必修四正弦余弦函数图像与性质题型分类总结

1、必修四正弦余弦函数图像与性质题型分类总结知识框架，院、亶数 质y sin xy cosx图象i y3 工ll y,j14oT0A ； /4T定义域RR值域1,11,1最值当 x 2k - k时，ymax1 ;2当 x 2k - k时，ymin 1.2当 x 2k k时，ymax 1；当 x 2kk时，ymin 1 .周期性22奇偶性奇函数偶函数单调性在2k 2k - k 上是增函数； 2,2在2k2k 3 k 上是减函数.2 k, 2 k22在2k ,2k k 上是增函数；在2k ,2 kk上是减函数.对称性对称中心k ,0 k对称轴x k k2对称中心k ,0 k2对称轴x k k题型一、考

2、查定义域和值域例1.求下列函数的定义域和值域.= Igsins；(2)y = 2dM>0 鬼.分析： 要使Igsinx有意义，必须且只须sinx >0,解之，得 2k 兀 <x<（2k+1）兀，kC Z.又.0< sinx < 1,- 0°< Igsinx <0.定义域为（2k兀，（2k+1）兀）（k Z）,值域为（-8, 0.要使2而亚有意义，必须且只须33宴>口，解之，得C 3xC , kE Z.叉此时0汇L故0 2、/co£3笈炙2.DkJT JT Dlr TT TT，定义域为三, + 值域为2.3 O J 例2

3、求下列函数的最大值与最小值:加2-(l)y = 2 - sin(K - -) j(2)y = 2。§、+5sinx -4；(3讨= 3g§ 展-4g函4 1, sc |n371K3 JI冗解（1）当义-> =以兀+k，即冢=2kTT +=（k££）时.兔门（义-h） 4244取最大值1,从而毗=1.7T7T兀兀当月-次兀-,即X = 2k兀-(k Z)时 an(z - 丁)取最小 4244值-L从前“例二曳(2)y=2cos 2x+5sinx-4=-2sin 2x+5sinx-2=玄丽沁。sinx C -1 , 1,兀_,当sitiz: = -1?

4、 即'=一三十如元低z)时，了有最小值-g_ K_.当sinM=L 即h = + 2k_Tr (k£ Z)时，y有最大值 1.J22(3)y = 3cos 4-cosx +1 = 3(cosx 一?)TT 77TI i, 8ssG-, T(借助单调性即将)12n从而当coss = -即笈=-时, ,&sJ15IMT 一4当8阳=；,即嚣=7时，为出=-；(l)E(co£*i*例3已知函数¥=可磔的定义域是0,申，求下列函数的定义域.解依题意，有。利用单位圆（或三角函数图象）解得7T2兀(定住n-+ -+ - ? kE Z2兀3兀 /亍，kir +(

5、k an n舅k九+，k北+ 丁Uk兀+ 一例4求下列函数的值域.2 sinx * cos3 x+ sinx解由好募力可得小功笠 ，cosx =1 -2y|cosx| < 1 二 cox2x< 1即 *从而3yL4y + l»00- 2y)' K 或 yAl故函数y= 8就，的值域为(-8, 1U1. +8) 2cosx+155sinxfl- sin3 s')1 11(2)y =2§后忒 1 - sin苗=-2(einK -)214- atix22.-1 /. -4qy£，函 孚及在的值域 1 l + sinv2例5.函数y ，2sin

6、 x1 Jcosx的定义域是 分析:0由题得2sin x 1cosx 02kx 2k所以66 ,k Z .2k x 2k + 22所以x 2k,2k 6所以函数的定义域是2k例6,设函数f (x)cos x ( 6。)，若 f (x)f 一 对任意白实数x都成立，则 4的最小值为()A. 193B. 223C,经3D. 283分析:f (x) f - 对任意白实数x都成立，f(一)是函数的最大值,K 2一 6-4K 00rC 222Z ,其中最小的正数为 8 .33故选：B.例7.若函数f(x) 2sin( x-)(0)的最小正周期为，则当x 0,万时,f (x)的值域为分析:因为 T &qu

