高中数学必修4-三角函数的图像与性质

1、高中数学必修4-三角函数的图像与性质三角函数的图像和性质课 题三角函数的图像和性质学情分析三角函数的图象与性质是三角函数的重要内容，学生刚刚刚学到，对好多概念还 不很清楚，理解也不够透彻，需要及时加强巩固。教学目标与 考点分析1.掌握三角函数的图象及其性质在图象交换中的应用； 2,掌握三角函数的图象及其性质在解决三角函数的求值、 求单调区间等问题中的应用.求参、求最值、求值域、教学重点三角函数图象与性质的应用是本节课的重点。教学方法导入法、讲授法、归纳总结法基础梳理1. “五点法”描图(1)y= sin x的图象在0,2 起的五个关键点的坐标为,小21)°小(0,0), (一,1),

2、(乃 0), (2 , 1)，(2 万 0).2(2)y= cos x的图象在0,2 起的五个关键点的坐标为一，.、3(0,1), (一,0)，(外1),(。, (2 方 1).222.三角函数的图象和性质函数性质y= sin xy= cos xy= tan x定义域RR，.冗x|xwktt+ 2，kCZ图象入今JA口 ：r1值域T,1T,1R对称性一 r 一，r九对称轴：x=k：t+ 2(kCZ)对称中心：(k. 0)(kCZ)对称轴：x=kTtkC Z)对称中心：(k ,0)k Z2无对称轴对称中心：k(,0)k Z2周期2兀2-_5单调性单调增区问2k-,2k-k Z ;22单调减区问3

3、 2k,2kk Z22单调增区问2ktt-乃 2k：t KCZ);单调减区问2k 乃 2k 兀+ 兀kC Z)单调增区问(k -,k -)k Z奇偶性<他直两条性质(1)周期性一一，一，一2兀，一函数y=Asin(cox+(D和y= Acos(cox+而的取小正周期为 亡，y= tan(cox+ 4)的取小正周 .血I 期为”.1-1(2)奇偶性一三角函数史一奇.函数二般可化为一 ymAsin _ax或y mAtan 一®一偶一函数二般包化为ymAcos一.吐b.的形式.三种方法求三伯函数值域(最值)一的方法(1)®!用sin x>. .cos. x一的有一毙:

4、生;一形式复杂的一函数应化为_一y二Asin(3 一吐一 6土 k1勺形式逐发分析co± 4的范围，根据正.弦函数.单调性一写出函数的值域;(3)换元法:把一sinx或cosx看:作二仝整体一一可化为求函数在区间上的值域(最值)一问题一8 / 13双基自测1.函数 y cos(x 3),xCR().A.是奇函数B.是偶函数C.既不是奇函数也不是偶函数D.既是奇函数又是偶函数2 .函数y tan(4 x)的定义域为().A. x|x k 4，k ZC. x|x k-,k Z4B. x|x 2k ,k Z 4D. x|x 2k 一，k Z 43. y sin(x 1)的图象的一个对称中心

5、是().“，c、一3A.(兀，0)B.(,0)4-3rC.(,0)D .(二,0)224.函数f(x) = cos(2x )的最小正周期为 .考向一三角函数的周期【例11 ?求下列函数的周期：tan(3x ) 6/n y sin(- -x) 232，(2) y考向二 三角函数的定义域与值域(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解.(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：形如y= asin2x+bsin x+ c的三角函数，可先设sin x= t,化为关于t的二次函数求 值域(最值)；形如y= asin xcos x+ b(sin

6、 xztcos x)+c的三角函数，可先设 t=sin x为os x,化为关 于t的二次函数求值域(最值).【例21 ?(1)求函数y= lg sin 2x+19 x2的定义域.(2)求函数y=cos2x+sin x(|x| 7)的最大值与最小值.【训练2 (1)求函数y = ysin x cos x的定义域；tan(x ) , sin xy 4 、-(2) lg(2cosx 1) 的止义域(3) 已知f (x)的定义域为0,1,求f (cos x)的定义域.考向三三角函数的单调性求形如y= Asin(cox+k的单调区间时，只需把cox+小看作一个整体代入y= sin x的相应单调区间内即可

