2017年初高中数学衔接教材(已整理)

1、2017初高中数学衔接教材现有初高中数学教材存在以下“脱节”：1、绝对值型方程和不等式，初中没有讲，高中没有专门的内容却在使用；2、立方和与差的公式在初中已经删去不讲，而高中还在使用；3、因式分解中，初中主要是限于二次项系数为1的二次三项式的分解，对系数不为1的涉及不多，而且对三次或高次多项式的分解几乎不作要求；高中教材中许多化简求值都要用到它，如解方程、不等式等；4、二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中数学中函数、不等式常用的解题技巧；5初中教材对二次函数的要求较低，学生处于了解水平。而高中则是贯穿整个数学教材的始终的重要内容；配方、作简图、求值域（取值范围）、

2、解二次不等式、判断单调区间、求最大最小值、研究闭区间上的函数最值等等是高中数学所必须掌握的基本题型和常用方法；6、二次函数、二次不等式与二次方程之间的联系，根与系数的关系（韦达定理）初中不作要求，此类题目仅限于简单的常规运算，和难度不大的应用题，而在高中数学中，它们的相互转化屡屡频繁，且教材没有专门讲授，因此也脱节；7、图像的对称、平移变换初中只作简单介绍，而在高中讲授函数时，则作为必备的基本知识要领；8、含有参数的函数、方程、不等式初中只是定量介绍了解，高中则作为重点，并无专题内容在教材中出现，是高考必须考的综合题型之一；9、几何中很多概念（如三角形的五心：重心、内心、外心、垂心、旁心）和定

3、理（平行线等分线段定理、平行线分线段成比例定理、射影定理、相交弦定理）初中早就已经删除，大都没有去学习；10、圆中四点共圆的性质和判定初中没有学习。高中则在使用。另外，象配方法、换元法、待定系数法、双十字相乘法分解因式等等等等初中大大淡化，甚至老师根本没有去延伸发掘，不利于高中数学的学习。新的课程改革，难免会导致很多知识的脱节和漏洞。本书当然也没有详尽列举出来。我们会不断的研究新课程及其体系。将不遗余力地找到新的初高中数学教材体系中存在的不足，加以补充和完善。目录第一章数与式1.1 数与式的运算1.1.1 绝对值1.1.2 乘法公式1.1.3 二次根式1.1.4 分式1.2 分解因式第二章二次

4、方程与二次不等式2.1 一元二次方程2.1.1 根的判别式2.1.2 根与系数的关系2.2 二次函数2.2.1 二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质2.2.2 二次函数的三种表达方式2.2.3 二次函数的应用2.3 方程与不等式2.3.1 二元二次方程组的解法第三章相似形、三角形、圆3.1 相似形3.1.1 平行线分线段成比例定理3.1.2 相似三角形形的性质与判定3.2 三角形3.2.1 三角形的五心3.2.2 解三角形：钝角三角函数、正弦定理和余弦定理及其应用3.3 圆3.3.1 直线与圆、圆与圆的位置关系：圆幂定理3.3.2 点的轨迹3.3.3 四点共圆的性质与判定3.3.4 直线和

5、圆的方程（选学）1.1 数与式的运算1.1.1. 绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零.即a,a0,|a|=0,a=0,-a,a4.解法:由x-1=0,得x=1;由x-3=0,得x=3;若x4,即一2x+44,解得x0,又x1,x0;若1Wx4,即14,不存在满足条件的x;若x之3,不等式可变为(x-1)+(x-3)4,即2x44,解得x4.又x5x4.综上所述，原不等式的解为x4.解法二：如图1.11,|x-1表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离2的点B之间的距离|PB|,即|PB|=|x |PA|,即|PA|=|x1|;|

6、x3|表示x轴上点P到坐标为|x-3|_4的几何意义即为|FA|+|PB|4.由AB|=2,可知点P在点C（坐标为0）的左侧、或点P在点D（坐标为4）的右侧.x4.练习1 .填空：(1)若x=5,则x=;若x=4,则x=(2)如果a+b=5,且a=T,则b=;若1一c=2,则c=2 .选择题：下列叙述正确的是(A)若 a = b,则 a=b(C)若 ab,则 a 5).(B)若ab,则ab(D)若a=b,则a=b乘法公式(1)平方差公式(a +b)(a -b) = a2 -b2 ;(2)完全平方公式(a b)2 = a2 2 a b+ 2b我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式:(1)立方和公

