高中数学一轮复习微专题第15季空间点线面的位置关系：第7节直线与平面垂直的判定与性质

1、第7节直线与平面垂直的判定与性质【基础知识】直线与平面垂直定义:如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直,那么称这条直线和这个平面垂直.定理: 【规律技巧】证明线面垂直的方法:一是线面垂直的判定定理;二是利用面面垂直的性质定理;三是平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面,则另一条也垂直于这个平面.解题时,注意线线、线面与面面关系的相互转化;另外,在证明线线垂直时,要注意题中隐含的垂直关系,如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度,经计算满足勾股定理、直角梯形等等.om【典例讲解】【例1】如图,

2、在四棱锥P-ABCD中,P A底面ABCD,ABAD,ACCD,ABC=60,P A=AB=BC,E是PC的中点. 证明:(1CD AE ; (2PD 平面ABE .证明 (1在四棱锥P -ABCD 中, P A 底面ABCD ,CD 平面ABCD ,P A CD , AC CD ,且P A AC =A , CD 平面P AC .而AE 平面P AC , CD AE .规律方法 (1证明直线和平面垂直的常用方法:线面垂直的定义;判定定理;垂直于平面的传递性(a b ,a b ;面面平行的性质(a ,a ;面面垂直的性质.(2证明线面垂直的核心是证线线垂直,而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.

3、因此,判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.【变式探究】 (2014山东卷如图,在四棱锥P -ABCD 中,AP 平面PCD ,AD BC ,AB =BC =12AD ,E ,F 分别为线段AD ,PC 的中点. 求证:(1AP 平面BEF ; (2BE 平面P AC .(2由题意知ED BC ,ED =BC , 所以四边形BCDE 为平行四边形, 因此BE CD .又AP 平面PCD , 所以AP CD ,因此AP BE .因为四边形ABCE为菱形,所以BEAC.又APAC=A,AP,AC平面P AC,所以BE平面P AC.【针对训练】1、设l、m、n均为直线,其中m、n在平

4、面内,则“l”是“lm且ln”的( 【答案】A【解析】当l时,lm且ln.但当lm,ln时,若m、n不是相交直线,则得不到l.即l是lm且ln的充分不必要条件.故选A.2、已知m,n分别是两条不重合的直线,a,b分别垂直于两不重合的平面,有以下四个命题:若ma,nb,且,则mn;若ma,nb,且,则mn;若ma,nb,且,则mn;若ma,nb,且,则mn.其中真命题的序号是( A.B.C.D.答案 D3、设,是空间两个不同的平面,m,n是平面及外的两条不同直线.从“mn;n;m”中选取三个作为条件,余下一个作为结论,写出你认为正确的一个命题:_(用代号表示.【答案】(或【解析】逐一判断.若成立

5、,则m与的位置关系不确定,故错误;同理也错误;与均正确.4、已知a,b,l,表示三条不同的直线,表示三个不同的平面,有下列四个命题:若=a,=b,则ab,则;若a,b相交,且都在,外,a,a,b,b,则;若,=a,b,ab,则b;若a,b,l,lb,则l.其中正确的是( A.B.C.D.答案 C解析 a与b相交,a、b确定一个平面,a,b,同理,正确.由面面垂直的性质知正确,故选C.5、如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面A1B1C1D1是正方形,O是BD的中点,E 是棱AA1上任意一点.(1证明:BDEC1;(2如果AB=2,AE=2,OEEC1,求AA1的长. 解析 (1证明:连

6、接AC,A1C1.由底面是正方形知,BDAC.因为AA1平面ABCD,BD平面ABCD,所以AA1BD.又由AA1AC=A,所以BD平面AA1C1C.再由EC1平面AA1C1C知,BDEC1.(2设AA1的长为h,连接OC1.在RtOAE中,AE=2,AO=2,故OE2=(22+(22=4.在RtEA1C1中,A1E=h-2,A1C1=22,故EC21=(h-22+(222.在RtOCC1中,OC=2,CC1=h,OC21=h2+(22.因为OEEC1,所以OE2+EC21=OC21,即4+(h-22+(222=h2+(22,解得h=32,所以AA1的长为3 2. 6、PA平面ABCD,四边形

7、ABCD为正方形,且2PA=AD,E,F,G,H分别是线段PA,PD, CD,BC的中点.(1求证:BC平面EFG;(2求证:DH平面AEG;(3求三棱锥E-AFG与四棱锥P-ABCD的体积比.解析 (1证明:E,F分别为PA,PD的中点,ADEF.BCAD,BCEF.BC平面EFG,EF平面EFG,BC平面EFG.(2证明:PA平面ABCD,DH平面ABCD,PADH,即AEDH.G,H分别为DC,BC中点,四边形ABCD为正方形,ADGDCH,HDC=DAG.AGD+DAG=90,AGD+HDC=90,DHAG.又AEAG=A,DH平面AEG.7、如图，在BCD 中，BCD90，BCCD1

8、，AB平面 BCD，ADB60，E，F 分别 是 AC，AD 上的动点，且 (0 1 AE AF AC AD (1判断 EF 与平面 ABC 的位置关系并给予证明； (2是否存在 ，使得平面 BEF平面 ACD，如果存在，求出 的值；如果不存在，说明理 由 解析 (1EF平面 ABC 因为 AB平面 BCD，所以 ABCD， 又在BCD 中，BCD90，所以 BCCD， 又 ABBCB，所以 CD平面 ABC 又在ACD 中，E，F 分别是 AC，AD 上的动点， 且 (0 1，EFCD EF平面 ABC 【练习巩固】 1已知平面 平面 ， l，点 A，Al，直线 ABl，直线 ACl，直线

9、m ，m ，则下列四种位置关系中，不一定成立的是 AABm BACm CAB DAC ( AE AF AC AD 解析 如图所示， ABlm；ACl，mlACm；ABlAB，只有 D 不一定成立，故选 D. 答案 D 2设 a 是空间中的一条直线， 是空间中的一个平面，则下列说法正确的是( A过 a 一定存在平面 ，使得 B过 a 一定存在平面 ，使得 C在平面 内一定不存在直线 b，使得 ab D在平面 内一定不存在直线 b，使得 ab 3.如图，已知ABC 为直角三角形，其中ACB90，M 为 AB 的中点，PM 垂直于ABC 所在平面，那么( APAPBPC BPAPBPC CPAPBPC DPAPBPC 解析 M 为