水体交换年龄模型研究

1、年月第卷第期水科学进展，水体交换年龄模型研究邵军荣，吴时强，周杰，黄家文，徐成剑 南京水利科学研究院水文水资源与水利工程科学国家重点实验室，江苏南京）（ 长江勘测规划设计研究有限责任公司，湖北武汉；摘要：采用剖开算子法，把水体年龄控制方程分成几个连续的初值问题。在任意三角形网格中，分别对不同性质的算子采用各自适合的算法，即采用特征线法求解对流分步，采用半隐式有限元法求解扩散分步和传播分步。利用水体交换模型试验结果和水体年龄对称特性解析解对所建立的年龄模型进行了验证计算，结果表明，建立的水体年龄模型计算结果与试验结果、解析解结果吻合，可较好地预测水体交换年龄。关键词：二维水体年龄模型；剖开算子法

2、；水体交换；对称特性中图分类号：文献标志码：文章编号：（）水动力交换是研究水力学、生态问题的基础。对天然水域而言，多种作用力驱动着水体流动，如密度、风、科氏力和潮汐等，定量地分析这些因素对水体流动的影响非常困难。因此，选择一个合适的时间尺度参量作为表示物质交换和传输过程的评判指标十分必要。目前使用最为广泛的时间尺度参量为水体年龄。等对水体年龄进行了严格定义，对单个粒子来说，可定义为：粒子从进入水体到达给定的位置所需的时间。近年来，等创立了年龄理论，该理论是水体交换研究非常重要的基础，在湖泊、海洋以及河流等水体交换方面得到了广泛应用。用两种不同的方法定义了水体年龄，并研究了北大西洋水体渗透和垂直

3、运动，比较发现等创立的年龄理论具有较为显著的优点。和分析了年龄模型的一些性质，并利用该模型模拟了英吉利海峡和北海水体交换过程，开发了求解五维空间（时间×空间×年龄）的数值方法。等用放射示踪剂的放射年龄来研究水体年龄，得出了放射年龄会低估水体年龄的结论。和在一维恒定流动、无限水域条件下，从理论上详细研究了水体年龄的对称特性，得出了水体年龄不低种流量以及实测流量条件下，研究了约克河潮汐河口溶解物质传输过程，模拟结果显示，不同流量条件下物质传输过程存在较大差异。等采用有限体积法求解水流方程及年龄方程，研究了坦噶尼喀湖（）湖体表层水体与下层水体之间的交换。模拟结果显示，坦噶尼喀湖最

4、主要的水体交换过程情况，研究发现，河流流量及风场对水体交换的影响较大；高流量降低了表层水体年龄；模型计算水体交换结果与卫星监测到的结果吻合得很好。在变化的水位条件下，等利用（型，研究了引水对太湖水体交换的影响，模型结果显示，水动力条件对太湖水体交换有着重要的影响作用。）模型计算了美国内华达州米德湖的水体年龄。等借助水体年龄概念，通过三维模水体年龄模型是在对流扩散模型基础上发展起来的模型，在湖泊、海洋以及河流等水体交换方面得到了广泛应用。然而，由于浓度分布函数目前还无法测量，水体年龄不易得到验证，目前可见的文献仅对水动力收稿日期：；网络出版时间：网络出版地址： 基金项目：国家水体污染控制与治理科

5、技重大专项项目（）；水利部公益性行业科研专项经费资助项目（）作者简介：邵军荣（），男，江苏南通人，博士，主要从事水力水质数学模型的研究。： 能显示流动方向，而浓度可以显示水体流动方向的重要结论。和使用水体年龄模型，在高、中、是表层水体和下层水体的交换，其他交换过程可以忽略。等研究了美国哈德逊河与纽约湾水体交换水科学进展第卷部分进行验证，年龄计算结果的正确与否无从判断。基于此，本文建立了水体交换年龄数值模型，利用物理模型试验结果及水体年龄对称分布特性来验证水体年龄模型的合理性和可靠性。通用水体年龄模型通过推导，二维年龄模型可用以下个控制方程来表示：（）（）（）（）öö