7、式2233(a + b) (a - a b b) = a+;b(2)立方差公式(a - b) (a + ab 2b)= 3a-;3b(3)三数和平方公式(a + b + d =a +b +C 2( a b+ bb;)ac(4)两数和立方公式(5)两数差立方公式(a + bf = 4 +33b+3 a2b+;3b (a - bf = J -3 a b+3 a2b -. b对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明. 例 1 计算：(x+1)(x1)(x2x+1)(x2+x+1).解法一：原式二(x2 1)(x2+1)2 -x2=(x2 -1)(x4 x2 1)6=x -1 .解法二：原式=

8、(x +1)(x2 -x +1)(x -1)(x2 + x +1) 33=(x 1)(x -1) x6 1 =x - 1 .例2 已知 a+b+c = 4, ab + bc + ac = 4,求 a2+b2+c2 的值.解：a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 - 2(ab + bc + ac) = 8 .练 习1 .填空：1 2 1 . 21 .1 、(1) -a -b =(b+a)()；9423、2 一 2(2) (4m +) =16m +4m+()；_2222(3 ) (a+2b-c) =a +4b +c +().2 .选择题：1(1)若x2 +mx +k是一个完全平方

9、式，则 k等于221212(A) m2(B) -m2(C) -m2(2)不论a, b为何实数，a2+b2-2a-4b+8的值(A)总是正数(B)总是负数12(D) m2( )(C)可以是零(D)可以是正数也可以是负数一般地，形如va(a0)的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为 无理式.例如 3a + Ja2 +b +2b , Ja2 +b2等是无理式，而 V2x2+2x + 1 ,2我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式:1 .分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化.为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念.两个含有二次根式的代数式

10、相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如并与，34与后,F+旗与翼,2君3应与2/+3&,等等.一般地，a与，aC+b/?与a五一b,a7X+b与aVX-b互为有理化因式.分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式石声=7ab（a之0,b之0）；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号

11、与合并同类二次根式.2 .二次根式va2的意义r2包a至0,7a=a=4-a,a：0.例1将下列式子化为最简二次根式:(1) 712b;(2)V02b(a0);解：(1)52b=2病；(2) Va2b=a|Vb=aVb(a0)；(3)，4x6y=2x3|77=-2x/y(x0).例2计算：石士(3-Q).解法J-(3,-33-3-3_3(3.3)一(3-.3)(3,3)3.339-3二3（、31）.6,31-.2解法二：73+（3134冶=下卒一3-；3.3（3-1）(3) ,4x6y(x11,12-11痂773用-Co=彳工呵)听1=10)11.11,10.1110又712+51布不而,.-

12、12_J12但:.优+4m+2点2272-褥.64例4化简：(用十点)2004.(褥-无)2005.解：(、,3、,2)200463一.2)2005=(4+72)200473-72)2004,(曲-柩=(百+仓,(73-拘I2004.电近):12004(*-72)=石-0.一一例5化简：(1)J94/5;(2)Jx2+2-2(0x/5+22=J(2V5)2=2娓=娓2.(2)原式=J(x1)2=x,Yxx一11-0Hx/150 =什 5,x 1 一 x1, x 1 x-1右 x =，则-=-+-J=2 x 1 x-1 x 1 - x -12.选择题:等式=班工成立的条件是x-2 x-2(A)

13、x=23 .若 b 二4 .比较大小:a 12-V3.(B) x 02-,求a + b的值.(C)(D) 0x21.分式的意义A形如JA的式子，若B1.1.4 .分式.AA . .一B中含有字母，且 B=0,则称二为分式.当MWO时，分式C具有下列性质:上述性质被称为分式的基本性质.2,繁分式a像，c d个这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式.np举*=公+工，求常数A,B的值.x（x2）xx2解:公xB A(x 2) Bx (A B)x 2A 5x 4x(x 2)x(x 2)x(x 2)(D(2)(3).A B=5,2A =4,解得A = 2 ,B(1)(2)证明:试证:计算:证明:

