(整理)9广义积分习题课

1、第九章广义积分习题课1 基本概念无穷限广义积分和无界函数广义积分敛散性的定义、绝对收敛、条件收敛。2、 敛散性判别法Cauchy 收敛准则、比较判别法、Cauchy 判别法、Abel 判别法、Dirichlet 判 别法。3、 广义积分的计算4、 广义积分与数项级数的关系5、 广义积分敛散性的判别原则和程序包括定义在的广义积分的各种判别法都有特定的作用对象和原则，定义既 是定性的一一用于判断简单的具体广义积分的敛散性，也是定量的一一用于计 算广义积分，其它判别法都是定性的，只能用于判断敛散性，Cauchy 判别法可以用于抽象、半抽象及简单的具体广义积分的敛散性，比较判别法和Cauchy 判别法

2、用于不变号函数的具体广义积分和抽象广义积分判别法，Abel 判别法和Dirichlet 判别法处理的广义积分结构更复杂、更一般。对具体广义积分敛散性判别的程序：1 比较法。2、 Cauchy 法。3、 Abel 判别法和 Dirichlet 判别法。4、 临界情况的定义法。5、 发散性判别的 Cauchy 收敛准则。注、对一个具体的广义积分敛散性的判别，比较法和Cauchy 法所起作用基本相同。注、在判断广义积分敛散性时要求：1 根据具体题型结构，分析特点，灵活选择方法。2、 处理问题的主要思想：简化矛盾，集中统一，重点处理。3、 重点要掌握的技巧：阶的分析方法。二、典型例子下述一系列例子，都

3、是要求讨论其敛散性。注意判别法使用的顺序例 1 判断广义积分 IpdJ 的敛散性。0 xpxq分析 从结构看，主要是分析分母中两个因子的作用1dx Idx0 xpxq，21xpxq对11，先讨论简单情形p q 时，p 1时收敛，p 1时发散此时收敛。p 0时，由于因此，丨1与 p 积分同时敛散，即p 1时收敛，p 1时发散因此，对丨1，此时广义积分的敛散性完全由分母中的低阶项决定。上述结论也可以总结为：minp,q1 时收敛，maxp,q 1时发散。综上：p 1 q 或 q 1 p时收敛，其余发散。或者为：minp,q10。2x分析 积分结构中包含有正弦函数的因子，注意利用它的两个特性：本身

4、有界性一一用于获得绝对收敛性的相关结论；积分片段的有界性一一用于获得 收敛性。注意验证积分片段有界性时的配因子方法。p q，不妨设 p q，则Ii1dxxp(1xqP),故,0时为常义积分,lim xpx 01xp(1 xq p)lim xqx1xq(1 xp q)解：先分析绝对收敛性，由于sin(x -)| 二 |mx故，m1 时，广义积分绝对收敛分析 从结构看，应该分段处理，重点是讨论 ln( 1 +x)的当x 0和 x时的性质，进行阶的比较。解、记 I11|n(1mx)dx , I2|nmJ20 xln(11xm勾 dx。对I1,由于m 1ln(1 x) limxmx 0 x1 ,故，当

5、m-1 1，即m 0。2 时 I 发散。lx分段处理， 对第一部分的无界函数广义积分， 是非负函数的广义积 分，可以用比较判别法或 Cauchy 判别法，对第二部分的无穷限广义积分，由于 被积函数是变号函数，因此，应该用分析Abel 判别法或 Dirichlet 判别法。解：记丨1. sin x1e sin 2x , dx,0 xsin xe sin 2x , dxx对丨1， 当11 ,i.e 2时,sin x1e sin 2x limxx 02e故，丨1收敛。由于此时被积函数不变号，故又绝对收敛。当11 ,i.e2时,对I2，由于limx 0sin x1e_2exxIsi n xce sin

6、2xexx1一单调递减趋于 0，由 Dirichlet 判别法，12收敛。x0 xpsi nxqdx的敛散性，其中 p、q 非负。分析 从被积函数的结构可以发现，组成被积函数的两个因子中，较难处理的是因子sinxq，因此，处理思想就是将其简化，处理手段是变量代换。处理技 巧是先易后难。故当1 时，丨2（绝对） 收敛。Asin xc 1e sin 2xdxsin A2tetdt1si n11 时，由于，对任意 A 1 ,2又，此时sin xexsin2xsin2xx1sin22xe -xe11 cos4x2 x xdx 发散,x+ COs4xdx收敛，因此,11xsin x 小e sin2xxd

