积分的变换原理

1、一、换元公式定理】若1、函数在上连续；2、函数在区间上单值且具有连续导数3、当在上变化时，得值在上变化，且则有证明：(1)式中得被积函数在其积分区间上均就是连续，故(1)式两端得定积分存在.且(1)式两端得被积函数得原函数均就是存在得。另一方面,函数得导数为从而有对这一定理给出几点注解：量得限. 5 5、4 4定积分得换元法(1)假设就是在上得一个原函数，据牛顿-莱布尼兹公式有这表明:函数就是在上得一个原函数，故有:1、用替换,将原来变量代换成新变量后,原定积分得限应同时换成新变求出得原函数后，不必象不定积分那样，将变换成原变量得函数，只需将新变量得上下限代入中然后相减即可。2、应注意代换得条

2、件，避免出错。(1 )、在单值且连续;(2)、假=盘，叭们=b且血或0卫3、对于时，换元公式(1)仍然成立。【例1】求【解法一】令当时，；当时，。且变换函数 在上单值，在上连续,由换元公式有【解法二】令又当时,且变换函数在上单值，在上连续,由换元公式有又当时，有当时,当时，。4-3C Cdxf2皿JET!匸y= =2 2 111(1 f) f_|= = 2(2(1113 +2 2十InIn 2 2 1)1)=2(1一In 3 + 1112)注意:在【解法二】中，经过换元,定积分得下限较上限大。换元公式也可以反过来，即AAr(/)4f/卩00卩用 令f二甲 S1J 0間=(a二呼=卩Q9)F(

3、A )t【例2】求 解：设,当时,；当 时,般来说，这类换元可以不明显地写出新变量，自然也就不必改变定积分得上下限.2 25 52 25 5J J coscos TTsinTTsin - - coscos Jdf(cosJdf(cos = =0 0 0 0二、常用得变量替换技术与几个常用得结论【例3】证明1、若在上连续且为偶函数，则2、若在上连续且为奇函数，则证明:由定积分对区间得可加性有对作替换 得0 0= -二= J0 0故有若为偶函数, 若为奇函数,简 ft 计算定义在对称-S 町上的偶a教与 企求fxdx所用的替接孟=7 虽燃简单但却常甩1、2、并由此式计算定积分1、证明：设-a该结论

4、于原点奇函数0 0【例4】若在上连续,证明:2. JT22jyXsinx)6ix=J/Ccosjt)(30c2、证明:7TJx -f(nx)dx =J(TT-t)fsin(7r- T)(-c?f) = (yr-0JT0JJ買g=J(sitit)a!J = zrj /(sinx)ti(; -兀0 00 0这两个结论，至步可以给我們如下 JJ：1 1计算定积分不是仅有牛顿-菜布尼兹式,（即求原函数，代上下眾）2.2.可以利用娈量替换的方法去求定枳分； 或者利用变量替换去简化定积分前讨算.7 jcsinx rrjrj o o亓- -2 2sinr ,-厂dx+ C加T兌f rf(cosr)2 101I+CO/H兀ny y arrff(cosx)arrff(cosx)口【例5】求 解：令肝JT用m卫宁j sinx? 彳cosx , ?sinx-hcosx ?彳， 兀27= J-必+J-dx=J- dx=体=-0 sinx+ COSDC o sinx+ cosx sinx-h cosjc o 2评注:这一定积分得计算并未求原函数，只用到了变量替换、定积分性质, 这一解法值得我们学习。f5 5costcost + + smsmtc -2