含参量积分的分析性质及其应用

1、含参量积分的分析性质及其应用班级：11数学与应用数学一班成绩：日期：2012年11月5日含参量积分的分析性质及其应用1.含参量正常积分的分析性质及应用1.1含参量正常积分的连续性定理1若二元函数f(x,y)在矩形区域R a,b c,d上连续,则函数dx = f (x, y)dy 在a,b上连续.c例1设f (x, y) sgn(x y)(这个函数在x=y时不连续)，试证由含量积1)上连续.分F(y)o f (x, y)dx所确定的函数在(因为0x 1,所以当 y<0 时,x-y>0,贝U sgn(x-y)=1,即 f(x,y)=1 .-1,x<y则 F(y)1dx01.当 0

2、 y1 时,f(x,y)=1,x>y则 F(y)y0(11)dx dxy2y.1,y<0当 y>1 时,f(x,y)=-1,则 F (y)10( 1)dx1,即 F(x)=<1-2y,0y<0-1y>11 F(0)，|ym1F(y)F(1).F(y)在 y=0与y=1处均连续，因而F(y)上连续.求下列极限：(1)li叫1 2 2一 x a dx ; (2) lim。x2 cos xdx0(1)因为二元函数x22在矩形域R=-1,1-1.1上连续,则由连续性定理得；x2 a2dx在-1,1上连续.则dx 1.1 ；22 1:22 1lim x a dx li

3、m . x a dx0 1 1 02x2dx §03(2)因为二元函数x2 cosax在矩形域R 0,2 -,上连续，由连续2 2 2 2性定理得函数 x cosaxdx在一，上连续则lim x cosaxdx1 yf(x)0x20 2 2 0 0例3研究函数F(x)2dx的连续性，其中f (x)在闭区间0,1上是y正的连续函数.解 对任意y° 0 ,取 0,使Y00 ,于是被积函数申马在x yR 0,1 y。 ，y。上连续根据含参量正常积分的连续性定理，则F (y)在区间Y0 ,Y0 上连续，由Y0的任意性知,F ( y )在(0,)上连续.又因F( y)'fix

4、0 x y0 yf(x)2dx,则 F(y)在(,0)上连续.当 y=0 处 F(y。)0. 0 x y由于f(x)为0,1上的正值连续函数，则存在最小值m>0.F(y) yf (x)2dx2my 2dx marctan丄，从而 lim F (y) m0 x y0 x yy y 040,但F(y)在y=0处不连续,所以F (y)在()(0,)上连续，在y=0处不连续.定理2设二元函数f(x,y)在区域G=(x,y)| c(x)y d(x),a xb 上连续,其中c(x),d(x)为a,b上的连续函数，则函数F(x,y)=d(x)c(x)f(x, y)dy 在a,b上连例4求li叫dxCT

5、解记1()由于,11 x都是和x的连续函数,由定理2知I ()在0处连续,所以li叫I()1(0)1 dx01x24例5证明函数F(y)o e(x y)2dx 在()上连续.证明对y ()，令 x-y=t,可推得F(y) 0 e (x y)2dxedt 0 e dt0ye t dt0t2eydt对于含多量正常积分t20 +2et dt ,由连续性定理可得y0 t2亠e t dt 在(y)上连续,则F(y) 0 e (x y)2dx在()上连续.1.2含参量正常积分的可微性定理3上连续，则若函数f x,y与其偏导数f x,yxdd dx = f (x, y)dy 在a,b上可微，且f (x, y

6、)dycdx c都在矩形区域R=a,b*c,ddc：f(X,y)dy.定理4设 f x,y , fx x,y 在 R=a,b*p,q上连续,c x ,d x 为定义在a,b上其值含于p,q內的可微函数，则函数F xd(x)c(x)f (x, y)dy在a,b上可微,且'd(x)''F (x) c(x)fx(x,y)dyf (x,d(x)d (x) f(x,c(x)c (x).定理5若函数f x,y及fx x,y都在a,b;c,d上连续，同时在c,d上a'(y)及 b'(y)皆存在，并且 a<a(y)勺,a <b(y) <b (c <