7、x发散。x因而，当 01 时，I2条件收敛。综上，12 时，I 绝对收敛；01 时,I 条件收敛；2 时，I 发散。解、先考虑最简情形：q0时的情形。记l1（p）0 xpdx,l2（p）和无穷限广义积分，因此，p1时，h（ p）收敛；p1时，h（p）发散;而对I2，p 1时I2（p）时收敛，p1时I2（p）发散,故q 0时，I 发散。当q 0时,令t xq， 丄丄/，则q且当 x时,例 5 讨论Ip 1 q1q1t sin tdt=q0对I11 sintdt，由于limt S1，故I1与1dt同时敛散。因而，10tot110（1） 1 , ie2时，丨1（绝对）收敛；2 时，丨1发散。对丨21

8、t si ntdt，由于 t si nt t，故，1 时，丨2绝对收敛；当10 时，由 Dirichlet 判别法，丨2（条件）收敛。当0 时，利用周期函数的积分性质，贝U2nt sintdt sintdt 22n0因而，由 Cauchy 收敛准则，12发散。综上：q 0时，I 发散；q 0时，1丄0时，|绝对收敛；q0匕1时，I 条件收敛；1巳时，I 发散。qq注、本题的证明思想：过程：由易到难；矛盾集中，突出重点，抓住主要 矛盾。注、也可以用配因子法处理。下述的例子用阶的分析法。. 1例 6 讨论I（1沁）31 dx的敛散性。0 7分析 首先将积分分段处理，记丨11（1沁）？1 dx0 x

9、. 1sin x121（1 ）31 dx。从被积函数结构看，被积函数形式较为复杂，处理1x的方法一般是通过阶的分析，估计其速度，从而估计敛散性，并进一步验证。对I1，分析奇点附近被积函数的阶。由于3. 21t sin tdt0 1t sin tdtxsin x x3!,3、si nx“ x,2、o(x ) ,1o(x )，1 2sin x-二-因而，(1-)3: x3，从而，判断出被积函数在奇点处的奇性。x用函数展开理论得(1 x) 1 x 0(x2),x ( 1,1)，收敛，故I2条件收敛。因此，I 条件收敛。注、对复杂的函数结构利用函数展开理论判断广义积分的敛散性也是一个 有效的方法。1l

10、n(1 sin)例 7 Ixdx (0)。1. 1x In cos对I2，对被积函数作阶的分析，由于 x 充分大时sin x a,它们都在a, A上可积，证明：若f(x)#g(x) h(x)且广义积分+ ? + ?af(x)dx、Qh(x)dx都收敛，贝UQg(x)dx也收敛。分析 题目类似极限的两边夹定理，但是条件较弱，证明思路是通过条件 寻找它们之间的关系，利用性质或定义或比较法进行判断。证明：由所给的关系式，则0? g(x) f(x)? h(x) f(x)，散性。下面，通过一个例子，说明例8 的作用。例9讨论Ixpsin xxqdx(q0)的敛散性。xpsin x1 xqxpqsin x

11、-1 x非负单调且，因此，利用例 8 的结论，其与1sin x .dxq px同时敛散。因而，q p1时绝对收敛;0 q p 1时条件收敛；q2A2Af (x)sin xdx+ ?由条件和广义积分性质，则Q(h(x)- f(x)dx收敛，由比较判别法，则+ ?Q(g(x)-f (x)dx收敛，由于g(x)= g(x)- f (x) + f (x)，再次利用积分性质，则+ ?Qg(x)dx收敛。注、 例 10 结论表明， 对待考察的广义积分的被积函数进行适当的估计， 去 掉一些次要因素的影响， 由此得到收敛性， 体现了研究广义积分收敛性的又一 思想。注、尽管例 8 和例 10 体现的处理问题的思