14、.1解：由11n(n 1)1（其中n是正整数）；十12 2 3+111 +9 10对任意大于1的正整数n,1 (n 1) -nn n 1 n(n 1)111n(n 1) n(1)可知HI2 3n(n 1)有七六（其中n是正整数）成立.11119 10(匚)(2一3) M (9110)又nZ且n是正整数，n(n 1)1n(n 1)11 一一10=(1.3)+(1.1)+,)|(:+(11、一Q 一定为正数，11, 2c2 5ac+ 2a2 = 0,求 e的值.a解：在2c25ac+2a2=0两边同除以a2,得22e2-5e+2=0,.(2e-1)(e-2)=0,1.人，、一.e=23；(2)x+

15、3+|x-26.332 .已知x+y=1,求x+y+3xy的值.3 .填空：(1) (2+的18(2-点)19=；(2)若J(1a)2+J(1+a)2=2,则a的取值范围是(3)111111.2,2；3.3.4.4；55.61,b=-,则31 .填空：(1) a=L2-23a-ab3a25ab-2b222(2)若x2+xy2y2=0,则x+3xy：y=xy2.已知：x=1,y=1,求fR广的值.23x-yxyC组1.选择题：(1)若,，-a-b-2ab-.-b-a,贝U(A)ab(B)而(C)ab0(C)-yj-a()(D)ba0()(D)-Va 2112.解方程 2(x +) -3(x +

16、-) -1=0.9 11xx1113.计算：HI1324354.试证：对任意的正整数n,有+川+n(n1)(n2)14.1.2因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法.1 .十字相乘法例1分解因式：(1) X23x+2;(2)x2+4x12;2 2(3) x(a+b)xy+aby;(4)xy1+xy.解：(1)如图1.11,将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成一1与一2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为一3x,就是x23x+2中的一次项，所以，有2一x2-3x+2=(x1)(x-2).图 1. 1 3说

17、明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1.11中的两个x用1来表示(如图1.12所示).(2)由图1.13,得x2+4x12=(x2)(x+6).(3)由图1.14,得22图 1. 1-5x_(a+b)xy+aby=(x-ay)(x-by)(4) xy-1+xy=xy+(xy)1=(x1)(y+1)(如图1.15所示).课堂练习一、填空题:1、把下列各式分解因式：(1) x2+5x-6=。(2) x2-5x+6=。2(3) x+5x+6=。(4) x2-5x-6=。(5) x2-(a+1x+a=。(6) x211x+18=。(7) 6x27x2=o(8) 4m2-12m+9。(9

18、) 5+7x-6x2=。(10) 12x2+xy-6y2=2、x2-4x:x3x3、若x2+ax+b=(x+2(x-4)则a=,b=。二、选择题：(每小题四个答案中只有一个是正确的).2_2_2_2-1、在多项式(1)x+7x+6(2)x+4x+3(3)x+6x+8(4)x+7x+102(5)x+15x+44中，有相同因式的是()A、只有(1)(2)B、只有(3)(4)C、只有(3)(5)D、(1)和(2);(3)和(4);(3)和(5)2、分解因式a2+8ab33b2得()A、(a+11Xa3)B、(a+11bXa3b)C、(a11bXa-3b)D、(a11bXa+3b)3、(a+b2+8(

19、a+b)20分解因式得()A、(a+b+10)(a+b2)B、(a+b+5a+b4)C、(a+b+2Ja+b-10)D、(a+b+4Xa+b5)4、若多项式x23x+a可分解为(x5j(xb),则a、b的值是()A、a=10,b=2B、a=10,b=2C、a=10,b=2D、a=10,b=225、若x+mx_10=(x+ax+b其中a、b为整数，则m的值为()A、3或9B、3C、9D、3或土9三、把下列各式分解因式23_2一一一21、6(2pqf11(q2P)+32、a5ab+6ab4、b4 -2b2 -823、2y-4y-62.提取公因式法例2分解因式：(1) a2(b-5)+a(5-b)(

20、2)x3+9+3x2+3x解：(1).a2(b-5)+a(5-b)=a(b-5)(a-1)(2) x393x23x=(x33x2)(3x9)=x2(x3)3(x3)=(x+3)(x2+3).或3_2_3_2_3_3_3x3+9+3x2+3x=(x3+3x2+3x+1)+8=(x+1)3+8=(x+1)3+23_2_2_2_=(x+1)+2(x+1)(x+1)M2+2=(x+3)(x+3)课堂练习：一、填空题：1、多项式6x2y2xy2+4xyz中各项的公因式是。2、m(x-y)+n(y-x)=(x-y)。3、m(x-y2+n(yxf=(xy2。4、m(x-yz)+n(y+zx)=(xyz)。5

