电力系统暂态稳定性的数值方法研究

1、电力系统暂态稳定性的数值方法研究王超，陈熙伟，侯文宝中国矿业大学电气工程系，江苏徐州 (221008)E-mail：摘 要：暂态稳定分析是电力系统安全评估中的重要课题。本文讨论了国内外有关暂态稳定分析方法的发展概况，总结了各种方法的优缺点。选择数值法来分析电力系统暂态稳定。数值法具有广泛的模型适应性，计算结果精确，长期以来被电力部门作为标准使用。 关键词：暂态稳定；数值方法；直接法中图分类号：TM7121引言回顾一个多世纪以来电力工业和电力系统的发展，深感由于经济发展和技术进步带来的巨大变化。从18世纪的八九十年代电力系统的初创时期，到现如今的大容量远距离输电以及大电网的互联运输。电力系统的发

2、展深深的影响了人类的生活。虽然电力系统向大电网、高电压和远距离输电发展，对提高经济效益、促进环境保护起到了重要作用，但是也给电力系统的安全运行带来了新的问题，电力系统的稳定就是其中之一。如今的电力系统应该是安全、可靠、环保。因此，电力系统的稳定性是一个不可回避的课题。2电力系统暂态稳定电力系统稳定是指它能够运行于正常运行条件下的平衡状态，在遭受干扰后能够恢复到可以允许的平衡状态1。电力系统稳定性问题分为两大类：静态稳定性和暂态稳定性。静态稳定是指系统受到小的干扰后，不发生自发振荡和非周期性失步，自动恢复到起始运行状态的能力2。暂态稳定性是指系统突然经受大扰动后，各个同步电机能否继续保持同步运行

3、的能力。通常所考虑的扰动包括各种短路故障、切除大容量发电机或输电设备以及某些负荷的突然变化等1。电力系统遭受大扰动以后所发生的暂态过程可能有两种不同的结局。一种是暂态过程逐渐衰减，系统各发电机之间相对运动逐渐消失（相对速度衰减为零），使系统过渡到一个新的稳态运行情况，在这个运行情况下，各发电机仍然保持同步运行2。对于这种结局，我们说电力系统是暂态稳定的。另一种结局是在暂态过程中某些发电机之间的相对角度随时间不断增大，它们之间始终存在着相对转速（也就是说这些发电机失去了同步），并且因此产生了系统功率和电压的强烈振荡，使一些发电机和负荷不能继续运行，甚至导致系统解列。对于这种结局，我们说电力系统是

4、暂态不稳定的1。3. 暂态稳定分析的基本方法目前暂态稳定分析的基本方法可分为两类：数值解法和直接法。下面简要分析各自的优缺点。3.1 数值解法该方法主要是列出描述系统暂态过程的微分方程和代数方程组，应用各种数值积分方法进行求解，之后再根据发电机转子间的相对角度变化情况来判断稳定性2。从上个世纪50年代中期开始，就已经有大量研究工作在这方面进行。到了70年代中期，数值解法已发展的相- 1 -当成熟，基本上能满足电力系统规划、设计和运行过程中所进行的离线暂态稳定分析对计算速度和精度的要求，并已开发出了许多适于工程应用的计算程序。数值解法是现今求解暂态稳定问题的主要方法，也是最可靠的方法。其优点是系

5、统模型精致，计算结果准确，能提供系统中各种变量的时间响应；缺点是计算量非常大，耗时长（在线应用感兴趣的时间仅在几秒内），而且不易求出稳定程度的定量信息及对系统关键参数的灵敏度分析5。3.2 直接法直接法主要有三种：基于相关（主导）不稳定平衡点求解的RUEP法（简称UEP法）、基于势能界面搜索的PEBS法及基于单机无穷大等值和等面积准则的EEAC法。李亚普诺夫稳定性理论是在1892年提出的，它是从一个古典力学的概念发展而来。直接法是通过构造或定义一个反映系统稳定性的暂态能量函数（李雅普诺夫函数），来确定系统的临界能量（李雅普诺夫函数的临界值），并以此为稳定判别的标准。由于直接法不是从时域的系统运

6、动轨迹去看稳定问题，而是从系统能量及其转化的角度去看稳定问题，因此可快速进行系统稳定性分析。该方法在近二三十年得到了迅速的发展。直接法的优点是能提供系统稳定程度的定量信息，提供系统稳定裕度，对极限参数计算速度快，可快速扫描系统暂态过程。缺点是采用的模型比较粗略，计算结果具有保守性5。由于数值仿真法和直接法两者各有优缺点，至今无法彼此替代。本文中我们将采用数值仿真法来分析电力系统暂态稳定。4. 电力系统暂态稳定的数值解电力系统暂态稳定的数值解法就是通过求解微分代数方程组，即以系统受扰动前的运行状态为初始条件，对微分方程和代数方程采用某种数值解法，来推算系统受扰动后的动态过程。由已推倒出数学模型：