12、想类似，但是，由于例 8 是一个等价的转化，得到的是同敛散的结论，因此，例8 的结论比例 10 要好。F面的命题用于处理另一类广义积分的敛散性。例 11设 f(x)0 且单调递减，证明f(x)dx与f (x)si n2xdx同时敛散。aa故,时,故,证明:若 limx因为 f(x)0 且单调递减，故 lim f (x)存在。xf (x) = 0，则由 Dirichlet 判别法，f (x)cos 2xdx收敛。由于2f (x)sin2xdx=aaf (x)dxaf (x)cos 2xdxf (x)dx与 “f(x)sin xdx同时敛散。a小若 lim f (x) = b0,此时xf(x)取

13、n 充分大，使得A 2nf (x)dx发散。2A 2n；A则解、由于2sin xp pdx与(x sinx)1时收敛，2sin xpxsinx , dx2xp作对比可以发现，分母上增加因子 sinx,深刻改变了其敛散性，使得收敛围变小。 这也反映了广义积分敛散性的复杂性。注、例 12 也表明了因子 sinx 的复杂作用，当它处在分子上时，可以充分 利用其本身有界和积分片段的有界性得到一些敛散性结论；但是，当这个因子 处在分母上时，其变号且非单调的性质起到了很大的作用，从而影响到了广义 积分的敛散性。也可以通过与例 9 的结论对比发现这些差异，例 9 中，分母为1 xqxq，因子 1 不起作用，

14、此例中，分母中的因子 sinx 起到了影响敛散性的 作用。1例 13 若f (x)dx收敛，f (x)在a,)单调，则 f(x) o(-)(x),ax即lim xf (x) = 0。x? ?分析 要证明的结论表明，要研究的是被积函数的极限行为( 即要控制当 x 充分大时的 xf (X),而从广义积分的收敛性的条件能产生与被积 函数的无穷远处的行为有关的结论就是 Cauchy 收敛准则，因此，建立二者的桥故,f(x)sin2xdx发散。因而，此时二者同时发散。a下面的例子用上述结论很容易处理。sin x2尹例 12 讨论 Idx 的敛散性。sin xsin xsin xsin x 2sin xx

15、p(xpsi nx)I1 2sin x.dx知 p0 时收敛，p0时发散为讨论2sin xp pdxx (x sin x)的敛散性，注意到2sin x2sin xP/ px (x 1)2sin xP/ px (x sin x).2sin xx (x 1)2sin2x2px故,时敛散,2sdx同时敛散，由例 11,又与1-时发散。21 1pdx 当 p -时收敛，p 一时发散。2xpsinx22注、这类题目的讨论技巧性高，得到的结论也深刻。事实上，和A卅梁为 Cauchy 收敛准则。因此，证明的关键就是如何从 Cauchy 片段Qf(t)dt中分离出 xf (x),因此，必须通过选择与 x 有关

16、的ApA?达到目的，特别注意 f (x)可以由被积函数产生，即从积分号下把被积函数分离出来，而系数显然要 通过积分限产生。证明：设f (x)单调递减，由f(x)dx收敛，贝U f (x) 0。由 Cauchy 收敛a准则，存在充分大A00，使得对任意A A1A0，成立AQf(t)dt e，对任意x 2A0，取 A2x , A,x，则xQf (t)dt N，使得n ? Mn+ 1，故f (x)dxnaf(x)dxf (x)dxf (x)dxManaf(x)dxMInf(x)dx|(M n)故，f (x)dx= Aoa下面给出几个广义积分的计算题目关于广义积分的计算，基本思路和方法是利用N-L 公

17、式、分部积分、极限运算。技巧是选择合适的变量代换例 18 ( Frullani 积分)证明：若f(x) C0,)且对任意 A 0，广义积分上dx 收敛，则 I 卫空 f(0)l nbAx0 xa分析解题思想是将待计算的未知的积分转化为已知的积分，手段是利用f(ax)- f(bx)dx，因此，可以利用极限将两种形式，也将已知和未x知的量联系起来。证明：对任意的0,则迪 dxtax型 dt ；xat同样，迪 dxtbx迪 dt。因而，xbtI lim 迪宓 dx limbfdx0 x0 ax利用积分中值定理，b1bI lim f( ) dx f(0)ln 。0 axab1.-例 19 证明： f(

