圆锥曲线方程总结与复习

1、课题： 小结与复习（一）教学目的：1通过小结与复习，使同学们完整准确地理解和掌握三种曲线的特点以及它们之间的区 别与联系+2 .通过本节教学使学生较全面地掌握本章所教的各种方法与技巧，尤其是解析几何的基本方法一一坐标法；并在教学中进一步培养他们形与数结合的思想、化归的数学思想以及“应用数学”的意识3 .结合教学内容对学生进行运动变化和对立统一的观点的教育 教学重点：三种曲线的标准方程和图形、性质 教学难点：做好思路分析，引导学生找到解题的落足点 . 授课类型：新授课.课时安排：1课时， 教 具：多媒体、实物投影仪- 内容分析：在学完椭圆、双曲线、抛物线知识之后进行必要的小结与复习，可以梳理知识

2、要点，使 学生从圆锥曲线这个整体高度来全面认识三种曲线；同时也可以对前面所学的各种解析几何的基本方法进行归纳整理所以本节在全章教学中起着复习、巩固和提高的作用椭圆、双曲线、抛物线同属于圆锥曲线，它们的定义、标准方程及其推导过程以及简单 的几何性质都存在着巨大的相似之处，也有着一定的区别+而前面只是它节逐个学完了三种曲线，还缺少对它们归类比较， 为了提高水平，使同学们能够完整准确地理解和掌握三种曲 线的特点以及它们之间的区别与联系 *本章介绍使用了较多的思想方法，其中的重点是数形结合的思想，转化与化归思想， 坐标法等，这些都是培养学生解决解析几何问题的基本技能和能力的基础解析几何是最终能体现运动

3、与变化、对立与统一的思想观点的内容之一+点与坐标、方程与曲线之间的转化与化归给我们提供了良好的思想教育素材，我们应该给予充分的利用，达到应有的教学效果.本小结与复习可分为二个课时进行教学 +第一课时主要讲解课本上内容，即：一、内容 提要；二、学习要求和需要注意的问题 第二课时则针对本章的训练重点，讲解例题，进行 巩固和提高教学过程：从定义出发，以“曲线的方程和方程的曲线”为准绳，适量的平 几知识为辅助，以参数的选择为根本，大量的计算为熟练手段。结合函数以及不 等式为必要的提高。不求难，但求熟。切忌变态的纯平面几何解答解析几何。、复习引入:名称椭圆双曲线图象yy ' iOxO1 Txi平

4、面内到两定点 F1, F2的距离的和为平面内到两定点f1,f2的距离的差的绝对值为常数 （小定义常数（大于|F!F2 ）的动点的轨迹叫椭圆.即MF, + MF2|=2a当2a > 2c时，轨迹是椭圆，当2 a =2c时，轨迹是一条线段F1F2I当2a < 2c时，轨迹不存在于| F,F2 ）的动点的轨迹叫双曲线*即 MR| MF2| =2a当2a < 2c时，轨迹是双曲线当2 a =2 c时，轨迹是两条射线当2a > 2c时，轨迹不存在标准方 程2 2焦点在x轴上时：x+ y=1 ab22焦点在y轴上时：y2 +x2 =ia2 b2注：是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐

5、标轴上焦点在X轴上时：2 2x -y =12 , 21ab焦点在y轴上时：2 2y X =1a2b2常数a,b, c的关系a2=c2+b2, aAb>0 , a 最大，c = b,c£b,cabc2 = a2 +b2, c> a > 0 c 最大，可 以a=b, acb,a:>b渐近线焦点在X轴上时：0a b焦点在y轴上时：0a b抛物线:图 形寸yfO1y亠>x1c 厂w>xlOFx丿:方 程2y = 2 px( p a 0)y2 = -2 px( p>0)2x =2py(p>0)2x = 2 py( p > 0)焦占八、(p,

6、0)2(0)2(0,f)2(0厂号)2准线Px =-2& x =2卫 y =2卫 y爲、章节知识点回顾:由这些条件可以求出它们的标椭圆、双曲线、抛物线分别是满足某些条件的点的轨迹,准方程，并通过分析标准方程研究这三种曲线的几何性质+1.椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长(定长大于两定点间的距离)的动点 的轨迹.2.椭圆的标准方程：22 22xy. yx22 =1， 22 =1 ( a b 0)abab3.椭圆的性质：2 2由椭圆方程x2y2 =1( a . b . 0)ab范围：-a x 一 a, -b乞y乞b，椭圆落在x =a,y组成的矩形中.对称性：图象关于y轴对称图象关

