初中几何添加辅助线的方法

1、初中几何添加辅助线的方法 学院路中学 张振环 崔海燕在几何证明中，为了证明一个结论，往往需要引用一些定义、定理或公理。但原图中有时不具备使用这些定义、定理或公理的条件，这时就需要添加辅助线创造条件，以应用这些理论来证明所要证明的结论。下面讨论根据已知条件作辅助线的几种常见的方法。一：与三角形有关的辅助线1、 与三角形的高有关的辅助线如果题目中有关于三角形高的条件，有时可作如下的辅助线：把三角形的高看作平角的平分线，并应用“翻折造全等”来作辅助线。如图1-1：在ABC中，若AD是BC边上的高，就可以在BD上取一点E，使DE=CD，并连结AE，不难发现： AEC是等腰三角形，且ACD AED 例1

2、、 已知在ABC中，C=2B，ADBC，求证：AC=BD-DC证明：如图1-2，在BD上取点E，使DE=CD，连结AE， ADBC, AE=AC, AEC=C AEC=B+BAE ,C=B+BAE ,C=2B BAE=B ,AE=BEAC=AE=BE=BD-DE=BD-DC2、 与三角形的中点、中线有关的辅助线如果题目中有关于三角形边的中点或中线的条件，有时可作以下几种辅助线：根据“中点配中点。连成中位线”的原则作辅助线。如图1-3，在ABC,若D、E分别是AB、AC的中点，我们可以把D、E连结起来，不仅可以得到DEBC，而且有DE=BC 例2、 已知如图1-4，AD、BF是ABC的中线，重心

3、是G，求证：AG=2DG,，BG=2FG，GC=2EG证明：连结EF，E、F分别为AB、AC的中点，EFBC,EF=BC，GEFGCB ，=2 ，即BG=2FG. 同理可证：AG=2DG，CG=2EG.延长中线成倍长，造成全等三角形或平行四边形.如图1-5，AD是ABC的中线，若延长AD至E，使DE=AD，连结BE，则ADCEDB如图1-6，AD是ABC的中线，若延长AD至E，使DE=AD，连结BE、CE，则四边形ABEC是平行四边形。例3、 如图1-7，已知ABC中，AB=AC，CE是AB边上的中线，延长AB到D，使BD=AB，连结CD，求证：CD=2CE.分析：方法一：E是AB的中点，不妨

4、延长CE到F，使EF=CE，连结AF.通过三角形全等的证明来推导结论。方法二：考虑到B是AD的 中点，不妨取CD的中点G，连结BG，这样不仅得到BGAC，而且把要证明的结论CD=2CE转化为证明CG=CE或DG=CE的问题. 在直角三角形中，若已知斜边上的中点，可把这点和直角顶点连结起来，成为直角三角形写边上的中线，利用斜边上的中线是斜边上的一半。例4、 如图1-10，已知：BE、CF是ABC的两条高，E、F是垂足，M、N分别是BC、EF的中点，求证：MNEF.分析：BEAC，即BCE是直角三角形，M是斜边BC的中点，不妨把ME连结起来。同理连结FM。证明：连结ME、FM .BEAC，M是BC

5、的中点，ME=BC， CFAB,FM=BC,故ME=MF,MEF是等腰三角形.N为EF的中点，MNEF.3、 与三角形的角平分线有关的辅助线 过角平分线上一点作平行线截出一个等腰三角形。 如图1-11，AE是BAC的平分线，D是AE上的一点，则过D作DFAC交AB于F，可以证明ADF是角平分线，AF=DF. 例5、 如图1-12，已知：ABC中，AD是BAC的外角平分线，AD与BC的延长线交于点D，求证：分析： 过C作CEAB交AD于E，可得等腰三角形ACE，则的证明问题可转化为证明（2）用翻折的方法构造全等三角形，反映在添加辅助线时，可用“截取”或“延长”。 如图1-13，在ABC中，AD是

6、BAC的平分线。若AB>AC，可在AB上找一点E，使AE=AC，则ADCADE；也可如图1-14，延长AC至E，使AE=AB，可得ABDAED 例6、 如图1-15，在ABC中，B=2C，BAC的平分线交BC于D，求证：AB+BD=AC 分析一：B=2C>C，AC>AB,若在AC上确定一点E，使AE=AB，则ABDAED，且所要证结论可转化为：BD=AC-AB=AC-AE=CE 分析二：B=2C>C，AC>AB，若延长AB到E，使AE=AC，连结DE，如图1-16，则ACDAED.二：与梯形有关的辅助线1、 平移一腰如图2-1，在梯形ABCD中，ABCD，过点C作

7、CEAD交AB于E，则把梯形分成了一个三角形（CED）和一个平行四边形（AECD）。在三角形中集中了梯形各元素。如果是等腰梯形，那么这个三角形也是等腰三角形。例1、 如图2-2，在梯形ABCD中，A+D=90°，M、N是BC、AD的中点，求证：MN=(AD-BC) 证明：如图2-2，过点B作BEMN交AD于E BCAD,BENM是平行四边形,BE=MN，EN=BM.M、N是BC、AD的中点，BM=BC，AN=AD,AE=AN-EN=AN-BM=(AD-BC) 过点B作BFCD交AD于F，BFDC是平行四边形。AF=AD-FD=AD-BC=2AE,EF=AF-AE=AE,即E为AF的中