18、ax )dxf ( t24ab)dt，0 x aa变量代换。事实上,已知的是积分形式f(x)xdx， 待计算的量是形式f(x)dx其中a 0,b0，积分有意义I01分析 从证明的结论中可以发现所应该采取的方法和手段，即应该是选择一个合适的变换，使得4ab，从这一关系式中可以发现，变换不唯一。证明：令 ax -xt，则ax(t、t24ab),2adx12abxt 、t24ab ., dt，故、t24ab.t24abf (ax )dxx12af(盂)f 亘 dtvt24abItf( t2 4ab)t匚雪 dt，4ab0f( t24ab)t 4abdtVt24abo f(lt24ab)兰24ab t

19、.-dt，t 4ab由此可证明命题。注、也可以取ax = t，此时x =例 20 计算 I(t + t2+ 4ab)。2aIn x ,2dx。1 x2分析 这类题目是无法直接计算出来的,常用的技巧是分段，选择适当的变量代换，在两个积分段之间寻找连续。解、由于11tIn x ,ydxxI nx例 21 证明I1 ln今 dx，而二者都收敛，故,xInxdx = 0。1 x2012dxx2dx (0)与无关。0(1 x )(1 x )I0110证明：由于1T-1(1 X )(1-dx )1t0(1 t2)(1-dt)1因而I2dx0(1 x )(1 x )2dx(1 x )(1 x )dt01 t

20、2故其与无关。F面讨论广义积分和无穷和的极限的关系。例 22设f(x)在(0,1单调，x=0 为其奇点,1广义积分f(x)dx收敛，证明:11 f (x)dx=lim0nnkf()onk 1n分析与例 16 类似，将积分转化为有限和，进而考察相互的关系。证明: 设f(x)在(0, 1单调递增，则kkn1f (x)dxVn nk 1nknf(x)dx,因而，利用1of (x)dx的收敛性，则10f(x)dx二nkkn1f (x)dxk 1nf(-)nn 11k1-f(-) -f(1)k 1nnnf (x)dxnf(1)11f(x)dxn1_f(1)，n由此，命题得证。注、由此可得limnlimn

21、kInnIn xdx即：n! enn10例 23 设对任意 A0, f(x)R0, A且 lim f(x) a，证明：xlim t etxf (x)dx a。t 00分析 题目中所给的定量条件只有 lim f(x) a，为了利用这个条件，仍然x可以利用形式统一方法对结论进行变形，从中可以看到要证明结论等价于txlim tqe (f (x) a)dx 0，为利用条件，只需分段处理即可，即分别研究Atxt0e (f(x) a)dx、tAetx(f (x) a)dx “ ey(f(=) a)dt的极限行为。txt0e | f(x) a|dx 2txlim tqe | f(x) a | dx 0。tA

22、f(x)证明：因为 lim f (x) a，故存在xM0,使得 xM 时，| f(x)a| 1； 又R0, M 1，因而,f(x)有界 Co注意到t0e匕1，故只需证明tx帆t0e 1f(x)a|dx 0o由于由于对任意 0 ,txe | f(x)存在 A0，使得 xA 时| f (x)Aa|dx t0etx| f (x) a | dx+tAtx(C a)t0e dx(C a)(1 etA)txte dx (C a)(1a|，故etx|f(x)etA) e70a | dxxdx1 etA0 ,( t 0)，故，存在0,0 t时，11A1厂，因而故,F面是一些判断题22、判断下列命题是否成立。1

23、) 、设f(x)在任意区间a,A上可积，若对任意的A B使得对任意的A A，都成立 f (x)dxA解：错。正确理解 Cauchy 收敛准则反例。如!gdX，则对任意的 B0都有2) 、设f (x)在任意区间a, A上可积，若xf (x)dx收敛，则f(x)dxaa收敛。1解、正确。利用 f (x) xf (x)和 Abel 判别法即可。xxn 13)、若存在Xn使得f(x)dx发散，则f(x)dx发散。Xnan 1解、正确。事实上，f(x)dx收敛充要条件为对任意的Xnaf (x)dx收敛。0、B 0，存在AQ,，则af (x)dx收敛B1dxBln(1A证明：若af (X)dx收敛，Xn，贝u由于XnX1n0k 1f (x)dx=f (x)dx+xf(x)dxaak 1Xk故n 1X