6、0;æç÷ç÷èøèøööææç÷ç÷èøèøööææç÷ç÷øèøèööææç÷ç÷（）øèøè年龄可表示为年龄浓度与浓度的比值（为与恒定流动下水体

7、年龄计算方法区别，此处年龄计算方法定义为方法）：式中、分别为、向流速值，；为自由水面高程，；为水深；、为动量方程（式（）和式（）、向扩散系数，；为糙率；为浓度控制方程（式（）、年龄浓度控制方程（式（）扩散系数，；为物质浓度，；为年龄浓度，（·）；为年龄，；为浓度分布函数，（·）。（）数值方法及定解条件 数值方法为适应复杂的几何边界条件，使用三角形网格来划分计算区域。针对控制方程非线性特性，采用剖开算子法离散求解控制方程，对不同性质的算子方程分别采用各自适合的算法离散求解。以水动力控制方程为例，采用特征线法求解对流分步，采用半隐式有限元法求解扩散分步、传播分步。 对流分步&#

8、236;ïïíïïî（） 传播分步式（）为双曲型方程，可采用特征线法求解。（）第期邵军荣，等：水体交换年龄模型研究（）（）在计算中，采用半隐式有限元法求解式（）式（）可得出水位，然后代入式（）、式（）求出各节点上流速。在求解方法上，本文通过行指标矩阵压缩存储稀疏矩阵和预条件双共轭梯度法来解决有限元计算中的内存和运行效率问题。 扩散分步ööææç÷ç÷øèøèööææç

9、÷ç÷øèøè（）（）同样，采用半隐式有限元法求解式（）、式（），可求出扩散后的流速。（）可采用与水动力方程类似的数值方法。至此，通过对流、传播和扩散分步，可求出流速、水位。对于浓度控制方程式（）、年龄控制方程式 定解条件 边界条件（）水动力边界条件进口边界用非恒定过程来逼近恒定流，进口断面流量由升高到恒定值，之后保持不变，水位给定（为边界外法向矢量）；出口边界给出水位过程线，本文算例中水位为恒定值；固壁边界流速采用滑移条件。（）浓度边界条件入流边界给定浓度为；出流边界、固壁边界通常给定。（）水体年龄浓度边界条件入流边界给定

10、年龄浓度为；出流边界、固壁边界通常给定。是，当计算的浓度小于某一微小值时，由于计算舍入误差的影响，无法用式（）求出正确的结果。此时，根据年龄的物理意义，认为年龄等于时间，可理解为还未有水体运动到该节点。 初始条件初始条件除水位外物理量都给定为，水位给定一定常值。（）水体年龄边界条件入流边界给定年龄为；出流边界、固壁边界可通过式（）求出。需要指出的模型验证 水体交换物理模型 恒定流场下年龄计算方法考虑示踪剂（保守或者非保守）在释放到系统中，时刻系统中示踪剂的时间。假设系统水动力条件恒定，浓度分布函数将与时间无关（(，)(，)(，)，），示踪剂传输路径、传输时间都与时间无关。此时浓度（(，)）、年

11、龄（(，)）的表达式分别为从式（）可推导出浓度分布函数（(，)）的表达式：（，）（，）（，）（，）（，）（，）（）（）（，）（）（，）（，）水科学进展第卷因此，年龄(，)（为与通用年龄计算方法区别，此处称为方法）的表达式为式（）显示，年龄仅与浓度时间变化关系有关，因此可根据各时刻的浓度间接求出年龄值。式（）在缩短计算时间、验证年龄模型具有重要的意义，但在使用该年龄表达式时有两个限制条件：系统中示踪剂的时间；水动力条件恒定。在实际工程计算中，通常能够满足以上两个边界条件，可使用简化年龄表达式进行计算。 物理模型由本文计算年龄方程的方法可知，在恒定流场中，可从浓度时间曲线计算出年龄。为验证本文建立

12、的水体年龄数学模型，设计了水体交换物理模型，如图所示。（，）（，）（，）（）（为阀门，为测点）主要是调节进入交换区的清水。为了最大程度满足交换过程中流场不发生变化，设计了循环水泵系统。根据实验工况不同，调试水泵流量，使得循环水泵的流量与水库进口流量相等。实验前，交换区、循环管路均充满含有一定浓度的氯化钠盐水，阀门、处于关闭状态，阀门、处于开启状态。开启循环水泵，待交换区的水流稳定，形成恒定流后，关闭阀门、，同时完全开启阀门、按试验工况开启阀门至相应开度，使得清水进入交换区。然后按照一定时间间隔同时对每个测点取水样，直至交换区中的水体完全交换。共设置了个采样点，为，其中与、与对称，因此流速测量、

