2|CN|AB|AC|2(|BM|CN|)60由椭圆定义，动点A到两定点B、C的距离的和为定长60，所以点A在以B、C为焦点，中心在原点的椭圆上运动2a60，a30由|BC|48，得c24b2a2c2900576324则点A的轨迹方程是1(y0)答案： 1(y0)8解析：尽管动点M满足|MF1|M