7、于 x轴对称图象关于原点对称原点叫椭圆的 对 称中心，简称中心.x轴、y轴叫椭圆的对称轴从椭圆的方程中直接可以看出它的范 围，对称的截距-(3) 顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点 .椭圆共有四个顶点：A (-a,0), A2(a,0) , B (0,-b), B2 (0, b) 加两焦点Fi (-c,0), F2 (c,0)共有六个特殊点 A1A2叫椭圆的长轴，Bi B2叫椭圆的短轴.长分别为2a,2b-a,b分别为椭圆的 长半轴长 和短半轴长椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点(4)离心率：椭圆焦距与长轴长之比+e = En e = ：1 -(b)?0 <e<d*a a椭圆形状

8、与e的关系：e > 0,c0 ,椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在e=0时的特例+e > 1,c > a,椭圆变扁，直至成为极限位置线段F1F2，此时也可认为圆为椭圆在e =1时的特例+4椭圆的第二定义/ 一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个(0,1)内常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e就是离心率*椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式2；右准线12 : xc2；上准线丨2 ：y =c5.椭圆的准线方程2 2对于务芯-1，左准线11 : xa b22对于£=1,下准线11 :

9、 y =a b2 2 2焦点到准线的距离(焦参数)aa -cpc =cc椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称6椭圆的焦半径公式：（左焦半径）r- = a exo,（右焦半径）r2 =a-exo,其中e是离“MF=a + ey0心率焦点在y轴上的椭圆的焦半径公式：（其中F1,F2分别是椭圆的下MF? =a-ey。上焦点）*焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关.可以记为：左加右减，上减下加.x = a cos 半7椭圆的参数方程（为参数）*y = bs in®&双曲线的定义：平面内到两定点Fi,F2的距离的差的绝对值为

10、常数（小于F1F2 ）的动点的轨迹叫双曲线+即MF-MF2| =2a.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫 做焦距.在同样的差下，两定点间距离较长， 则所画出的双曲线的开口较开阔（ > 两条平行线） .两定点间距离较短（大于定差），则所画出的双曲线的开口较狭窄（> 两条射线）双曲线的形状与两定点间距离、定差有关 ，9 双曲线的标准方程及特点：（1）双曲线的标准方程有焦点在x轴上和焦点y轴上两种：2 2焦点在x轴上时双曲线的标准方程为：笃一爲=i（a 0, b 0）；a b22焦点在y轴上时双曲线的标准方程为：% 一刍=1（a 0, b 0）a2 b2a, b, c有关系式c

11、二a b成立，且a 0, b 0,c 0其中a与b的大小关系：可以为a = b, a ： b, a b.10*焦点的位置：从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母x2、y2项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴+而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；y2项的系数是正的，那么焦点在 y轴上.11.双曲线的几何性质：（1）范围、对称性2 2由标准方程务-£ =1，从横的方向来看，直线 x=-a,x=a之间没有图象，从纵的方a2b2向来看，随着x的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展

12、，不像椭圆那样是封闭曲线.双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心(2) 顶点顶点：A(a,0),A2 -a,0，特殊点：B1(0,b),B2 0b实轴：AA长为2a, a叫做半实轴长+虚轴：B1B2长为2b, b叫做虚半轴长.双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异(3) 渐近线22b过双曲线卑一爲=1的渐近线y = _bx( °_=0)a baa b(4) 离心率双曲线的焦距与实轴长的比 =-，叫做双曲线的 离心率.范围：e 1a ab * _a2rp.双曲线形状与 e的关系：k二一二二 2 -1 = e2 -1，e越大，即渐近线的斜a a V a率的绝对值

13、就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔.由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔.12 等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线.等轴双曲线的性质：(1 )渐近线方程为：y = x ; (2)渐近线互相垂直；(3)离心率e=、2.13 共渐近线的双曲线系如果已知一双曲线的渐近线方程为y=卫X =坐x(k 0)，那么此双曲线方程就a kar曰疋疋：2 2x y(ka)2(kb)2二1(k0)或写成2 X 2 a2丄-b27 / 1014 共轭双曲线以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线+区别：三量a,b,c中

14、a,b不同(互换)c相同+共用一对渐近线+双曲线和它的共轭双曲 线的焦点在同一圆上+确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为-1c15. 双曲线的第二定义：到定点F的距离与到定直线丨的距离之比为常数 e (c a 0)a的点的轨迹是双曲线”其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线”常数e是双曲线的离心率.16. 双曲线的准线方程：2 2 2对于 务-% =1来说，相对于左焦点F1(-c,0)对应着左准线h : x二-久，相对于右焦点a bcF2 (c,0)对应着右准线l22a:x =c焦点到准线的距离 P = (也叫焦参数).c2 22对于 与-笃=1来说，相对于上焦点 斤(0,-6对