13、取样时仅选择和。进行了组工况实验，各实验工况如表所示。工况（低浓度）、工况（高浓度）用来研究初始浓度对实验结果的影响；工况、工况、工况用来研究流量对年龄的影响。通过氯离子的含量对水体进行示踪，使用硝酸银滴定法来测量氯离子浓度。表实验工况工况工况工况工况工况流量（·） 水位 初始氯化钠浓度（·） 雷诺数 物理模型主要由部分组成：水库、交换区和循环水部分。其中水库为交换提供清水的大水库；水库 图物理模型设计第期邵军荣，等：水体交换年龄模型研究 流速验证流速是年龄模型的基础，只有正确的计算结果才能得出准确的年龄。本文使用测量水体流速，图给出了工况条件下水动力数值模型速度计算值与实

14、测值比较结果。在交换区中，观测到两个大的回流区，与计算结果一致。进一步比较发现，流速大小及方向都非常吻合。 浓度验证测量得到的氯离子浓度值扣除水体本底浓度作为交换区绝对浓度值，利用初始浓度本底值对浓度测量结果进行量纲一处理。本文仅列出工况和工况浓度随时间变化关系，其他工况具有类似的结果。 （）图流速验证结果（方框内数值为实测值）不同工况、各测点相对浓度试验值和计算值随时间变化如图所示。从试验与计算结果可见，除交换区进口处（点）相对浓度试验值与计算值误差稍大外，其余点（、）浓度测量值与计算值吻合较好。点浓度计算值与实测值误差稍大的原因可能是由阀门的开关方式以及测量点离进口太近，浓度变化过快，使得

15、测量结果有一定偏差。总体来说，本文建立的模型能够准确预测浓度分布规律。 图测点相对浓度随时间变化过程 水体年龄验证水科学进展第卷当计算时间足够长时，各处相对浓度一致，无法反应出不同区域交换快慢，而通过计算出的年龄值可分析出交换快慢，图为工况稳定后的年龄计算结果。分析可知，各点年龄关系为：、，点年龄最小，点年龄略大于点，、点年龄最大。反映在交换速率上为：点最易交换，点次之。由于区域中存在回流，因此、点较难交换。为验证水体年龄计算结果，首先需通过实验数据，采用本文方法，其值为图阴影部分的面积。因此，拟合相对浓度与时间关系表达式，即可计算出各节点的水体年龄。相对浓度与时间关系拟合表达式可以表示为（）

16、（）（）不同工况下各测点拟合关系式系数如表所示。）水体年龄，以实验值作为真值，计算两者误差，结果如表所示。比较不同工况条件下各测点（、工况系数 图水体年龄分布 表测量数据拟合系数工况 工况 工况 工况 图水体年龄计算示意表水体年龄比较结果（）（）工况工况工况工况工况计算值 实验值 相对误差 计算值 实验值 相对误差 计算值 实验值 相对误差 比较结果显示，年龄误差大部分在内。工况的误差最小，最大不超过。综上所述，本文所建数学模型具有较好的精度，能够满足工程需求，可以用来计算实际应用计算。 水体年龄对称特性验证为进一步验证水体年龄数值模型的计算精度，考虑一维无限长区域，流速、扩散系数恒定。一保守

17、物质以恒定释放速率从处释放到区域中。将年龄控制方程进行量纲一化，求解可得浓度分布、浓度和年龄浓度的理论解析表达式为第期邵军荣，等：水体交换年龄模型研究æö÷（，）（）çèø（）（）（）æö（，）（）ç÷（）èøæö÷（，）（）çèø式中，为余误差函数，其表达式为：（）（）则年龄可表示为（，）（，）（，）¥由式（）、式（）分别可知：（，）（）（，），轴正向的浓度大于负向的浓度，这与物理现象相符；（，）（，），

18、年龄沿处左右对称。本文利用已建立的年龄模型，验证年龄具有对称的特性。计算区域为长方形范围（，），把计算区域进行三角单元剖分，共有个节点，个三角形单元。常速，初始浓度、年龄浓度都为。处，有一排放速率为（）的源。一维问题计算中，当空间步长恒定，根据守恒关系，排放速率变为；二维问题源汇项处理可见文献。图为时间分别为、¥时，计算出的浓度与理论值比较结果；图为时间分别为、¥时，计算出的年龄与理论值比较结果。比较结果显示，本文所建模型既能较好地模拟浓度值，也能较好地反映水体年龄对称特性，并具有较高的精度。æöç÷（）èøæö÷çèø（） 图浓度计算值与理论值比较结果 图年龄