数学教育学第10章数学知识的分类教学设计

1、第10章 数学知识的分类教学设计1、信息加工心理学家安德森从知识的获得心理加工的角度，将个体的知识分为两类：陈述性知识；程序性知识。2、数学知识是客观世界的数量关系与空间形式方面的特征在人脑中的能动反映。一般包括以下几个方面：（1）表达数学事实的陈述性知识（2）表达操作和运演的程序性知识（3）两类知识中蕴含的数学思想及揭示知识内在了解的逻辑方法（4）形成基本技能、形成数学能力的数学题。3、数学概念反映了事物在数量关系、结构关系、空间形式方面的本质属性。概念的内涵：在逻辑学上，把概念所反映的事物本质属性的总和。从质的方面来刻画概念。概念的外延：凡是适合某概念的对象的全体。从量的方面来刻画概念。4

2、、概念间的逻辑关系：属种关系；交叉关系；不相容的关系。不相容的关系有两种：反对关系和矛盾关系。5、概念的名称（符号）和定义概念是名称的思想内容，名称（符号）是概念的表述形式。在数学中，可以用不同的名称、符号标记同一概念；同时表示概念的名称、符号应具有无歧义性。定义是揭示概念内涵（或外延）的逻辑方法。6、在数学中，常见的定义形式有下列几种：（1）属加种差定义（2）关系定义（3）外延定义（4）发生定义（5）递归定义（6）约定式定义（7）形式定义（8）公理化定义7、给概念下定义要注意几点：（1）定义必须相称（2）定义不能循环（3）定义的方式可以不唯一（4）定义是被定义概念内涵或外延的一种规定，所以概

3、念的定义只能解释不能证明。8、数学概念学习包括概念的获得、概念的应用、建立概念体系三个阶段。9、概念的获得。 概念获得就是理解、掌握一类事物的共同的本质的属性。（1）概念的形成概念的形成，就是从大量的实例出发，通过个体的感知、辨别、比较、归类，以归纳的方式概括出一类事物的共同属性，从而获得某个概念的方式。在概念的形成过程中，有一些以下的关键要素：1、观察一定数量的、形式变异的事实材料；2、分化每一个事实材料的属性；3、概括出这些事实材料的共性；4、辨析变式材料，确认关键属性。所谓同化，就是新知识与学习者原有认知结构中的某概念建立有机的、非人为的实质性了解，通过新旧知识的作用，新知识被纳入原有的

4、知识结构中，原有的认知结构得到充实。在教学条件下，学生获得数学概念的另一基本方式，就是在学生原有知识经验的基础上，以定义的方式直接揭示概念的关键特征，由学生通过与已有的认知结构中相关概念建立了解来理解、掌握新概念，就是概念的同化。在概念同化过程中，有以下一些关键因素：1、学习新概念的已有知识经验；2、运用定义给出概念的本质属性、名称、符号；3、运用定义辨认概念的肯定例证与否定例证；4、把新概念纳入到相应的概念体系中，与已知概念建立有机的了解，形成一个概念体系。（2）概念的应用概念应用的数学活动的两类型：（1）辨别与判断（2）概念的泛化。（3）建立概念体系中学教材中概念间的了解有以下几种情形：（

5、1）具有属种关系的概念群（2）具有并列关系的概念群。10、数学概念的教学（1）概念的引入概念引入的途径：1、列举生活实例，提供现实原型2、在已知概念的基础上引入3、运用数学问题引入。(2)明确内涵，廓清外延数学教学常常通过下列环节达到对概念内涵的把握与外延的界定：1、给出、剖析概念的定义2、用变式材料3、辨析否定例证。(3)概念的运用学生理解概念的定义的逻辑意义时常经历两个过程：一是知觉表达定义的语句的语法结构；二是把词义与知识结构中已知概念建立了解，把个别、孤立的词义综合起来获得整体定义的意义。所谓变式材料，是指概念的肯定例证在无关特征方面的变化。11、数学命题：数学课程中表示概念具有某种性

6、质或概念之间具有某种关系的判断。12数学命题的有关知识（1）判断与命题一般地，我们把反映事物是否具有某种属性或事物之间是否具有某种关系的思维形式叫做判断。用来表达判断的语句叫做命题。在数学中，用语言、符号表达的并且能够辨别真假的语句叫做数学命题。（2）数学公式数学公式：是一类用纯数学符号表达概念之间数量关系且在一定范围内恒成立的数学命题。数学公式具有以下特征：（1）数学公式的网络化；（2）数学公式的形式化。每组中的公式之间的关系：1派生关系、2相关并列关系、3总括关系。数学公式形式化特征：1公式中的元素符号起着“位置占有者”的作用;2数学公式的正逆向推演，适用于不同的技能操作;3同一公式通过恒