21、、m(x-y-z)-x+y+z=(x-y-z)。6、-13ab2x6-39a3b2x5分解因式得。7.计算99299=二、判断题：(正确的打上，错误的打上“x”)1、2a2b-4ab2=2ab(a-b)()2、am+bm+m=m(a+b)()3、-3x3+6x2-15x=-3x(x2+2x-5)()4、xn+xn,=xn(x+1)()3:公式法例3分解因式：(1)-a4+16(2)(3x+2yf-(x-yf解：-a416=42-(a2)2-(4a2)(4-a2)=(4a2)(2a)(2-a)(2)(3x+2y2(xy2=(3x+2y+xy)(3x+2yx+y)=(4x+y)(2x+3y)课堂练

22、习222.23.3一、a-2ab+b,ab,ab的公因式是二、判断题：(正确的打上，错误的打上“x”)1、4x2-0.01=i-x1-(0.12=J2x+0.1i!l-x-0.1i!()93.J30.于是当b24ac0时，方程的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根_-bJb2-4acx122a(2)当b24ac=0时，方程的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根bXi=X2=；2a(3)当b24acv0时，方程的右端是一个负数，而方程的左边(x+2)2一定大于或等于零，因2a此，原方程没有实数根.由此可知，一元二次方程ax2+bx+c=0(a用)的根的情况可以由b24ac来判定，我

23、们把b24ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(aR)的根的判别式，通常用符号“来表示.综上所述，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(aR),有(1) 当A0时，方程有两个不相等的实数根_ -b Jb2 - 4ac12 2a b(2)当A=0时，方程有两个相等的头数根Xi=X2=；2a(3)当AV0时，方程没有实数根.例1判定下列关于x的方程的根的情况(其中a为常数)，如果方程有实数根，写出方程的实数根.(1) x23x+3=0;(2)x2-ax-1=0;(3) x2ax+(a1)=0;(4)x22x+a=0.解：(1)A=324MX3=3v0,，方程没有实数根.(2)该方程的根的判别式

24、A=a2-4X1-1)=a2+40,所以方程一定有两个不等的实数根aa24a-a24为2x22,(3)由于该方程的根的判别式为=a24X1X(a1)=a24a+4=(a-2)2,所以，当a=2时，A=0,所以方程有两个相等的实数根x1=x2=1；当aw2时，A0,所以方程有两个不相等的实数根x1=1,x2=a-1.(3)由于该方程的根的判别式为A=224X1Xa=4-4a=4(1a),所以当A0,即4(1-a)0,即a1时，方程没有实数根.说明：在第3,4小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论.分类讨论这一思

25、想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题.2.1.2根与系数的关系(韦达定理)若一元二次方程ax2+bx+c=0(a加)有两个实数根-b - vb2 -4ac-b - . b2 -4ac2a2a则有-bfb2-4ac-b-.b2-4ac-2bbx1+x2=+=一2a2a2aa-bb2-4ac-b-b2-4acb2-(b24ac)4accvv=x1x2222a2a4a4aa所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：这一关系也被称为如果ax2+bx+c=0(aR)的两根分别是x1,x2,那么x1+x2=,x1x2=.aa韦达定理.特别地，对于二次项系数

26、为1的一元二次方程x2+px+q=0,若x1，x2是其两根，由韦达定理可知x1+x2=p,x1x2=q,即p=一(x1+x2),q=x1x2,所以，方程x2+px+q=0可化为x2(Xi+X2)x+X1X2=0,由于Xi,X2是一元二次方程x2+px+q=0的两根，所以，Xi,X2也是一兀二次方程X2(Xi+X2)x+XiX2=0.因此有以两个数Xi,X2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是2X(Xi+X2)X+XiX2=0.2例2已知万程5x+kx-6=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值.分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k的值，再由方程解出另一个根.但由于我们学

27、习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值.解法一：2是方程的一个根，5X22+kX2-6=0,k=7.所以，方程就为5x2-7x-6=0,解得xi=2,X2=-3.5一、一3所以，方程的另一个根为一3,k的值为一7.5解法二：设方程的另一个根为xi,则2xi=-,xi=-3.55由(3)+2=-k,得k=7.55一、一3所以，方程的另一个根为一3,k的值为一7.5例3已知关于x的方程x2+2(m2)x+m2+4=0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21,求m的值.