15、应着上准线“ ：y - 一 ；相对于下焦点a bcF2 (0,c)对应着下准线12 : y 旦c17双曲线的焦半径定义：双曲线上任意一点 M与双曲线焦点 戸丁2的连线段，叫做双曲线的焦半径 焦点在x轴上的双曲线的焦半径公式:MF1 =a +ex()mf2 =a ex0焦点在y轴上的双曲线的焦半径公式:”MF1 =a +ey°MF2 =a ey°(其中FF2分另惺双曲线的下上焦点)18 双曲线的焦点弦：定义：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦 焦点弦公式：当双曲线焦点在x轴上时，过左焦点与左支交于两点时:AB - -2a - e(x1 x2)-过右焦点与右支交于两点时：AB =

16、 -2a + e(x1 + x2 )*当双曲线焦点在y轴上时，过左焦点与左支交于两点时：AB二-2a-e(y1 y2)-过右焦点与右支交于两点时：AB = -2a e(y1 y2)19双曲线的通径：2b 2定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦+d二旦一”a20”抛物线定义：平面内与一个定点 F和一条定直线丨的距离相等的点的轨迹叫做 抛物线定点F叫做抛物 线的焦点，定直线丨叫做抛物线的 准线"21 抛物线的准线方程：(1) y2 =2px(p 0),2 2 x2 =2py（p .0）,焦点：（0, P），准线 l : y = _E.2 2 y2 = -2 px（p 0）,焦点:（一号,0

17、），准线 l : x =号 + x2 二-2py（p . 0）,焦点:2 2相同点：（1）抛物线都过原点；（2）对称轴为坐标轴；（3）准线都与对称轴垂直，垂足与1焦点在对称轴上关于原点对称.它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的丄，即4审42不同点：（1）图形关于X轴对称时，X为一次项，Y为二次项，方程右端为 _2px、左端2 2 为y ;图形关于Y轴对称时，X为二次项，Y为一次项，方程右端为_2py，左端为x .（ 2） 开口方向在X轴（或Y轴）正向时，焦点在 X轴（或Y轴）的正半轴上，方程右端取正号； 开口在X轴（或Y轴）负向时，焦点在 X轴（或Y轴）负半轴时，方程右端取负号 .22.抛

18、物线的几何性质（1）范围因为p>0,由方程y2 =2px p 0可知，这条抛物线上的点 M的坐标（x , y）满足不等 式x>0,所以这条抛物线在 y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右 上方和右下方无限延伸.（2）对称性以一y代y,方程y2 =2 px（ p > 0不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.（3）顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.在方程y2 = 2px p 0中，当y=0时，x=0,因此抛物线y2 =2px p 0的顶点就是坐标原点.（4）离心率叫做抛物线的离心率，用e表示.由抛物线上的点 M与焦点的距

19、离和它到准线的距离的比, 抛物线的定义可知，e=1.23 抛物线的焦半径公式：抛物线 y2 = 2px(p 0),抛物线 y2 二-2 px( p 0),PFPFx°X。_卫x°抛物线 x2=2py(p>0) , PF =y0+E2抛物线 x2=/py（p>0） , PF=y0E=E y02 224.直线与抛物线：（1）位置关系：相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）；相切（一个公共点）2 2将丨：y = kx b代入C : Ax Cy Dx Ey F = 0，消去y，得到关于x的二次方程ax2 bx c = 0+ （ *） 若0，相交；=0 ,相切；

20、>： 0,相离. 综上，得：y = kx +b2联立丿2，得关于x的方程ax +bx + c = 0J =2px当a = 0 （二次项系数为零），唯一一个公共点（交点） 当a = 0，贝U若.：0，两个公共点（交点）.厶=0，一个公共点（切点）：0，无公共点（相离）“（2）相交弦长：弦长公式：1八，（3）焦点弦公式:抛物线 y2 = 2 px( p > 0) , AB = p + (% + x2) *抛物线 y2 =-2px(p a0) , ABup-+x?)抛物线 x2 = 2py( p > 0) , AB = p + (yi + y2)抛物线 x2=2py(p>0)

21、 , AB = p (力+丫2) +(4) 通径：定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 +通径：d =2p.(5) 若已知过焦点的直线倾斜角二则丫2_卩2 丸=yi y2 寻2 ck2.y = 2 px. y“2 pyi y24pk24p2p二 AByi 一 y22psin2 T128 / 10(6)常用结论:y =k（X吕）2 n2y -2pxI 222 22k pk x -（k p 2p）x04= y1 y = - p 禾口 X1X225.抛物线y=2px( p - 0)的参数方程:x = 2pt （t为参数）y = 2 pt三、典例分析1.若抛物线2yMX2的焦点与椭圆-七-1的上焦点重合，则m的值为()A. -82若动点M(x,y)到点F(4,0)的距离等于它到直线 (