高中数学新题型选编(共70个题)(一)

1、高中数学新题型选编（共70个题）（一）1、（）已知函数：求函数的最小值;（）证明:；（）定理:若 均为正数,则有 成立(其中请你构造一个函数，证明：当均为正数时，解：（）令得2分当时， 故在上递减当故在上递增所以，当时，的最小值为.4分（）由，有即故5分（）证明:要证： 只要证： 设7分则令得.8分当时，故上递减，类似地可证递增所以的最小值为10分而=由定理知: 故故 即: .14分2、用类比推理的方法填表 等差数列中等比数列中答案：3、10定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：（i）1*1=1，（ii）（n+1）*1=n*1+1，则n*1等于An Bn+1 Cn -1 D 答案：

2、D4、若为的各位数字之和，如：，则;记_答案：55、下面的一组图形为某一四棱锥S-ABCD的侧面与底面。aaaaaaaaaa（1）请画出四棱锥S-ABCD的示意图，是否存在一条侧棱垂直于底面？如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由；（2）若SA面ABCD，E为AB中点，求二面角E-SC-D的大小；（3）求点D到面SEC的距离。（1）存在一条侧棱垂直于底面（如图）3分SABCDEFGH证明：且AB、AD是面ABCD内的交线SA底面ABCD5分（2）分别取SC、SD的中点G、F，连GE、GF、FA，则GF/EA,GF=EA,AF/EG而由SA面ABCD得SACD，又ADCD，CD面SAD，又

3、SA=AD,F是中点， 面SCD,EG面SCD,面SCD所以二面角E-SC-D的大小为9010分(3)作DHSC于H，面SEC面SCD,DH面SEC,DH之长即为点D到面SEC的距离，12分在RtSCD中，答：点D到面SEC的距离为14分6、一个计算装置有一个入口A和一输出运算结果的出口B，将自然数列中的各数依次输入A口，从B口得到输出的数列，结果表明：从A口输入时，从B口得；当时，从A口输入，从B口得到的结果是将前一结果先乘以自然数列中的第个奇数，再除以自然数列中的第个奇数。试问：（1） 从A口输入2和3时，从B口分别得到什么数？（2） 从A口输入100时，从B口得到什么数？并说明理由。解（

4、1） （2）先用累乖法得得7、在ABC中，给出ABC满足的条件，就能得到动点A的轨迹方程，下表给出了一些条件及方程：条件方程ABC周长为10：ABC面积为10：ABC中，A=90°：则满足条件、的轨迹方程分别为 （用代号、填入）答案：8、已知两个函数和的定义域和值域都是集合1,2,3,其定义如下表. x123f（x） 231x123g（x） 132填写下列的表格,其三个数依次为x123g (f（x）) A. 3,1,2 B . 2,1,3 C. 1,2,3 D. 3,2,1答案：D9、在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“”如下：当时，；当时，。则函数的最大值等于（ C ）（“

5、·”和“”仍为通常的乘法和减法）A. B. 1C. 6D. 1210、已知，x表示不大于x的最大整数，如，则_；使成立的x的取值范围是_ 答案：211、为研究“原函数图象与其反函数图象的交点是否在直线上”这个课题，我们可以分三步进行研究： （I）首先选取如下函数： ， 求出以上函数图象与其反函数图象的交点坐标： 与其反函数的交点坐标为（1，1） 与其反函数的交点坐标为（0，0），（1，1） 与其反函数的交点坐标为（），（1，0），（0，1） （II）观察分析上述结果得到研究结论； （III）对得到的结论进行证明。 现在，请你完成（II）和（III）。解：（II）原函数图象与其反函数图

6、象的交点不一定在直线yx上2分 （III）证明：设点（a，b）是的图象与其反函数图象的任一交点，由于原函数与反函数图象关于直线yx对称，则点（b，a）也是的图象与其反函数图象的交点，且有 若ab时，交点显然在直线上 若a<b且是增函数时，有，从而有b<a，矛盾；若b<a且是增函数时，有，从而有a<b，矛盾 若a<b且是减函数，有，从而a<b成立，此时交点不在直线yx上；同理，b<a且是减函数时，交点也不在直线yx上。 综上所述，如果函数是增函数，并且的图象与其反函数的图象有交点，则交点一定在直线上； 如果函数是减函数，并且的图象与其反函数的图象有交点，