7、ot; ，所以 2,则 f(x) 2sin(2x )； I I6又 x 0,-,所以(2x )2656 ,-6,则 f(x)max2sin22, f (x)min 2sin(-) 6所以f(x)的值域为:1,2.例8、 y3sin 2x的最小值为6分析:y 3sin3.当2x 2k ,即x k ,k Z时有最小值623故答案为:3.题型二、比大小例1.比较下列各组数的大小.，(2) cos-, sin7-s 心JL 31-cos-4(3)sui(sin3 冗37Vg), sin(c<>s 分析化为同名函数，进而利用增减性来比较函数值的大小.解 (1)sin194 0 =sin(18

8、0+14° )=-sin14 0cos160° =cos(180 0 -20 0 )=-cos20 ° =-sin70 0v0<14° <70° <90° ,sin14 0 <sin70° ,从而-sin14 0 >-sin70 0 ,即 sin194 0 >cos160° .1叮 1(2) an= cosl.47'",77-cos H = cosl.39,3-oos = cosl. J 2而y=cosx在0 ,兀上是减函数，故由 0< 1.39 <

9、 1.47 < 1.5 < 九可得cos1.5 <cos1.47 <cos1.39艮口匚05一<疝口 < -COS -.21。43HW3冗(35'/ cos- TT = sin ,OCcos - TTKIsiii-r-1OUoo而y = si璐在(Q, 1)内递增,3冗3JTsin (cs < sm(sin 71题型三、三角函数的单调区间若函数 y Asin( x )(A 0,0)则(1)函数的递增区间由(2)函数的递减区间由若函数 y A sin(2k x22k x2x )中人 0,2k (k Z)决定；3.、2k (k Z)决定；0,可将函

10、数变为 y Asin(则 y A sin( (4)对于函数x)的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间；y A cos( x)和y A tan( x)单调性的讨论同上。 一兀 一例1.函数y sin 2x的单调递减区间是()3n2支A. k n,k n,k Z63式5支B. 2k 71-,2 k n,k Z12125D k ,k k Z1212sin 2x 3, 汽，汽，rC. k 71 -, k ti , k Z63分析: . 兀 一函数y sin 2x3故要求函数y汽sin 一 32x的单调递减区间,即求函数ysin 2x 的单调递增区间.35令 2k 蒯2x2k ,k Z ,解得

11、 k 软Jxk ,k Z ,2321212故函数y sin 2x 的单调递增区间为k ,k - , k Z31212兀 .5 ,一即函数y sin 2x的单倜递减区间为k, k, k Z31212例 2.已知函数 f x sin故可得f x的最小正周期T x 2、3sinxcosx 3cos2x(1)求函数f x的最小正周期及单调递增区间(2)己知f3,且 0,，求的值.分析：f xsin2 x 2、.3sin xcosx 3cos2 x1 .3一 1 cos2x 、3sin2x 1 cos2x2 2、,3sin2x cos2x 22sin 2x -26(1)因为f x2sin 2x -2,6

12、令2k一 2x 一 2k 1, k Z ,262解得 x k , k , k Z. 36综上所述：f x的最小正周期T，单调增区间为(2)因为f 3,故可得2sin 22 3,6又因为0,，则 2故可得2a上的最小值和66解得 一.3例 3.已知函数 f (x) 1 273sinxcosx 2sin2x,x R .(1)求函数f (x)的单调区间.(2)若把f (x)向右平移个单位得到函数 g(x),求g(x)在区间 一,0 62最大值.分析：(I) f x 1+2,3sinxcosx 2sin2x=3sin2x+cos2x =2sin(2x+),6由一+2k2x+- -+2k 得,262增区

13、间是： 一k ,一 k ,k Z ,36由+2k2x+-+2k 得262减区间是:(n)由(i)可得把f x向右平移一个单位得到函数 g x ,J i 寓七 =Jr.w *AT.= fp) = 2sin(2(j： - -)+-) = 2sin(2.r -)因为x ,0 ,2霄, 7F3T* a所以 2jf - -1,ft 66in ( 2/一 -)-, h>,故g x所在区间一,0上的最大值为1,2最小值为 2.题型四、三角函数的对称性(对称中心以及对称轴)关于三角函数对称性的几个重要结论: 函数y sin x的对称轴为x k (k Z),对称中心(k ,0)( k Z);2(2)函数y