28、分析：本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程，从而解得m的值.但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零.解：设Xi,X2是方程的两根，由韦达定理，得xi+X2=2(m2),XiX2=m2+4.1.Xi2+X22XiX2=2i,.(xi+X2)23XiX2=2i,即-2(m-2)2-3(m2+4)=2i,化简，得m2-i6m-i7=0,解得m=i,或m=i7.当m=i时，方程为x2+6x+5=0,A0,满足题意；当m=i7时，方程为x2+30x+293=0,A=302-4XiX293(-5)2-3(-3)=-空说明:次方

29、程的 两根之差的绝对值8是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题,为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律:设Xi和X2分别是二次方程X1 =-b -4b2 -4ac | Xi - X2| =2a一 b 0.a4,17，a-.，a的取值范围是a4.(A) m4(C) mv1,且mw。(D)m1,且mw。442 .填空：11(1)若方程x23x1=0的两根分别是Xi和X2,则,+=.X1x2(2)方程mx2+x2m=0(mwQ的根的情况是.(3)以一3和1为根的一元二次方程是.3 .已知Ja2+8a+16+|b-1|=0,当k取何值时，方程kx2+ax+b=0有两个不相等的实数根?4,已

30、知方程x2-3x-1=0的两根为x1和x2,求(x一3)(x23)的值.习题2.1A组1 .选择题：(1)已知关于x的方程x2+kx2=0的一个根是1,则它的另一个根是()(A)-3(B)3(C)-2(D)2(2)下列四个说法：方程x2+2x7=0的两根之和为一2,两根之积为一7;方程x22x+7=0的两根之和为一2,两根之积为7;方程3x27=0的两根之和为0,两根之积为_7；3方程3x2+2x=0的两根之和为一2,两根之积为0.其中正确说法的个数是()(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个(3)关于x的一元二次方程ax25x+a2+a=0的一个根是0,则a的值是()(A) 0(B) 1(

31、C) 1(D) 0,或一12 .填空：(1)方程kx2+4x1=0的两根之和为一2,则k=.(2)方程2x2x4=0的两根为a,&则，+伊=.(3)已知关于x的方程x2ax3a=0的一个根是一2,则它的另一个根是.(4)方程2x2+2x1=0的两根为x1和x2,则|x1一x2|=.3 .试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m2x2-(2m+1)x+1=0有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？4 .求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x2-7x-1=0各根的相反数.1 .选择题：若关于x的方程x2+(k2-1)x+k+1=0的两根互为相反数，则k的值为()(A)1,或一1

32、(B)1(C)-1(D)02 .填空：(1)若m,n是方程x2+2005x1=0的两个实数根，则m2n+mn2mn的值等于.(2)如果a,b是方程x2+x1=0的两个实数根，那么代数式a3+a2b+ab2+b3的值是3 .已知关于x的方程x2-kx-2=0.(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)设方程的两根为x1和x2,如果2(x1+x2)x1x2,求实数k的取值范围.4 .一元二次方程ax2+bx+c=0(aw。的两根为2和x2.求：(1)|x1一x2|和x12；(2)x13+x23.5.关于x的方程x2+4x+m=0的两根为x1，x?满足|x1一xz|=2,求实数m的值.C组1.选择

33、题：(1)已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x28x+7=0的两根，则这个直角三角形的斜边长等于()(A)百(B)3(C)6(D)9(2)若Xi,X2是方程2x24x+1=0的两个根，则总+至的值为X2Xi3(A) 6(B)4(C)3(D)-a+ 3的取值范围为 )2(3)如果关于x的方程x22(1m)x+m2=0有两实数根a,3,则(A)(B) 3(C)31(D)0W12(4)已知a,b,c是AABC的三边长，那么方程cx2+(a+b)x+c=0的根的情况是()4(A)没有实数根(B)有两个不相等的实数根(C)有两个相等的实数根(D)有两个异号实数根2,填空：若方程x28x+m=0

34、的两根为x1，x2,且3x1+2x2=18,则m=.3,已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx24kx+k+1=0的两个实数根.3.(1)否存在头数k,使(2x1一x2)(x12x2)=成立.？右存在，求出k的值；右不存在，说明理由;2(2)求使上+包2的值为整数的实数k的整数值；(3)若k=2,九=二，试求儿的值.x2Xx22,，一、，一2一m4 .已知关于x的方程x-(m-2)x-=0.4(1)求证：无论m取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；(2)若这个方程的两个实数根x1，x2满足必|=|刈|+2,求m的值及相应的x1，x2.5 .若关于x的方程x2+x+a=0的一个大于1、零

