第66课 平面与平面

1、第66课 平面与平面考试目标 主词填空如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面互相平行.判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.判定定理：垂直于同一条直线的两个平面平行.性质定理：如果两个平面平行同时与第二个平面相交，那么它们的交线平行.性质定理：两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面.如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面互相垂直.判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线

2、的直线垂直于另一个平面.推论：如果两个平面互相垂直，那么经过第一平面内的一点垂直于第二平面的直线，在第一个平面内.题型示例 点津归纳【例1】 如图,ABC为正三角形，EC平面ABC，BDCE且CE=CA=2BD,M是EA的中点.求证：(1)DE=DA;(2)平面BDMN平面ECA；(3)平面DEA平面ECA.【解前点津】 证明BN平面ECA是关键.例1题图【规范解答】 (1)取EC的中点F，连结DF，因为 EC平面ABC，故ECBC，易知DFBC所以 DFEC，在RtEFD和RtDBA中因 EF=EC=BD,FD=BC=AB,所以 RtEFDRtDBA，所以 DE=DA.(2)取CA的中点N，

3、连结MN、BN.则MN EC,又因BD EC,所以 MN DB.所以点N在平面BDM内，又EC平面ABC，故ECBN.又因 CABN，所以 BN平面ECA且BNMNBD.所以平面MNBD平面EAC.(3)因为DMBN，BN平面ECA，所以DM平面ECA.又因DM平面DEA，所以平面DEA平面ECA.【解后归纳】 本题考查线线关系、线面关系和面面关系.【例2】 点P是ABC所在平面外一点，A、B、C分别是PBC、PCA、PAB的重心，求证：（1）平面ABC平面ABC；（2）求ABAB.【解前点津】 由三角形重心易联想三角形的中线交点，且交点分中线的比为21,在图中取AB、BC、CA的中点M、N、

4、Q，连线后即可证明.【规范解答】 （1）如图，取AB、BC、CA的中点M、N、Q,连结PM、PN、PQ、MN、NQ、QM，由A、B、C分别为PBC、PCA、PAB的重心，A、B、C分别在PN、PQ、PM上，且PCPM=PAPN=PBPQ=23.在PMN中，,例2题图CAMN,又M、N为ABC的边AB、BC的中点，MNAC.ACAC,AC平面ABC.同理AB平面ABC.平面ABC平面ABC（2）由（1）知.【解后归纳】 证明两个平面平行的方法有：用定义、通常运用反证法；用判定定理及推论；根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”；用“传递性”.【例3】 如图，在直角梯形ABCD中，ABCD，ABBC

5、，且AD=CD.在AB上截取AE=AD,将ADE沿DE折起，使A点到达A,若AC=AB,求证：平面ADE平面BCDE.【解前点津】 运用判定定理.【规范解答】 分别取DE、BC的中点M、N，连结AM、MN、AN.例3题图因为AD=AE,所以AD=AE,所以AMDE.又因为AB=AC，所以ANBC.又MNBC，所以BC平面AMN，所以BCAM.显然DE与BC相交(否则，ABAC与AB=AC相矛盾)，所以AM平面BCDE.从而，平面ADE平面BCDE.【例4】 如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N,P分别是C1C,B1C1,C1D1的中点, 求证:(1)APMN; (2)平面MNP平面

6、A1BD.【解前点津】 关键在于选择或添加适当的平面或线,由于M、N、P都为中点,故添加B1C,BC1作为联系的桥梁.【规范解答】 (1)连BC1,B1C则B1CBC1,BC1是AP在面BB1C1C上的射影,例4题图APB1C,又B1CMN,APMN.(2)连结B1D1,P、N分别是D1C1,B1C1的中点,PNB1D1,又B1D1BD,PNBD,又PN不在平面A1BD上,PN平面A1BD,同理MN平面A1BD,又PNMN=N,平面PMN平面A1BD.【解后归纳】 将空间问题转化为平面问题是解决立体几何问题的重要策略. 对应训练 分阶提升一、基础夯实1.、是两个不重合的平面，在下列条件中，可判

7、定的是 ( )A.、都垂直于平面B.内不共线的三点到的距离相等C.l、m是内的直线且l、mD.l、m是两条异面直线，且l、m、l、m平面,直线a,直线b,与间的距离为d1,a与b间距离为d2,则 ( )A.d1=d2 B.d1d2 C.d1d2 D.d1d23.两平行平面间的距离为d，到这两个平面距离之比为21的点的轨迹是 ( )A.1个平面 B.2个平面 C.3个平面 D.4个平面4.已知平面平面，P是、外一点，过点P的直线m与、分别交于A、C，过点P的直线n与、分别交于B、D且PA=6，AC=9，PD=8，则BD的长为 ( )A.16 B.24或 C.14 D.205.如果，AB和CD是夹