7、则交点不一定在直线yx上。14分12、设M是由满足下列条件的函数构成的集合：“方程有实数根；函数的导数满足.” （I）判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由； （II）集合M中的元素具有下面的性质：若的定义域为D，则对于任意m，nD，都存在m，n，使得等式成立”，试用这一性质证明：方程只有一个实数根； （III）设是方程的实数根，求证：对于定义域中任意的.解：（1）因为，2分 所以满足条件3分又因为当时，所以方程有实数根0.所以函数是集合M中的元素.4分 （2）假设方程存在两个实数根），则，5分 不妨设，根据题意存在数使得等式成立，7分因为，所以，与已知矛盾，所以方程只有一个实数根；9分（3

8、）不妨设，因为所以为增函数，所以，又因为，所以函数为减函数，10分所以，11分所以，即12分所以13分13、在算式“2×+1×=30”的两个口中，分别填入两个自然数，使它们的倒数之和最小，则这两个数应分别为 和 . 答案：9，12.14、如图为一几何体的的展开图，其中ABCD是边长为6的正方形，SD=PD6，CR=SC，AQ=AP，点S,D,A,Q及P,D,C,R共线，沿图中虚线将它们折叠起来，使P，Q，R，S四点重合，则需要 个这样的几何体，可以拼成一个棱长为6的正方体。 答案：315、用水清洗一堆蔬菜上残留的农药的效果假定如下：用x单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农

9、药量与这次清洗前残留的农药量之比为（）试解释的实际意义； （）现有a（a0）单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药比较少？请说明理由答案：解：（I）f（0）=1表示没有用水清洗时，蔬菜上的农药量没有变化2 （）设清洗前蔬菜上的农药量为1，那么用a单位量的水清洗1次后残留的农药量为 W1=1×f（a）=；4又如果用单位量的水清洗1次，残留的农药量为1×f（）=，此后再用单位量的水清洗1次后，残留的农药量为W2=·f（）=2=8由于W1W2=，9故当a>2时，W1>W2，此时，把a单位量的水平均分成2份后，

10、清洗两次，残留的农药量较少；当a=2时，W1=W2，此时，两种清洗方式效果相同；当a<2时，W1<W2，此时，把a单位量的水清洗一次，残留的农药量较少1216、直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数f(x)的图象恰好通过k(kN*)个格点，则称函数f(x)为k阶格点函数。下列函数： f(x)=sinx； f(x)=(x1)2+3； ，其中是一阶格点函数的有 . 答案：17、一水池有2个进水口,1个出水口,一个口进出水速度如图甲、乙所示.某天0点到6点,该水池的蓄水量如图丙所示(至少打开一个水口),给出以下3个论断： 进水量 出水量 蓄水量 甲 乙 丙（1）0点到3

11、点只进水不出水；（2）3点到4点不进水只出水；（3）4点到6点不进水不出水。则一定不确定的论断是 (把你认为是符合题意的论断序号都填上)。答案：（2）（3）18、已知等比数列an的前n项和为Sn. ()若Sm，Sm2，Sm1成等差数列，证明am，am2，am1成等差数列； ()写出()的逆命题，判断它的真伪，并给出证明. 证 () Sm1Smam1，Sm2Smam1am2由已知2Sm2SmSm1， 2(Smam1am2)Sm(Smam1)，am2am1，即数列an的公比q. am1am，am2am，2am2amam1，am，am2，am1成等差数列. () ()的逆命题是：若am，am2，am

12、1成等差数列，则Sm，Sm2，Sm1成等差数列. 设数列an的公比为q，am1amq，am2amq2由题设，2am2amam1，即2amq2amamq，即2q2q10，q1或q. 当q1时，A0，Sm， Sm2， Sm1不成等差数列.逆命题为假.19、2005年底，某地区经济调查队对本地区居民收入情况进行抽样调查，抽取1000户，按高收入中等收入低收入125户400户475户本地区确定的标准，情况如右表：本地区在“十一五”规划中明确提出要缩小贫富差距，到2010年要实现一个美好的愿景，由右边圆图显示，则中等收入家庭的数量在原有的基础要增加的百分比和低收入家庭的数量在原有的基础要降低的百分比分别