14、 cos x的对称轴为x k (k Z),对称中心 (k ,0)(k Z);2kk 一k -(k Z),得x=2(k Z);kZ),对称中心为 (,b)(k Z);(3)函数ytan x无对称轴，对称中心(一7，。)"Z); 函数y Asin( x ) b的对称轴的求法：令 x ，一 k对称中心的求法：令 x k (k Z)得x= (k函数y Acos( x)b的对称轴的求法：令kx k (k Z),得x=(k Z);对称中心的求法：令 xk -k 一(k Z)得x=2(k Z),对称中心为 (22,b)(kZ);例1.已知函数f (x)cos 4x,则下列说法正确的是(6A. f(

15、x)的最小正周期为B. f(x)的图象关于直线 x 对称6C. f(x)的单调递减区间为,(k Z)24 212D. f(x)的图象关于点一,0中心对称6分析：2f(x)的周期是T 一，A错;42cos( ) 0不是最值)x不是对称轴,B错;由2k4x - 2k 得 k- 62724,k24k,24 2(k Z) , C错;12由于f( 一) 0,因此(一,0)是f (x)的对称中心，D正确. 66故选：D.变式1.已知函数y sin( x -)(0)的最小正周期为，则f(x)的图象()3A.关于点(一,0)对称 B.关于直线x 对称34C.关于点(一,0)对称 D .关于直线x 对称 432

16、分析：w - 2,求对称中心只需令 2x - k (k Z)I32x - k ,分别解出x求对称轴只需令 32变式2.函数y sin(x )的图象的一个对称中心是()433.一A. (,0) B - ( 1 ,0) C .(1 ,0) D (万,0)变式3.函数f(x) sin" cosa的图象中，相邻两条对称轴之间的距离是.55变式4.若函数y sin x 5/3cosx的图象向右平移 门单位(a 0)后的图象关于y轴对称，则 a的最小值是()A. 7-B . C . D .例5.函数y sin(2x )图象的对称轴方程可能是()3A. x - B.x C.x D.x 612612

17、题型五、函数周期性三角函数周期性的小结(1)函数 y Asin( x ) b, yA cos( x)b, y A tan( x ) b的周期分别为)|,y |Atan( x )|的周期均为(2)函数 y | Asin( x ) |, y | Acos( x)b |(b0)的周期均为(3)函数 y | A sin( x ) b | (b 0), y | A cos( x例1.已知函数f (x) cos 4x,则下列说法正确的是(A.f (x)的最小正周期为B.f(x)的图象关于直线x对称6C.f (x)的单调递减区间为k(k Z)212D.f(x)的图象关于点一,0中心对称6分析:2f(x)的周

18、期是T 一，A错;42f( 6)cos4 (-)-cos(2)0不是最值，x不是对称轴，B错;6由2k4x 2k6k得二2724k,k Z,不是224k _224一(k12Z), C错;由于f() 6一,0)是f (x)的对称中心，D正确.6变式1.函数ysin(2x -) cos(2x 5)的最小正周期和最大值分别为()A. ,1 B，& C . 2 ,1 D . 2 ,V2变式2.若f (x)sin x(sin x cosx),则f (x)的最小正周期是变式 3.若f(x) sin 3x |sin3x |则f (*)是()一， ，2 ，一，A.最小正周期为的周期函数3C.最小正周期

19、为2的周期函数B .最小正周期为土的周期函数3D .非周期函数题型六、奇偶性由y sinx是奇函数，y c0sx是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论: 若y Asin(x)是奇函数，则 k (k Z);若y Asin(x )是偶函数，则 k +-(k Z);若yAcos(x)是奇函数，则k -(kZ);(4)若yAcos(x)是偶函数，则k (k Z);k(5)右yAtan(x)是奇函数，则(k Z).例1、已知函数f x cos 2xA. 0B.22( 为常数)为奇函数，那么 cos ()C.D. 1分析:因为函数f x cos 2x(为常数)为奇函数所以f 00,代入cos 0例

20、2.已知函数f (x)sin x 一A. f x是偶函数，最大值为 1B. f x是偶函数，最大值为 2C. f x是奇函数，最大值为 1D. f X是奇函数，最大值为 2例3.将函数f(x)()A.为奇函数，在0,-上单调递减4B.为偶函数，在 -上单调递增8 8C.周期为 ，图象关于点,0对称8D.最大值为1,图象关于直线x 一对称2分析:g(x) cos 2(x -)cos2x,值域为 1,1 ,为偶函数，选项 A排除；周期2_22x 2k ,k Z , k一x k ,k Z ,故单调增区间为 2分析：由题意，函数 f(x) sin x 1 cosx 1,2则 f( x) cos( x)