8、在平面与之间的两条线段，ABCD，且AB=2，直线AB与平面所成的角为30，那么线段CD的取值范围为 ( )A. B.1,+ C. D.6.已知平面平面，m是内一条直线，n是内一条直线，且mn，那么，甲：m；乙：n；丙：m或n；丁：m且n.这四个结论中，不正确的三个是 ( )A.甲、乙、丙 B.甲、乙、丁C.甲、丙、丁 D.乙、丙、丁7.设P是正方形ABCD所在平面外一点，且PA平面ABCD，则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是 ( )A.平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直B.它们两两都垂直C.平面PAB与平面PBC垂直，与平面PAD不垂直D.平面PAB与平面PAD垂直，与平

9、面PBC不垂直8.如图所示，在斜三棱柱ABCA1B11的底面ABC中BAC=90，且BC1AC，过C1作C1H底面ABC，垂足为H，则点H在 ( )A.直线 AC上 B.直线AB上 C.直线BC上 D.ABC的内部第10题图第8题图9.直线a、b是互相不垂直的两条异面直线，平面平面，且a,b，则符合条件的、 ( )A.只有一对 B.只有两对 C.有无数对 D.不存在10.在直二面角-l-中（如图），直线a，直线b，a、b与l都斜交，则 ( )A.a不和b垂直，但可能abB.a可能和b垂直，也可能abC.a不和b垂直，也不和b平行D.a不和b平行，但可能ab11.三个平面两两垂直，它们的三条交线

10、交于一点O，P到三个面的距离分别是3，4，5，则OP的长为 ( )A. B. C. D.二、思维激活第12题图12.如图,BAD=90的等腰直角三角形ABD与正三角形CBD所在平面互相垂直，E是BC的中点,则AE与平面BCD所成角的大小为 .13.设有四个条件： 平面与平面，所成的锐二面角相等； 直线ab，a平面，b； a,b是异面直线，a,b且a，b； 平面内距离为d的两条平行线在平面内的射影仍为两条距离为d的平行线.第15题图其中能推出平面的条件有 (填写所有正确条件的代号).14.矩形ABCD与矩形BCEF垂直，BF=2，AB=3，BC=4，则cosBDFsinDFE= .15.如图，在

11、空间四边形ABCD中，平面ABD平面BCD，BDC=90，E、F分别是AD和BC的中点，当EF=CD时，EF与CD所成的角为 ；EF与平面ABD所成的角为 .三、能力提高16.如图,四棱锥PABCD的底面ABCD为直角梯形,BAD=ADC=90,PA底面AC,若CD=AD=PA=a,AB=2a.(1)求证:PBC为直角三角形;(2)M为PD上一点,过A、B、M三点的平面与PC交于点N,求证:四边形ABNM为直角梯形.第16题图17.如图，在四棱锥ABCDE中，BCDE，BCD=CDE=90，DE=CD=BC，AB=AE=BC,AC=AD.(1)证明：平面ABE平面BCDE.(2)求AC与平面B

12、CDE所成的角的正弦值.第17题图第5课 平面与平面习题解答 过点P(不在、内)作ll,mm,l与m为异面直线，l与m为相交直线确定平面，故. 可以在正方体的两个平行的平面内找出模型. 其轨迹为两个平面，均与已知平面平行. 当点P在线段AC上时，PAPC=PBPD，PB=16,故BD=16+8=24;当点A在线段PC上时，PAAC=PABD，BD=. CD的最小值满足CDsin60=2sin30.CD=，故CD.6.B 四个命题中只有丙正确.7.A PA平面ABCD，平面PAB平面ABCD，又BCAB，BC平面PAB，平面PBC平面PAB.同理平面PAB平面PAD.8.B ABAC，BC1AC

13、，AC平面ABC1平面ABC平面ABC1，H在交线AB上.9.C 画图可知C正确.10.C 过l上一点P作aa,bb,在a上取一点A作ACl于C，作CBb于B，连AB则ABb，a与b不可能垂直，a与b不垂直.11.B |OP|=. 过点A作AFBD于F,则AF面BCD,AEF为所求的角,设BD=a,则AF=,EF=,在RtAEF中AEF=45.13. ab，a，b，又b，；由本节第1题知正确.14. cosBDF=，sinDFE=，cosBDFsinDFE=.15. 60，30 取BD的中点G，连EG，FG，CDBD，平面ABD平面BCD，CD平面ABD.又FGCD，FG平面ABD.EFG为Rt且EF=2FG，EFG=60，EFG=30,其中FEG为EF与平面ABD所成的角.16.解:(1)，PC=,PAABPB=,BC=PC2+BC2=PB2,PCB=90,即PBC为直角三角形.(2)PA底面AC,故ABNM为直角梯形.17.(1)分别取CD，BE的中点M，N，连