7、dx=f(x，y) （1） dt0=g(x，y) （2）在忽略发电机定子绕组和电网中电磁暂态过程影响的情况下，由电力系统各元件的数学模型和各元件间的相互关系，可列出描述全系统暂态过程的微分方程和代数方程组，其一般形式已经由（1）和（2）两式给出，微分方程式（1）由下列各部分组成3：（1）描述个发电机暂态和次暂态电势变化的微分方程。（2）各发电机的转子运动方程式。（3）描述各发电机励磁系统暂态过程的微分方程。它们根据励磁系统的类型和结构，可由相应的传递函数框图求得。（4）描述各原动机调速系统暂态过程的微分方程。（5）负荷中感应电动机的暂态过程方程式。它们包括转子运动方程式及暂态电势变化方程式。-

8、 2 -4.1 微分方程组和代数方程组的求解方法应用数值解法计算暂态稳定时，在每一个积分步长内必须同时求解微分方程和代数方程，这就需要在一般单纯求解微分方程组的数值积分方法基础上加以扩展。为此有两种不同的方法：交替求解法和联立求解法5。4.1.1 交替求解法交替求解法中把描述系统状态的微分方程和代数方程分开来求解。首先求解微分方程，再将微分方程的数值解带入代数方程中求解代数方程。交替求解法是目前暂态稳定分析所采用的主要方法，其中微分方程的数值积分方法和代数方程的求解方法原则上可以分别进行选择。数值积分方法的选取主要应考虑方法的计算速度、精度、数值稳定性和对刚性微分方程组的适应性。已经研究和使用

9、过的方法很多，包括显式欧拉法、改进欧拉法、显式龙格库塔法、隐式梯形积分法、预测校正法和隐式多步法等，它们各自有不同的特点。目前一般认为隐式梯形积分法对于计算速度、精度、数值稳定性和对刚性微分方程组的适应性等要求都较为满意，并且在发生不连续时无需重新起步。4.1.2 联立求解法联立求解法仅适用于各种隐式积分方法。联立求解法的基本原理是在t到t+t的积分步长内，将微分方程式（1）按照所采用的数值积分方法化成相应的差分方程，一起组成两组代数方程式，再对它们进行联立求解，从而同时得出x(t+(t)和y(t+(t)。联立求解的方法通常采用牛顿拉夫逊法。由于联立求解法的计算工作量很大，目前应用的比较少。4

10、.2 微分方程的数值积分方法电力系统暂态稳定分析中需要求解的微分方程是初始值已知的非线性常微分方程：&=f(x,y) x其中x为n个应变量的状态向量，我们的目的是在x等于x0的初始条件下求解状态变量x在时刻t的值。求解常微分的数值积分法主要可分为显式积分法和隐式积分法。4.2.1 显式积分法显式积分法中，微分方程的状态变量x在任意时刻t对应的值是从前一时段的x的值计算得来的。即（n+1）步的xn+1是由已知的xn和f(xn,yn)显式计算而来的。在求得时刻t的状态变量x(t)的值后，再求解代数方程得到网络方程的解Y(t)，从而完成一个步长的计算。1. 欧拉法考虑一阶微分方程：dx=f(

11、x,t) （3） dt在t=t0时刻x=x0。下图1是应用欧拉法的原理图：- 3 -在x=x0,t=t0时，我们可以用切线来近似代表真解的曲线，其斜率为：因而：x=在t=t0+t处的x的值为：x1=x0+x=x0+dxdt=f(x0,t0) （4） x=x0dxdtt （5） x=x0dxdtt （6）x=x0欧拉法就相当于用x的泰勒级数在点(x0,y0)附近展开式的前两相。t2t3&0t+&&0&&0 x1=x0+x+&+K （7） xx2!3!在用欧拉法决定了对应t=t1,x=x1后，我们可以采用另一较短时间步长t，决定对应于t2=t1+t的

12、x2如下：x2=x1+dxdtt （8）x=x1连续使用这个方法，x对应不同时间t的值就可以决定。2. 改进欧拉法标准欧拉法会产生误差，因为它用的是间隔开始处的微分值，尽管它应用于整个间隔。改进欧拉法试图通过使用间隔两端微分的平均值来克服这个问题。- 4 -改进欧拉法包括以下步骤：（1）预报步：用一步起始的微分来预报每一步末尾的值：x1=x0+pdxdtt （9）x=x0（2）校正步：用预报值计算每一步末尾的微分，而且这个微分和起始步的微分的平均值用来给出校正值：dx1 x=x0+2dte1x=x0dx+dtt （10） x=x1p5. 暂态稳定数值分析的基本流程数值解法的一般过程可以用图2所

13、示框图来表示，其中各框的作用和内容简单说明如下。 在计算暂态稳定前先要进行潮流计算，以便得出扰动前系统的稳态运行情况。由潮流计算结果求得各节点电压、电流和各发电机及负荷的功率后，直接计算出系统稳态运行情况下的非状态变量y(0)和状态变量x(0)，后者将作为求解微分方程式的初始条件。这是图中框和框的内容。框是根据各元件所采用的数学模型形成相应的微分方程，并根据所用网络求解方法形成相应的代数方程。从框开始，进入暂态过程计算。在一般暂态稳定计算程序中，积分步长t通常固定不变，并将第一个故障或操作的时刻取t=0（框）。在此情况下，由于状态变量不能突变，因此有x(0)=x0以后，每经过一个步长的计算，时