7、;y<d),则'd b(y)b(y),F (y)( ) f (x, y)dx ( ) fy(x, y)dx fb(y), yb (y)fa(y), ya (y).dy a(y)a(y)证明 考虑函数F(y)在c,d上任何一点处得导数,由于F(y)b(y0)b(y)a(y)a(y°)f (x,y)dxb(y) f (x,y)dxa() f(x, y)dx Fi(y)F2(y) F3(y).现在分别考虑Fi(y)(i1,2,3)在点yo处得导数.由定理5可得'b(y°)F1W0)a(、fy(x, y°)dx.a(y°)由于F2(y

8、76;) 0所以F2;(y°) lim F2(y) F2(yo)y yoy y0limF2(y)limy y0应用积分中值定理F2(y。)lim b(y)y y0b(y。)y。f ( , y).这里 在b(y)和b(y°)之间.再注意到f x, y的连续性及b(y)的可微性，于是得到F2W0) b'(y0)fb(y0),y。.同样可以证明F3W0) a'(y。)fa(y。), y。于是定理得证2 例 6 设 F(y) y Sinyxdx,求 F'(y).y x解应用定理5有'y2.3 sin y sin yF (y)cosyxdx 2yJ21

9、yyysin yxy2 2si ny3 2 sin yyyyy3sin y3 2sin y2y例7设f(x)在x 0的某个邻域U上连续，验证当x U时函数(x)xn 10(x t) f(t)dt的n阶导数存在，且(n) (x)f(x).解由于(1)中被积函数F(x,t)(x t)n 1 f(t)及其偏导数Fx(x,t)在连续，于是由定理4可得(x)1(n 1)!x0(n1)(xt)n 2 f (t)dt1(n 1)!(xx)n1f(x)x(n 2)! 0 (xt)n 2f (t)dt.同理(x)1(n 2)!x0(n2)(x t)n 3dt1f(x)如此继续下去，求得1(n 3)!xo(xt)

10、n 3 f(t)dt.阶导数为(k)(x)(n k 1)!0x(x t)nk1f(t)dt.特别当k n 1时有(n1)(x)x0 f(t)dt,于是(n)(x) f (x).例8计算积分I1 ln(1 x)0x2解考虑含参量积分1 ln(1 x)2 dx.0 1 x2显然(0)0,ln(1x)I,且函数 厂在R=0,10,1上满足定理3的条件,于是1 x0(1x2)(1dx x)因为x(1 x2)(1x)x)，所以宀( 1112 dx 01 x2arcta n1 x2 dx 01 x2-l n(1 x2)2-dx)x因此)d另一方面所以1.3含参量正常积分的可积性2【ln(1x)01In 2

11、42ln(1 ).1 101y4ln(188"2沙2)d定理6若f x, y在矩形区域2)8"2(1).1 In 2 ln(121一 In 2 arctan2)d0 (1)(1)(0)(1),(1)严R= a,b x c, d上连续,则x和 x分别在a, b 和 c, d 上可积.其中 x = f x, y dy,x a,b , x = f x, y dy.ca这就是说：在 f X, y连续性假设下，同时存在求积顺序不同的积分:x, y dy dx 与f x, y dx dy ,简便记为b ddx f x, y dy 与a cd bdy f x, y dx,前者表示f x,

12、 y先对y求积然后对x求积,后者则表示先对x求 c a积再对y求积.它们统称为累次积分或更确切地称为二次积分由可积性的定理进一步指出，在f x, y连续性假设下,累次积分与求积顺序无关，即若f x, y在矩形区域R= a,b X c,d上连续，则b dd ba dx c f x,y dy= c dy a f x, y dx.acca定理7若f x,y在矩形区域R= a,b X c,d上连续,g x在a, b上可积，则作b为y的函数 f x, y g x dx在c,d上连续，且abdd bg xdx f x,y dy= dy f x, y g x dx.accc a注意 推论中闭区间c,d可以换

13、成开区间或无穷区间，因为可积性定理是由 连续性推得的，连续性是局部性质.1 xb xa求 I= 0 帀dx（ b>a>0）.矩形区域b ax x得I=In x1 bxydy dx =0 ab 10,1 a,b上连续，由定理可得I= dya由 bxydya1dx0bxyady，因为f x, y xy在2 2例10试求累次积分1dx 1 x y 2dy 0 0 2 2 2 丿x ydy =ln b .1 y1 a1 1dy xdx,并指出它们为什0 0x y0XydX= a么与定理的结果不符.解: 0dx02 2x y2 2x y2dy =2 21 x ydy dx =0x y1 dy

