物理习题中极值问题的数学求解方法

1、1 1 / / 6 6物理习题中极值问题的数学求解方法江西宁都中学卢加英江西省宁都县本文结合平常的习题教学，将高中物理习题中的极值问题解法归纳分类，以飨读者。一、利用一元二次函数知识求极值设有二次函数y二ax2bx c =a(x )2 4aC2a 2a例：一辆汽车以 10m10m 的速度匀速直线行驶后，一辆摩托车从静止开始，在同一地点出发，以1m1m 的速度作匀加速直线运动追赶汽车，求二车何时相距最远？最远距离多大？矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖賃軔朧。解：设摩托车行驶秒后二车相距米，有1()()-2xxi即：一丄题中何时相距最远”实际就是为何值时，有最大值依一元二次函数知识可知：-2a()时，()()

2、例也可以借助如下方法进行求解1、1将一一变形为-F2 21要使方程有解，则 ( () )x-( +) )2得w200m200m 即最大值 200m200m、利用一元二次方程根的判别式求极值应用该方法，宜选择适当的物理量作自变量，通过物理规律导出一个一元二次方程，利用ac求解例：如图一，顶角为2二的光滑圆锥置于磁感应强度为，方向竖直向下的匀强磁场中，现有一个质量为，带电量为的小球沿圆锥面在水平面内作匀速圆周运动，求小球作圆周运动的最小半径。聞創沟燴鐺險爱氇谴净祸測樅。解：以小球为研究对象，受重力，弹力及洛仑兹力的作用，如图建立坐标系设：轨道半径v2在x方向：f-FNCOSv-mR在y方向：FNS

3、in“-mg=0若av则y有极大值，当x 时,2aymax4ac -b22a若a则y有极小值，当x =-时,2aymax4ac -b22a2 2 / / 6 6f = BQ，；整理得：m、. $-QRB：.亠mgRcot v - 0关于、.的一元二次方程中有实数解有 4m24m2 v v 即 4m24m2 二三、利用三角函数的有界属性求极值 设有三角函数y=Sinx（或cosx）在定义域内一定有 即 例：某人与一平直公路距离 50m50m，一客车以速度 10m10m 沿此公路匀速驶来， 当客车与人距离 200m200m 时, 人开始追赶，求人能追上客车的最小奔跑速度。残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟婭骤東

4、。解：如图设该人沿方向以大小奔跑在处追上客车OC=在中，上BOBOA 4Si n：Sin：即上Sin：v2tSin PSin：V2Sin：可见当:-极大时，v2极小JI时，2v2v1: : 2.5m2.5m方向与垂直例：质量为的物体放在水平桌面上，设物体与桌面之间的动摩擦因数为卩，现用力拉物体，则方向如何才能使物体加速度最大？最大加速度是多少？酽锕极額閉镇桧猪訣锥顧荭钯。解：以物体为研究对象，分析受力建立坐标系如图 根据y得： 由x得：又整理得”鬧m物理问题又转化为上述函数问题，=为值时a取最大值，令tan图亠Cos：1Cos-可见当SinC:勺取极大值时，即:-=-时23 3 / / 6 6

5、4 4 / / 6 6四、利用分式函数的值域求极值a设分式y，当分母最大时有丫皿山，当分母最小时有maxx +b例：一个质量为，速度为v的物体与一个质量为的静止物体发生弹性正碰，求获得的最大动能? 设碰撞后 1m21m2 的速度分别为v1与v2解：因碰撞动量守恒miv = m m-V2弹性碰撞丄mv22214m/2m2-v2(m +m2)4m1m2122gv (m1m2) 2丄荷/( 1)24m1m212分子-gv为定值，当mi二m2时分母最小为2所以Emaxrlgv22例：如图，有一半径r =1m的圆形木板浮在深度 5.3m5.3m 的水池水面上。在木板圆心的正上方某一高 度处放置一个点光源

6、。欲使池底影子的半径为最大，试问这个高度应为多少？另求影子的最大半径？4已知水的折射率n彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑诒尔肤。3解：设入射角为i，折射角为在、为定值条件下，显然只有当时根据折射定律得:sin iST又在中sin i= r在中sin Rr/ ,H2(R-r)2整理得:-R=r 1 +2h2r2(n2-1)5 5 / / 6 6（实际情况，只能是f,RmaxT7m7m） 五、利用均值不等式知识求极值 由数学知识可知 兰竺沁 a（a.be R*）,当且仅当a = b时取等号2例：如图所示电路中，已知电源电动热，内阻门，门，门，为门的滑动变阻器，当滑片滑到什么位置时电流表读数最小？其值为多少？謀

7、荞抟箧飆鐸怼类蒋薔點鉍杂。解 ： 由 闭 合 电 路 欧 姆 定 律 可 知 ， 当 外 电 阻 / 为 最 大 时 ， 干 路 中 电 流 最 小 ， 设 上 在 、 音 电 阻 为则/ ( )(-)()因（）（-）为疋值i_* aJL当（）（-）即0时，厂居LE4所以E-1.71(A)R +rE例：如图所示，小球在光滑的轨道上由静止开始运动，其中半径为的环中段为缺口，冋 u 为何值时，小球完成路径所需的离地面咼度最小，且最小值是多少？厦礴恳蹒骈時盡继價骚卺癩龔。解：以小球为研究对象，从f过程满足机械能守恒，选择地面为重力势能为零势能面，有2mgh mvc mgR（1 cos：）2又小球在间

8、做斜抛运动，有水平方向：vet cos=2RSi n2vcsin :竖直方向：tg整理得：（COS2cos厂11因cos是定值2cosG21Hl当cos，即时（、2）2cos口4例：如图所示，带电量均为的点电荷相距为2L2L,是电荷连线的中垂线，求上场强的最大值。解：设点的场强最大，/:-则()Q2sin (L/cos：)2分母最小为j.n2-1,Rmax=rJn2-1= 7(m)XiX2川Xnn汽XiXd|Xn(,X|XnR）当且仅当&6 6 / / 6 6max仝k$9L22 2六、利用a b =0，求极值由数学知识可知在实数范围内a2，b2=0或a + b = 0定有a = b = 0例

9、：质量为和的二个粒子发生正碰，在碰撞过程中损失的动能为。今要使碰撞前二粒子的总动能为 最小，求碰前二粒子的速度。茕桢广鳓鯡选块网羈泪镀齐鈞。解：设碰撞前、速度分别为、碰撞后速度分别为、碰撞过程动量守恒碰撞过程能量守恒1mw21m2v22=E01m2v22 1miv22 2 2 2一1212题中要求碰前总动能gwmv2最小2 211即要一mv,2m2v22最小22所以总动能最小的条件是1212miv,m2v202 2有，将代入得2ME。2m&:m(M m)M(M m)七、利用几何作图法求极值例：如图，质量为的小球放在倾角为:-的光滑斜面上，试分析挡板与斜面夹角1多大时，所受压力即E2L2cos：2cos2：2sin_ 2 2 2因cos工2os鳥2sin =2定值所