21、 1 cosx 1 f(x),所以 f x 是偶函数;又由y cosx的最大值为1, f x的最大值为2；故选：B.cos 2x 一的图象向左平移 一个单位后得到函数 g(x)的图象，则g(x) 48(k ,k )(k Z),令 2k 2x 2k ,k Z , k x k ,k Z ,单调减 223区间为(k ,k)(k Z),函数g(x)在(,一)上无单调性，选项 B排除；令28 8kk2x kl,k Z , x ,k Z ,所以对称中心为(一,0),当22424k 31 k,k 一，不符合，排除C选项；令2x k ,k Z, x ,k Z,当24842k 1,x 是函数g(x)的一条对称轴

22、，选项D正确。2题型七、三角函数性质综合练习三角函数的性质(奇偶性、周期性、单调性、对称性)中，对称性尤为重要；(1对称f*奇偶性：若函数f(x)的图象关于y轴对称，则f(x)是偶函数；若函数f (x)的图象关于原点对称，则 f (x)是奇函数；对称性周期性：相邻两条对称轴之间的距离为T;相邻两个对称中心的距离为T;22相邻的对称中心与对称轴之间的距离为T;4(3)对称性 单调性：在相邻的对称轴之间，函数 f(x)单调；特殊的，若f(x) Asin( x), A 0,0函数f(x)在i, 2上单调，且0 i, 2设 max| J, 2，则 T。4x例1.已知函数f x 3sin 3.2 6(1

23、)用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象;(2)指出f x的振幅、初相、并求出对称中心分析:根据上表，画图如下:(2)由函数解析式，容易知振幅 A 3,初相 一6.x .一_由一一 k ，得x 2k k Z2 63即2k ,3 k Z为对称中心3例2.已知函数f(x)sin(2x+ )(1)列表x§235兀T83113x2 602322y3630311 ,(1)试用“五点法”回出函数 f (x)在区间一，的简图;12 12(2)指出该函数的图象可由y sin x(x R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?(3)若x l时，函数g(x) f(x) m的最小值为2,试求出函数g(x

24、)的最大值并 6 3指出x取何值时，函数g(x)取得最大值.分析:(1)先列表，再描点连线，可得简图.x1221251281211122x 032622sin(2 x)01010y1311122222(2) y sin x向左平移一得到y sin(x ), 661再保持纵坐标不变，横坐标缩短为原为的1变为y sin(2x ),2611取后再向上平移 一个单位得到 y sin(2x )一.262.1(3) g (x) f (x) m sin(2x -) m, 62Qx 6'3'2x 65"6,1 ,sin(2x -) g, 1，g(x) m, m, 2g (x) max

25、 一 m 一，当 2x 一226即x 时g(x)最大，最大值为 一262例 3.已知 f x =2sin 2x 6(1)求函数f x的单调递增区间与对称轴方程;(2)当x 0,时，求f x的最大值与最小值.2分析:(1)因为f x_冗 ，冗- 冗冗2sin2x一，由一2k冗 2x62623/口兀.兀.一一求得一ku x kjkez,63可得函数f (x)的单调递增区间为，一 冗 冗. ._冗 k冗由 2x k /，k Z ,求得 x , ke Z.6232故f (x)的对称轴方程为x冗k ,其中ke乙32，一、i, 一兀(2)因为0 x ，所以2冗 5冗2x - ，故有661.八一 sin 2

26、x2一.，. 冗冗一. 一故当2x 即x=0时，f (x)的最小值为-1,66、，,冗 冗冗当2x 即x 时，f (x)的最大值为2.623例4.已知函数f(x)sin2 x . 3sin xcos x.444(1)求f(x)的最大值及此时x的值;(2)求 f(1) f (2) f (2019)的值.分析:(1) f(x)11.3 .cosx sin x2 22221 - sin x 一226可得当sin x 一 = J即一x 2k时，f (x)取最大值,262624-3x 4k -(k z)时，f(x)max -32(2)函数的周期t 4,可得 f(1) - -, f(2)22,3f(4)f(4k 1) 1 , f(4k 2)22f(4k 4) 2,f(1) f(2)f (2019)f(0) f (1) f (2)f (2019) 505 2 1010例5.已知函数f(