7、等变形或变换，可以得到多种表现形式。(3)数学定理在研究各种不同数学对象时，往往要对它们之间的关系作出一些判断，经过证明而肯定其正确性的判断，称为定理。定理群的展现形式：1、性质定理与判定定理;2、原命题与偏命逆题.充分条件判定定理；必要条件性质定理。命题有几种形式：原命题、逆命题、否命题、逆否命题和偏逆命题。13、命题学习得认知分析命题学习的认知过程主要经历三个阶段：1、命题的获得；2、命题的证明；3、命题的应用。命题的获得：学习者在已有知识经验的基础上感知命题的形式结构，表征命题的数学内容。命题获得的基本形式：1、呈现式B、发生式呈现式的获得方式一般经历下列心理活动：1、分析命题的条件与结

8、论；2、理解条件与结论中涉及到的数学概念，从而明确命题所表明的数学事实与规律；3、联想与该命题有关的已有知识，尝试着将新知识与已有观念建立了解；4、形成证明的心向。命题“若P则Q”的证明：就是在学习者已有知识经验的基础上，从命题条件P出发，运用逻辑规律与正确的思维形式，进行一系列的推理，最终得到结论Q的过程。学生面临证明命题的学习任务时的认知活动包括三个方面：其一，根据命题中条件与结论中涉及到的概念、原理、激活已有的知识，并对之进行筛选与组织，作为证明的依据；其二，根据逻辑规则进行正确的推理；其三，根据已有的证明经验，选择恰当的证题方法，探索证明途径。14、数学命题的教学（1）数学公式教学数学

9、公式教学一般包括以下几个阶段：1、公式的引入2、公式的发展与推导3、公式的掌握.学生是否掌握公式，可以从三个方面来衡量：一是准确理解数学公式的含义；二是牢固记忆公式；三是正确灵活运用公式。帮助学生牢固掌握数学公式可以通过以下几个环节来实现：1、分析公式的形式结构特征，以便帮助学生记忆公式2、分析公式所蕴含的数学意义与作用3、进行适当的训练。如何对学生进行适当的训练：首先是基础题的训练；然后是进行变式训练；最后是综合训练。（2）数学定理的教学数学定理的教学的步骤：1、课题的引入B2、定理的证明3、定理的运用4、建立数学定理结构体系。课题引入要达到的目的：1通过课题的引入设计，使学生了解学习该定理

10、的必要性2提供素材，创设问题情境，引导学生进行观察、类比、归类、联想等一系列探索活动，以发现规律，猜想定理的具体内容。定理的证明要做好以下工作：1分清命题的条件与结论2探索命题的证明途径3总结、归纳证明规律。15、数学问题及其教学（1）数学问题的分类：1、纯数学题与应用题2、证明题、计算题与探索题3、封闭题和开放题4、创新能力题与论述题（2）解决问题的过程波利亚的解题模式分析与解释：1、理解问题2、设计解题计划3、执行解题计划4、回顾与反思。（3）解决问题的教学明确问题解决的教学目标问题解决的教学目标是：2001年颁布的全日制义务教育数学课程标准规定的目标。一，初步学会从数学的角度提出问题、理

11、解问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识二，形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神。三、学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果。四、初步形成评价与反思的意识。2003年颁布的高中数学课程标准，在上述的基础上，进一步强调要“提高空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本功能”，“发展独立获取知识的能力”，“发展数学应用意识与创新意识，力求对现实世界中蕴含的一些数学模式进行思考与作出判断的能力”。数学问题系统的更新数学问题的选择和配置：（1）紧扣教学内容，配置具有启迪性的问题（2）针对学生的情感状态配置具有趣味性与探索性的问题（3）配置具有应用情境的问题，增强应用意识。增强学生的应用意识，一般可以从以下两个方面进行：其一，挖掘教材中的应用因素，编制建模问题；其二，开展研究性学习，解决来自于实际生活中的问题。在编制研究性应用题时，一般遵循下列原则：符合学生认知水平；紧扣教学内容；反映时代特征；符合客