8、点，BFCD,BFA=D,A+D=90°ABF=180°-(A+BFA)=90°MN=BE=AE=(AD-BC).2、 平移一条对角线如图2-3，ABCD是梯形，BD是对角线，若过C作BD的平行线，与AB的延长线相交于E，可以证明，BECD是平行四边形，这样把有关梯形的问题转化为一个平行四边形和一个三角形的问题。 例2、如图2-4，梯形ABCD中，ABCD，AD=BC，EF是中位线，ACBD，CGAB于G ，求证：EF=CG.A 证明：过2点C作CHBD交AB的延长线于H。ACBD，ACCH，ABCD，AD=BC,BD=AC,CH=BD=AC.CGAB,CG=AH

9、=(AB+BH)= (AB+CD)EF是中位线，EF=(AB+CD),EF=CG.3、 从小底的两端向大底引垂线如图2-5，在梯形ABCD中，AB>CD，ABCD。若由C、D分别向AB引垂线，垂足分别为E、F，可把梯形转化为一个矩形和两个直角三角形。例3、图2-6， ABCD为梯形，ADBC，AC、BD为对角线，求证： 分析：过点A、D作AEBC，DFBC利用勾股定理证明即可.证明略4、 作梯形中位线如图，ABCD是梯形，AD/BC,M、N分别是AB、CD的中点，若连结MN,则MN/AD/BC,且MN=.例4、如图2-，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，E是CD的中点，求证：AE

10、=BE分析：取AB中点F连接EF，利用中位线与两底平行的性质。5、延长两腰如图2-，若延长梯形ABCD两腰AD、BC，使他们相交于E，则可得到两个三角形(ABE、DCE) 相似。例5、在梯形中ABCD，ABCD，A=B，求证：AD=BC.分析：延长两腰和等角对等边的性质即可得到结论。（证明略）三：与平行四边形有关的辅助线与平行四边形有关的问题，添加辅助线的方法与梯形相类似。例1：如图3-1，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，1=2，求证：DEBF四边形是平行四边形。分析：连接对角线BD.证明略 四：与圆有关的辅助线1、研究单圆内部问题时添加的辅助线。（1）过圆心作弦的垂线过圆心垂

11、直于弦的直线平分弦，因此过圆心作弦的垂线可以将弦分为两条相等的线段。例1、 如图4-1，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相交于C和D，求证：AC=DB. 分析：过O点作OEAB交AB于E，利用垂经定理即可得结论。证明略（2）过弦的两端作半径过弦的两端作半径，可以得到由这两条半径和弦组成的等腰三角形。例、O是ABC的外接圆，D是AC弧的中点，BD交AC于E。求证：CD 是DE和DB的比例中项；当CD=2，到得距离为1时，求O的半径。分析：只需证明BCDCED，连结OD、OC,利用垂径定理可以得到ODAC，再使用勾股定理就可得到圆O的半径.证明略。（）、知圆的直径，连接圆上各点，构成所

12、对的圆周角是直角例3、如图4-3，AD是ABC的高，AE是ABC 外接圆的直径，求证：AC·AB=AE·AD. 分析：连接BE，易证ADCABE.（）、连接圆周上的点构成圆周角，以便进行等量代换。例、如图，已知AB是O的直径，割线CD交O于E，且与直径AB垂直，垂足为M,CA交O与F，求证：CF·AF=DF·EF分析：CF、AF、DF、EF分别属于两个三角形的边，因此有必要连接AE,以得到AEF，再从相似来证明。、与圆的切线有关的问题，添加辅助线的方法如下 （1）、作出过切点的半径，该半径与切线相垂直。例、如图4-，在O为圆心的两个同心圆中，过大圆上一点

13、P，作小圆的两条切线PA、PA交大圆与C、D两点，切点为A、B，直线AB交大圆于E、F，求证：PC=CD;EF/CD分析：连结OA、OB，可以利用半径与切线相垂直。 （2）、作弦切角在研究与圆的切线有关的问题中，可联结某两点成为一线段，这段线段与切线可以构成弦切角，进而应用弦切角的有关性质。（3）、作点心线研究与圆的切线有关的问题，可以圆心与切线上一点连结起来，以得到一个以圆切线为边的三角形。例、如图，由圆外一点P作圆的两条切线，切圆于A、B两点，引直径BC，求证：ABC=1/2APB分析:连接OP易知3、两圆相切的问题涉及两圆相切时，常由切点作两圆的公切线，目的是出现弦切角。4、 两圆相交问题(1)作两圆的公共弦例、如图，大圆和小圆相交于A、B两点，经过A的直线分别交两圆于C、D两点，经过点B的直线分别交两圆于点E和F,且CD/EF，求证：CE=DF.分析：连接A