7、，若 为负则要先把 化为正数.【例3】？求下列函数的单调递增区间. y cos(3 2x)， y【训练3】函数f(x) = sin(2x )的单调减区间为 31 . .2 、-sin(- - x) , (3) y tan(3x ).24 33考向四三角函数的对称性)正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形.正切函数的图象只是中心 对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用.【例4】？(1)函数y=cos(2x )图象的对称轴方程可能是( 3-九 r九八九 r九A. x= _ 6 B. x= 一 12 C. x 6 D . x1？一 九 .一，一一. 右0<

8、a<3，g(x) sin(2x )是偶函数，则a的值为24【训练4】(1)函数y= 2sin(3x+ ) (| |金)的一条对称轴为x=12,则 -(2)函数y= cos(3x+的图象关于原点成中心对称图形.则 -.难点突破一一利用三角函数的性质求解参数问题含有参数的三角函数问题，一般属于逆向型思维问题，难度相对较大一些.正确利用三角函数的性质解答此类问题，是以熟练掌握三角函数的各条性质为前提的，解答时通常将方程的思想与待定系数法相结合.5【小例】？已知函数f(x) = sin( x )(>0)的单调递增区间为k ,k 一(kC 31212Z),单调递减区间为k 一,k(k Z),

9、则的值为1212练一练：1、已知函数 f (x) sin(3x -)(1)判断函数的奇偶性；(2)判断函数的对称性.2、设函数f(x) sin(2x )(0)的图象的一条对称轴是直线x ,则8课后练习：三角函数的图象与性质练习题一、选择题(1)下列各命题中正确的是A.函数y二JcoTsiruQ的定义域是22窜-二,2K冗+张2Z)4 m - 6B.要使gsB -VI疝有意义,那么m的取值范围4 - mC.函数y = t挈的对称中心为(k冗，0)低Z)D.函数y = cos式丁的值域是,工高中数学必修4-三角函数的图像与性质(2)下列四个命题中，正确的是A.函数y=ctgx在整个定义域内是减函数

10、B. y=sinx和y=cosx在第二象限都是增函数C.函数y=cos(-x)的单调递减区间是(2k兀-冗，2k tt )(k C Z)D,函数y = t段在也兀- 3 , kx +今&E Z)内单调递增(3)下列命题中，不正确的是A.函数y =恼口中"|匚0网的最小正周期是5B.函数丫=3口式-久-与的最小正周期是5冗 56C.函数y = 2国n(三十刍的最小正周期是冗.则a 或乱=二 a 322D.函数y=sin|x|是周期函数(4)下列函数中，非奇非偶的函数 是A. y = i1 -HsitlX - COSKB. y =1 -Fsin +cosxC. y = 1g/se

11、c2K +1空)+!>( Jsec”. - tg笈)7TD. y = 2cos2(u + -)(5)给出下列命题：函数y=-1-4sinx-sin 2x的最大值是2函数f(x)=a+bcosx(a R且bC R)的最大值是a-b9 / 13高中数学必修4-三角函数的图像与性质11 / 131凸号她场十1=0(0口兀，口卢多.则口 =：或口 Ujj雨足c由sx - cos(arc：sin y)=0的熊:为2k冗+ 1以上命题中正确命题的个数 是A. 1B. 2C. 3D. 4已知则fa-1A.sin a < COs a < tg aB.cos a > tg a >