14、0T2 21 d x y y2 dx0x y1 1 dy0 0x2 y21 1dx = arctan101 xarctan0=I1 1dy -0 02x22y2 2dx1=0dy1 y20 222 2dx ,由11 x2dx 00 22dyxyyxxy22:，所以41dy0 7, 2 21 1dy0 0y2x2 2dx =1 x y0 2 2 2dx =4 yxx y27'同理可得1 1dx- 0 2xdy1 1°dyx20 x2dx,这与定理不符因为limx,y 0,0limx,y 0,02 2 n 2x y 2y2 2 2x ylimx,y 0,02y2不存在,所以f x

15、, y2 2 J在点0,0处极限不存在，即在矩形区域0,10,1上不连2 2 2x y续，不满足定理的条件.例11应用积分号下的积分法求积分，1sin0ln1xb ax x dx ln xx sin ln1xb ax xln xbxydyabxln x因为limx 00,lim gx 1o,go0,g10,所以g x在0,1上连续.所以1sin0ln1xbax xln xdx =10g1 bsin0 a1lnxydy dx.xx,ysin ln -xxy0.x,y在矩形区域0,1a,b上连续，由定理可知bsinaln xydy dx x1dy sin In xydx0 xbady 0e y 1

16、 sin tdtarcta n 1arctan 1 a 2.含参量反常积分的分析性质及应用2.1含参量反常积分的连续性例12证明0Xe xdy 在a,b(a>0 )上一致收敛；(2)在0,b上不一定理8设f(x,y)在I c,)上连续，若含参量反常积分(x)= c f(x, y)dy在I上一致连续，则(x)在I上连续.推论f(x, y)在| c,)上连续,若(x) f (x, y)dy在I上內闭一致收 c敛，则(x )在I上连续.这个定理也表明，在一致收敛的条件下，极限运算与积分运算可以交换:limx xf (x, y)dy c f(x°,y)dy c lim f(x, y)d

17、ycc x x致收敛.证明 x(a,b) ,y 0,),有0 xe ybe ',而 0 be "dy 收敛(a>0 )，由M判别法,知反常积分0xexydy 在a,b(a>0 )上一致收敛.因(x) = 0 xe Vdy =0,x1,0在x=0处不连续，而xe xy在0 xb,0內连续，由连续性定理知0 xexydy在0x b上不一致连续.13回答对极限lim 0 2xyex 02xydy能否施行极限与积分运算顺序的变换来求解?2xylim 0 2xye dyx 0limx0o2e xy d xy lim e2xylim 11 -0 x 0而 0 limx 02x

18、y2xye dy 0 0dy20运算顺序不能交换，是因为° 2xye xydy在0,b(b>0 )上不一致收敛，故不满足含参量反常积分连续性条件.定理9如果函数f(x,u)在a,+ ) X,上连续，而且积分f(x,u)dx在a,上一致收敛，那么由(x) = a f(x,u)dx所确定的函数 在,上连续证明由于a f (x,u)dx在上一致连续，故对任意 >0,存在Ao>a，使得不等式If (x,u)dx I v _对 Ao3中所有的u成立.因为函数f (x,u)在上连续f(x，u)dx是,中的连续函数因而对任意uo ,任意£ >0,存在 S >

19、0,当 u ,且 u u。I A f (x, u)dx-a于是当u ,且 I u - uo I v s 时,Iu -uoI = IIAo f (x,u)dx -A f (x,u0)dxaa时，Ao f (x,uo)dx I v.a3f (x,u)dx -af(x,Uo)dxIaI+ If (x, u)dx Ao1 +Aof(x，uo)dx 1 V这就证明了 在uo处是连续的.由于uo是,中的任意点 所以 在,上连这个定理也可以写成：lim f (x,u)dx f (x, uo)dx(lim f (x,u)dxu uouo例14 讨论函数()即在积分一致收敛的条件下，极限号与积分号可以交换.ar

20、ctanx dx的连续性区间. x (2 x3)解先看函数()的定义域是什么，即上述积分在什么范围内收敛.在x=0附近,arcta门冷dx1丄.所以当 v2时，积分 arctan dx收敛.X (2 X)2 X0 x (2 X)当x 时,arctanx3 dx 乙所以积分arctanx3 dx当>-2时收敛.x (2 x)2 x1 x (2 x)由此得知()的定义域是(-2,2 ).我们只需证明 在任意a,b(-2,2 )上连续.根据定理9只要证明上面的积分在a,b上一致收敛.当x (0,1)时，设a b<2,这时存在常数c使得 arctanx3 dx 而b-1<1,a3 j