35、一根小于1,求实数a的取值范围.2.2二次函数2.2.1二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次函数的图象，如作图222(1)y=x(2)y=-x(3)y=x2x-3问题1函数y=ax2与y=x2的图象之间存在怎样的关系？为了研究这一问题，我们可以先画出y=2x2,y=1x2,y=2x2的图象，通过这些函数图象与函数y2=x2的图象之间的关系，推导出函数y=ax2与y=x2的图象之间所存在的关系.先画出函数y=x2,y=2x2的图象.先列表：x-3-2-101232x94101492x2188202818从表中不难看出，要得到2x2的值，只要把相应的x2

36、的值扩大两倍就可以了.再描点、连线，就分别得到了函数y=x2,y=2x2的图象(如图2-1所示)，从图2-1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y=2x2的图象可以由函数y=x2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到.同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y=1x2,y=2x2的图象，并研究这两个函数图象与函2数y=x2的图象之间的关系.通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y=ax2(a却)的图象可以由y=x2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到.在二次函数y=ax2(aR)中，二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小.问题2函数y=a(x +h)2+卜与y

37、= ax2的图象之间存在怎样的关系？同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系.同学们可以作出函数 y=2(x + 1)2+1与y= 2x2的图象(如图2 2所示)，从函数的同学我们不难发现， 只要把函数y=2x2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到 函数y=2(x+ 1)2+1的图象.这两个函数图象之间具有形状相同，位置不同”的特点.类似地，还可以通过画函数y=-3x2, y=- 3(x-1)2+ 1的图象，研究它们图象之间的相互关系.通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y= a(x+h)2+k(aR)中，a决定了二次函数图象的开口大小及

38、方向；h决定了二次函数图象的左右平移，而且h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且k正上移，k负下移由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y=ax2+ bx+ c(a利的图象的方法：yiry = 2(x+ 1)2 + 12y= 2(x+ 1)2y= 2x由于 y= ax2+ bx+ c= a(x2+ B x )+ c=a(x2+ bx +b2b2a/ b b2 -4ac= a(x+)+,2a 4a图 2.2-2所以，y= ax2+ bx+ c(a4)的图象可以看作是将函数 是，二次函数 y= ax2+ bx+ c(a%)具有下列性质：y=ax2的图象作左右平移、上下平移得到的

39、，于b 4ac - b2(1)当a0时，函数y= ax2+bx+ c图象开口向上；顶点坐标为 (,),对称轴为直线 x2a 4ab .；当xv2a包时，y随着x的增大而减小；当 x-2 时，y随着x的增大而增大；当 x= b 2a2a2a时，函数取最小值4ac -by=4a(2)当av 0时，函数y= ax2+ bx+ c图象开口向下；顶点坐标为b 4ac -b2(，)，对称轴为2a 4a直线x=-；当xv 时,by随着x的增大而增大；当 x 时,2ay随着x的增大而减小；当函数取最大值y=4ac - b24a上述二次函数的性质可以分别通过图2.23和图2.24直观地表示出来.因此，在今后解决

40、二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题.图 2.2-3例1求二次函数y=-3x2-6x+1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值(或最小值)，并指出当x取何值时，y随x的增大而增大(或减小)？并画出该函数的图象.解：,.y=-3x2-6x+1=-3(x+1)2+4,，函数图象的开口向下；对称轴是直线x=1;顶点坐标为(一1,4);当x=1时，函数y取最大值y=4；当xv1时，y随着x的增大而增大；当x1时，y随着x的增大而减小；采用描点法画图，选顶点A(-1,4),与x轴交于点B(捷二3,0)和C(_2内+3与丫轴的33交点为D(0,1),过这五点画出图象(如图25所示).说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确.函数y=ax2+bx+c图象作图要领：(1) 确定开口方向：由二次项系数a决定b(2) 确定对称轴：对称轴万程为x=2a(3) 确定图象与x轴的交点情况，若0则与x轴有两个交点，可由方程x2+bx+c=0求出若=0则与x轴有一个交点，可由方程x2+bx+c=0求出若0则与x轴有无交点。(4) 确定图象与y轴的交点情况，令x=0得出y=c,所以交点坐标为(0,c)(5) 由以上各要素出草图。练习：