12、sin aC.sin a > tg a > COS aD.tg a > sin a >cos a(7)设x为第二象限角，则必 有A.C.埴5海万sin Reos一 22X . St叼(强5.工LXSill 22(2)函戮 y =)的一条对称轴的方程是、填空题再T-C.兄=一28D.S= 2(9)函数 y=sinx+sin|x|的值域是(IQ)若函数尸2唔豌一会的最小正周期T满足yX2,则自然数k的值是.(11)设函数f(x)=arctgx 的图象沿x轴正方向平移2个单位，所得到的图象为C, 又设图象C与C关于原点对称，那么C所对应的函数是 .(12)给出下列命题：存在实

13、数a ,使 sin a cos a =1c43存在实数Q,使smCl+EsCL=?函数V =-笈)是偶函数宣=否是函数¥ = &!(* +的1条对称轴方程若a , B是第一象限角,> > B则tg a > tg B其中正确命题的序号是.三、解答题(14)已知函数y=cos2x+asinx-a 2+2a+5有最大值2,试求实数a的值.高中数学必修4-三角函数的图像与性质答案与提示(1)B (2)D(3)D(4)B(5)D(6)D(7)A(8)D提示1)当汽E R时.-1, 1,此时cos(SLnx)恒大于零，y =的定义域为R由已知条件将2gq*。+g)=:小

14、,54 -m2m - 37/. |-141, 即|2m -3区K-m解得-函数了 = tgK的对称申心为3 0)r7A函数y =兀)的值域是1 r-662(2)y=ctgx 在(k tt , k兀+兀)(k C Z)内是单调递减函数.ny = sinx 与 y = cosk在2kn, 2k冗4- 71 (k£ Z)上都是减函数.y=cos(-x)=cosx 在2k兀-兀，2k兀(k CZ)上是增函数，而在2k兀，2卜兀+兀 上是减函数.冗 了土屏在俚冗-,k/ +:-)仅后Z)内是增函数.(3)可画出y=sin |x|图象验证它不是周期函数或利用定义证之.(4)y 二小心乂是偶函数；

15、y = 2tos2(芯+ /) =-2dn2x奇函数m y= lgt7sec3x + tgu) + lg(Vsec2s -tg?E)=。既是奇函数又是偶函数？ y =-3口需的分母+窈打算+(:0螟卢0,即久卢2k兀+打，X声2卜冗十 1 + sin x + coskU(kEz),由此可知此函数定义域关于原点不对称，故此函数是非1奇非偶函数.(5)=-y(sinx+2) 2+3 sinx=-1 时，ymax=2当 cosx=-1 时，f(x) max=a-b由条件知3nCL)=前我二吗0<<t<7T ,。声g，兀3兀，CL =,01 = 4 '41、8 H 11(iJ

16、cosfarc sin-) cos 1 二一？ cosx2322JT豆=2k 兀 + (ki6 Z)(6)若g<Q<g 则馆d>l,又用口 口匚8口. cos a < sin a < tg a兀由:ct第二象限角，得= + 2k兀 <父<兀+ 2kn(k Z)/. L + fcK<|<-l+k7TCkeZJs结合单位圆申三角函数线，宜X易知 tgqActg5Lf "jr(8)y sin(2x 冗)= mi2% 对称轴方程是又=方我 Z),当k二 uiL-n-时，x = q1 16 / 13(12)、-2 , 2(10)2 或 3

17、(11)y=arctg(x+2)提示JT, 1,西 O-= 2或 3若 sand +gg5 口 =(则 1 + 2ain 口95丁 即皿口 =>1.兀C10)T = 电 因(11)C: y=arctg(x-2) , C: -y=arctg(-x-2) , . y=arctg(x+2)(12)若sinQ cosCl = 1，则a否口二一,由此知司:？ 口 +corQ slilQf即通，故不正碑故不正确.3_ _由尸=sn(口 -x) = -c©sx是偶函数,故正确.5网兀止目 k几 3H 业兀4t由 2又+ 丁 =及兀+弁、= - - s 当 k = l 时，s<=q-为 一条对称轴方程，故正确.由 390° >