13、为 ( B )A25% , 27.5% B62.5% , 57.9% C25% , 57.9% D62.5%,42.1%20、一个三位数abc称为“凹数”，如果该三位数同时满足ab且bc，那么所有不同的三位“凹数”的个数是_答案：三位“凹数”可分两类：一类是aba，共有45，另一类是abc，ac，共有2240，故共有45+240285个21、定义运算 ，若复数，则 。答案：-422、从装有个球（其中个白球，1个黑球）的口袋中取出个球,共有种取法。在这种取法中，可以分成两类：一类是取出的个球全部为白球，共有，即有等式：成立。试根据上述思想化简下列式子： 。答案： 根据题中的信息，可以把左边的式子

14、归纳为从个球（n个白球，k个黑球）中取出m个球，可分为：没有黑球，一个黑球，k个黑球等类，故有种取法。23、定义运算xy=，若|m1|m=|m1|，则m的取值范围是 24、在公差为的等差数列中，若是的前项和，则数列也成等差数列，且公差为，类比上述结论，相应地在公比为的等比数列中，若是数列的前项积，则有 。25、考察下列一组不等式： 将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式为 26、对任意实数，定义运算，其中为常数，等号右边的运算是通常意义的加、乘运算。现已知，且有一个非零实数，使得对任意实数，都有，则 。27、对于任意实数，符号表示的

15、整数部分，即是不超过的最大整数”。在实数轴R（箭头向右）上是在点左侧的第一个整数点，当是整数时就是。这个函数叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用。那么=_820428、我国男足运动员转会至海外俱乐部常会成为体育媒体关注的热点新闻。05年8月，在上海申花俱乐部队员杜威确认转会至苏超凯尔特人俱乐部之前，各种媒体就两俱乐部对于杜威的转会费协商过程纷纷“爆料”：媒体A：“, 凯尔特人俱乐部出价已从80万英镑提高到了120万欧元。”媒体B：“, 凯尔特人俱乐部出价从120万欧元提高到了100万美元，同时增加了不少附加条件。”媒体C：“, 凯尔特人俱乐部出价从130万美元提高到了120万

16、欧元。”请根据表中提供的汇率信息（由于短时间内国际货币的汇率变化不大，我们假定比值为定值），我们可以发现只有媒体 （填入媒体的字母编号）的报道真实性强一些。29、已知二次函数同时满足：不等式的解集有且只有一个元素；在定义域内存在，使得不等式成立。 设数列的前项和，（1）求数列的通项公式；（2）试构造一个数列，（写出的一个通项公式）满足：对任意的正整数都有，且，并说明理由；（3）设各项均不为零的数列中，所有满足的正整数的个数称为这个数列的变号数。令（为正整数），求数列的变号数。解：（1）的解集有且只有一个元素， 当时，函数在上递增，故不存在，使得不等式成立。 当时，函数在上递减，故存在，使得不等

17、式成立。 综上，得， （2）要使，可构造数列，对任意的正整数都有， 当时，恒成立，即恒成立，即， 又，等等。 （3）解法一：由题设，时，时，数列递增，由，可知，即时，有且只有个变号数；又，即，此处变号数有个。综上得 数列共有个变号数，即变号数为。解法二：由题设， 时，令； 又，时也有。综上得 数列共有个变号数，即变号数为。30、在R上定义运算：xy=x(1 -y) 若不等式(x-a)(x+a)<1,对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是 。31、已知之间满足 （1）方程表示的曲线经过一点，求b的值（2）动点(x,y)在曲线(b>0)上变化，求x2+2y的最大值；（3）由能否确定一

18、个函数关系式，如能，求解析式；如不能，再加什么条件就可使之间建立函数关系，并求出解析式。解：（1） （4分）（2）根据得 （5分） （7分） （10分）（2）不能 （11分） 如再加条件就可使之间建立函数关系 （12分）解析式 （14分）（不唯一，也可其它答案）32、用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板。随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的。已知一个铁钉受击次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的，请从这个实事中提炼出一个不等式组是 。33、已知，记，（其中），例如： 。设，且满足，则有序数组是 。 34、（12=9+3）（理）设表示幂函数在上是增函数的的集合；表示不等式 对任意恒成立的的集合。（1）求；（2）试写出一个解集为的不等式。（文）设表示幂函数在上是增函数的的集合；表示不等式对任意恒成立的的集合。（1）求；（2）试写出一个解集为的不等式。解：（理）（1）幂函数在上是增函数，即， 又不等式对任意恒成立，即， 。 （2）一个解集为的不等式可以是 。 （文）（1）幂函数在上是增函数，即， 又不等式对任意恒成立，即， 。 （2）一个解集为