14、间t依次累加t，即框。2tL）开始的一个积分步长内的暂态过框到框。是从各个离散时刻t（t = 0，t，程计算。首先，在框中判断，时刻是否发生故障或操作。如果发生，则需根据故障或操作的具体内容对微分方程或代数方程进行修改（框），例如，修改网络的导纳矩阵。而且，如果是发生网络故障或操作，还需重新求解网络方程并计算故障或操作后瞬间的y(t)（框和框），因为非状态变量在发生故障或操作瞬间将产生突变。框式计算暂态稳定的核心部分，其内容是根据，时刻的y(t)和x(t)（应用多步积分法时还需用到以前时刻的取值），采用前面介绍的某种交替求解法或联立求解法计算，t+t时刻的y(t+t)和x(t+t)。然后，在框

15、中进行稳定性判断。如果已经判断出系统为不稳定，便可以停止计算并输出计算结果（框），否则经过框将时间向前推进t，进行下（框）。tmax一步长的计算，直至所计算的暂态过程持续时间达到预先给定的时间tmax为止的给定值与分析要求有关，如果只希望判断第一摇摆周期的稳定性，则通常取tmax=11.5s；而如希望判断第二、三摇摆周期的稳定性，则取tmax=35s。至于框中稳定性的判断，目前一般以任意两台电机转子间的相对角度超过180，作为失去稳定的判据4。根据暂态稳定数值分析的基本流程图，进行软件编程。°- 5 - 6 - 6. 算例 以上介绍了有关暂态稳定分析方法的数值法与直接法。 并且详细介

16、绍了数值分析法的欧 拉法与改进欧拉法，本文采用数值解法中的改进欧拉法，分析以下的算例。 例：简单电力系统的接线如图 3 所示。设输电线路某一回路的始端发生两相短路接地， 计算其保持暂态稳定而要求的极限切除角度，计算极限切除时间，并做出在 0.15s 切除故障 时的 t 曲线（用改进欧拉法计算 t 曲线，取 h=0.05）。 G U=115kV P0 =220MW 240MW 10.5kV cos 300MVA 10.5/242kV 230km 280MVA 220/121kV cos 0 =0.98 = 0.80 U S (%)=14 x = x 2 = 0.42 / km x = 4x 图

17、3 简单电力系统接线图 U S = 14 V xd ' = 0.30 解：选取基准值，计算参数。取 S B =220MVA， U B ( 220 ) =209kV。求得正常运行时等值 电路和负序、零序等值电路中参数，并先后计算出故障后的功率特性，故障切除后的功率特 性，以及计算切除时间，用改进欧拉法计算 t 曲线，（详细计算过程略）。 由计算所得及程序所得数据绘制出图 4 所示的 t 曲线。由图 4 可以直观的判断系统 的暂态稳定性：当 0.2s 切除故障对应的 迅速增加并且超过 180 ，系统一定不稳定；另外 ° 两条 t 曲线在 5s 内基本是等幅振荡，因求解曲线是在假设

18、系统无阻尼的条件下，而实际 运动的系统是存在阻尼，所以实际的 t 曲线振幅会越来越小，系统是暂态稳定的。 （°） 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 0. 3 0. 6 0. 9 1. 2 1. 5 1. 8 2. 1 2. 4 2. 7 3. 3 3. 6 3. 9 4. 2 4. 5 4. 8 故障切除时间： 0.2s 故障切除时间： 0.15s 故障切除时间： 0.1s t(s) 0 图4 由程序所计算的数据绘出的发电机 -7- 3 t 曲线 7. 总结电力系统暂态稳定分析是考察系统突然经受大扰动后，各个同步电机能否继续保持同步运行的能力，暂态稳

19、定对于电力系统的安全可靠运行具有极其重要的意义。目前暂态稳定析的基本方法有数值解法和直接法。本文介绍了两种方法的优缺点，而对数值解法做了具体的介绍，我们采用了改进欧拉法来分析电力系统的暂态稳定性。具体在建立数学模型的同时，根据给出的算法，用C语言编程，并给出算例。从计算结果的分析可以看出，运用改进欧拉法基本达到了我们所要求的目的。参考文献1 李光琦. 电力系统暂态分析(第三版)M. 北京:中国电力出版社,2007.1.12 夏道止. 电力系统分析M. 北京:中国电力出版社,1995,11.3 国家电力调度通信中心. 电力系统安全稳定导则学习与辅导M.北京:中国电力出版社2001.904 袁季修. 电力系统安全稳定控制M.北京:中国电力出版社,19965 汤涌. 电力系统稳定计算隐式积分交替求解J. 电网技术,1997,2,Vol.21No. 2Study on Transient Stability Analysis of Power Systemwith the Numerical MethodWang Chao, Chen Xiwei, Hou WenbaoDepartment of Electrical Engineering, China University of Mnining and Techmology, Xuzhou(221008)AbstractTra