21、八a 1b 1x(2 x) x x故由比较判别法，积分10arctanx3 dx 在(+x(2 x),b 一致收敛.当x 1,+)时，设-2<aarctanx dx在a,+ x(2 x3)上一致收敛，把积分合在一起，即知0arctanx3 dx在x(2 x)arctanx dx 11.而a+3>1,故有比较判别法，积分u 入 3x(2 x)2x 2xa,b( -2,2 )上一致收敛，故 在(-2,2 )上连续.注意 与级数的情形一样，积分的一致收敛只是保证连续的一个充分不必要条件但在f非负的条件下，积分的一致收敛便是连续的必要条件.2.2含参量反常积分的可微性定理10 设f (x,

22、 y)与fx(x, y)在区域I c,(x) cf (x, y)dy在I上收敛，fx(x, y)dy在I上一致收敛，则(x)在I上可微，且(x) c fx(x,y)dy.例15求积分 ex cofxydx.,有参 量反常积 分可微 性定 理推得J'(y)=0x解记 J(y)= exdx0x2e x inxy dx = arctan y,而 J(0)0xy 1I 0 arctantdtyarctany -1n(120 所以 ex dx= J(y) = yJ'(t)dt,0x20y2).例16对F(x) 0 x3e x ydy能否运用积分与求导运算顺序变换求解.逻辑推理 验证函数F

23、(x)20 x3e x ydy是否满足可微性定理条件，若不满足条件，则不能变换顺序.1,x 0,2解由于(x3e xy)dy0 x2因而。(x3exy)dy在0,1上不一致收敛，故不能运用含参量反常积分可微性定0 x0 (3x2 2x4y)exly =0, x 0.2理.实际上，因 F(x) 0 x3exydy=X,x，则 f'(x)1,而2 2, 3 xy、., - 2 只 4、 x y .0 (x e )dy 0 (3x 2x y)e dyx在x=0处为零.故积分与求导运算不能交换顺序.定理11 (积分号下求导定理)设f (x, y)与fx(x, y)在Ic, 上连续.若(X)f(

24、x,y)dy在I上收敛，而fx(x, y)dy在I上内闭一致收敛，则(x)在 I 上可微，且 (x). fx(x, y)dy .证明设 Cn Coc为一递增且趋于的数列，记Un(x)cnc f (x,y)dy ,n=1,2，-cn 1且有I(x)= Un(x).由正常积分的连续性定理得un(x)(n=1,2 ,)在a,b上可n 1cn微，且 Un'(x)cn 1f (x,y)dy,n=1,2，由已知条件fx(x, y)dy在a,b上一致收敛,又因若含参变量反常积分f (x, y)dy 关于 xa,b 一致收敛，则函数项级数Un'(x)关于x a, b 一致收敛.从而函数项级数n

25、 1Un'(x)n 1fx(x, y)dyCnc fx(x,y)dyn 1 cn 1也在a, b上一致收敛，根据函数项级数的逐项求导定理，即得I(x)在a,b上可微, 且I'(x)un'(x)c fx(x, y) 1上述定理的结果也可记成ddxf(x,y)dyc - f(x,y)dy.定理12如果函数f和 都在a,u上连续,积分 f(x, u)dx在u上一致收敛，那么(u)f(x,u)dx在 ，上可微，而且'(u)4dx,uu证明对于任意正整数nna,令n(x)f (x,u)dx.又因为若函数f及其偏导数一都在闭矩形 u可微而且± (x)du

26、I a, bb上连续，那么函数(x) f (x, u)dx在， 上ab(f(x,u)dx所以n在，上有连续的导函数'n(u)nfx%.u由于Sldx.在u上一致收敛，所以函数列'(u)在，上一致收敛，且上收敛于，故在，上连续可微，且'(u)空旦 dx,uu成立.例17利用对参数的微分法，计算微分ax2bx2e e2dx, a > 0,b > 0.0 x解 把a看作参数，记上面的积分为1(a),那么I'(a)0 /dx.为了说明微分运算和积分运算的交换是允许的，我们把a限制在区间中，这里是任意一个正数.于是eex2.由于0 e "dx.收敛，故由Weierstrass判别法知2(ax i道，积分0 e dx.对a中一致收敛,故由上述定理可知上面的运算成立.由于 > 0是