中考数学习题案例分析

1、 息县五中九年级专题训练讲课稿 敖勇中考数学习题案例分析中考数学的第22题的几何类比探究题和第23题的中考数学压轴题是学生难以把握的，其原因不是学生知识的能量达不到，而是没有建模思想，及正确的解题思路。在这两道大题中，所隐含的数学思想和几何模型是导致学生做不好的原因之所在。而初中阶段学习的几何模型主要有：奶站模型，天桥模型，倍长中线模型，弦图模型，双垂直模型，三垂直模型这些模型都隐含在教材的例题中，所以要在大题是都有缺失的模型，所以构建完整的数学几何模型，是我们做好第22题的几何类比探究题和第23题的中考数学压轴题的最基本的思想引例：如图，有一圆形透明玻璃容器，高15cm，底面周长为24cm，

2、在容器内壁柜上边缘4cm的A处，停着一只小飞虫，一只蜘蛛从容器底部外向上爬了3cm的B处时（B处与A处恰好相对），发现了小飞虫，问蜘蛛怎样爬去吃小飞虫最近？它至少要爬多少路？（厚度忽略不计）应读懂图意，有虚线的一侧应是开口的应把A，B放在平面图形内，实际是求两点在一条直线同侧时，距离最小，此时应作出其中一点关于这条直线的对称点，连接另一点与这条直线的交点就是应经过的点，然后利用勾股定理求得最短距离立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决求两点在某一直线同一侧的最短距离的方法应掌握解：将圆柱沿着A，B所在直线垂直切开，并将半圆柱侧面展开成一个矩形，（2分）如图所示，作

3、BOAO于O，则AO，BO分别平行于矩形的两边，作A点关于D点的对称点A，连AB，则ABO为直角三角形，且BO=12，AO=（15-3）+4=16，（4分）由勾股定理得AB2=AO2+BO2=162+122=400，AB=20（7分）专题精讲：最值问题是一类综合性较强的问题，而线段和（差）问题，要归归于几何模型：（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型典型例题剖析:一归入“两点之间的连线中，线段最短”“饮马”几何模型： 条件：如下左图，A、B是直

4、线l同旁的两个定点问题：在直线l上确定一点P，使PAPB的值最小模型应用：1如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点则PB+PE的最小值是 2如图，O的半径为2，点A、B、C在O上，OAOB，AOC=60，P是OB上一动点，则PA+PC的最小值是 3如图，在锐角ABC中，AB42，BAC45，BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是 第1题 第2题 第3题 第4题4如图，在直角梯形ABCD中，ABC90，ADBC，AD4，AB5，BC6，点P是AB上一个动点，当PCPD的和最小时，PB的长为_要求PC+PD的和的最小值，PC，P

5、D不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PC，PD的值，从而找出其最小值求解解：延长CB到E，使EB=CB，连接DE交AB于P则DE就是PC+PD的和的最小值ADBE，A=PBE，ADP=E，ADPBEP，AP：BP=AD：BE=4：6=2：3，AP：BP=AD：BE=4：6=2：3，AB=35如图，等腰梯形ABCD中，ABADCD1，ABC60，P是上底，下底中点EF直线上的一点，则PA+PB的最小值为 6如图，MN是半径为1的O的直径，点A在O上，AMN30，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PAPB的最小值为 首先利用在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短

6、的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点P的位置，然后根据弧的度数发现一个等腰直角三角形计算解：作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则P点就是所求作的点此时PA+PB最小，且等于AC的长连接OA，OC，AMN=30，AON=60，弧AN的度数是60，则弧BN的度数是30，根据垂径定理得弧CN的度数是30，则AOC=90，又OA=OC=1，则AC=7已知A(2，3)，B(3，1)，P点在x轴上，若PAPB长度最小，则最小值为 8已知：如图所示，抛物线yx2bxc与x轴的两个交点分别为A(1，0)，B(3，0)（

7、1）求抛物线的解析式；（2）设点P在该抛物线上滑动，且满足条件SPAB1的点P有几个？并求出所有点P的坐标；（3）设抛物线交y轴于点C，问该抛物线对称轴上是否存在点M，使得MAC的周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由台球两次碰壁模型已知点A位于直线m，n 的内侧，在直线m、n分别上求点P、Q点，使PA+PQ+QA周长最短.变式：已知点A、B位于直线m，n 的内侧，在直线m、n分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短.模型应用：1如图，AOB=45，P是AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求PQR周长的最小值解：（1）过A作直线l的垂线，在垂线

8、上取点A，使直线l是AA的垂直平分线，连接BA即可得出P点位置；（2）根据轴对称的性质得出：POB=BOP，POA=AOP，OP=OP=OP=10，进而利用勾股定理得出PP的长即可解：（1）如图1所示：（2）如图2所示：连接OP，OP，根据对称性可得出：POB=BOP，POA=AOP，OP=OP=OP=10，AOB=45，POP=90，PP=故答案为：点评：此题主要考查了轴对称最短路线问题，根据已知对称的3如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=AB=2，OC=3，过点B作BDBC，交OA于点D将DBC绕点B按顺时针方向旋转，角

9、的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方），且PQ1，要使四边形BCPQ的周长最小，求出P、Q两点的坐标解：（1）由题意得A（0，2）、B（2，2）、C（3，0）.设经过A，B，C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+2.则解得 BCAxyFODEHMHGH 2分（2）由 顶点坐标为G（1，）过G作GHAB，垂足为H则AHBH1，GH2 EAAB，GHAB， EAGHGH是BEA的中位线 EA3GH过B作BMOC，垂足为M 则MBOAAB EBFABM90， EBAFBM90ABF R tEBA