立体几何专题复习

1、立体几何专题复习编者注：本专题中的练习题都是从最近全国各地的模拟考试题中选出来的，具有很高的训练价值,请同学们认真完成。1.如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，(1)在AD上有一点P,当EA为多少时，使二面角 D1-PC-DPDDiCi的大小等于60?(2)在的条件下，求直线 A1B1与平面CD1P所成的角.解：(1)设 PD=x, AB=1 ,作 DEL PC 于 E,可得2x ，比值为,2-1.(2)30 : 12 分2.如图，将长 AA' =&&,宽AA 1=3的矩形沿长的三等分线处折叠成一个三棱柱，如图所示:A九eB/ L&_£1 3

2、 晨33、33 2 2412分(1)求平面APQ与底面ABC所成二面角的正切值;(2)求三棱锥A1-APQ的体积.解：(1)依题意知三棱柱 ABC AiBiCi是正三棱柱，且侧棱 AA 1=3.底面边长为 工，BP=1 , CQ=2 ,延长QP交BC的延长线于点 巳 连结AE.是 AE=3 ,在 4ACE 中，AC= V3 , CE=2BC=2 M , / ACE=60° 于则 AE ±AC 于 A, QA ±AE.所以/ QAC为平面APQ与平面ABC所成的锐二面角的平面角是 tanQAC= QCAC2333即面APQ与面ABC所成锐二面角的正切值为2.332

3、(2)连AF, A1AP的面积为一43 , 33点Q到平面A1AP的距离为-,VA1 APQ VQ AAP3.如图，已知四棱锥 P ABCD的底面为直角梯形， AD/BC, /BCD=90 , PA=PB, PC=PD.(1)证明：CD与平面PAD不重直；(2)证明：平面 PABL平面 ABCD ;(3)如果CD=AD +BC,二面角 P- BC A等于60°,求二面角 P -CD-A的大小.(1)证明：若 CD,平面PAD,则 CDPD,2 分由已知 PC=PD ,得/ PCD=Z PDC<90 °,这与CDPD矛盾，所以 CD与平面PAD不垂直.3分(2)证明：取

4、 AB、CD的中点E、F,连接PE、PF、EF, 由 PA=PB , PC=PD,得 PEXAB , PF± CD.5 分，EF为直角梯形的中位线. EFXCD,又 PFA EF=F.CD，平面 PEF.6 分由PE 平面PEF,得 CDXPE,又ABPE且梯形两腰 AB、CD必相交，PEL平面ABCD.7分又PE 平面PAB,.平面 PABL平面 ABCD.8分(3)解：由(2)及二面角的定义知/ PFE为二面角PCD A的平面角，9分作EG，BC于G ,连PG,由三垂线定理得 BCXPG,故/ PGE为二面角 P-BC-A的平面角.10分即/PGE=60°,由已知，得

5、EF=- (AD+BC)= -CD.又 EG=CF= -CD, 211分2分平面 D1DCC1,3分EF=EG,易证得 RtAPEFRtAPEG./ PEF= / PGE=60° 即为所求.12 分4.在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，AB=2 , BB1=BC=1 , E 为 D1C1 的中点，连结 ED、EC、EB和DB.(1)求证：平面 EDBL平面EBC;(2)求二面角 EDB C的正切值；(3)求异面直线EB和DC的距离.证明：在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，AB=2 , BB1=BC=1 , E 为D1C1的中点. . DD1E为等腰直角三角形，/ D1

6、ED=45° .同理/ C-EC=45° . ./ DEC=90° ,即 DEL EC.在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，BCL平面 D1DCC1,又 DE BCXDE.又 ECn BC=C, DE，平面 EBC. 平面DEB过DE, 平面 DEB，平面EBC.(2)解：如图，过 E在平面 D1DCC1中作EOXDC于O.4分DicLB44在长方体 ABCD A1B1C1D1中，,面 ABCD，面 D1DCC1, EOXW ABCD.过O在平面 DBC中作OFLDB于F,连结 EF, EFXBD./EFO为二面角E DBC的平面角.利用平面几何知识可得OF

7、= L , OE=1 , tanEFO=万. 5(3)解：E在D1C1上，B在AB上，在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，AB II D1C1, EB 在平面 ABC 1D1 内.又 DC / AB , .DC/平面 ABC1D1.10分BCC1B1,连结BC1，在平面BCC1中，过C直线DC到平面ABC 1D1的距离就等于异面直线 DC和EB的 距离.在长方体 ABCD A1B1C1D1中.平面 ABCiDi,平面 作 CH± BC1._22 .CHL平面ABC1D1, CH为所求的距离.12分与ADQP所在平面垂直,Q落在, PH_ BC?CC1 CH=6.如图，矩形 AB

8、CDBC1BC 上，设 AB=1 , PA=h, AD=y.z_7°一Q(1)试求y关于h的函数解析式；(2)当y取最小值时，指出点 Q的位置，并求出此时 AD与平面PDQ所成的角;(3)在条件(2)下，求三棱锥 P ADQ内切球的半径.解：(1)显然 h>1,连接 AQ,二.平面 ABCD，平面 ADQP , PAXAD , PAL平面 ABCD.由已知 PQXDQ,AQXDQ, AQ=y2-h2.,h2 11 . RtAABQRtAQCD, CQ= h h 2 1 ,DQ CQh一，即AQ AB ,y2 h2(2)y=h2(h2 -y= r-h(h>). h2 11

9、) 12-1 c h2 1 22 1h2 16分11.于是由当且仅当*h2 1.，即h *；2时，等号成立.此时CQ=1,即Q为BC的中点.h2 1DQL平面 PAQ,知平面 PDQL平面PAQ, PQ是其交线，则过 A作AE，平面PDQ,丁./ ADE就是AD与平面PDQ所成的角.由已知得 AQ= J2 , PQ=AD=2 ,AE 1 . AE=1,sinADE= AD ,/ADE=30 .r=V P-ADQ .(3)设三棱锥P-ADQ的内切球半径为 r,则】(Sapad+Sapaq+Sa pdq+Saadq )31/ Vp-adq = Sa adq3PA3Sa paq=1,Sapad =S

10、a qad=1,Sapdq=2.7.已知 ABCA1B1C1为正三棱柱，D是AC的中点.(1)证明：ABi/平面 DBCi.(2)若 ABi,BCi, BC=2.求二面角 DBC1C的大小；若E为AB 1的中点，求三棱锥 E-BDCi的体积.证明：连结CB1交BCi于O,连结OD.OD / AB 1 , OD 在面 DBC 1 内. . AB 1 / 平面 DBC 1.12分(2)解：ODBCi,又。为BC1中点,DO=DC i.，CCi = 42 .过。作OM，BC1交BC于H ,则OH=厂,/HOD2为所求.3BH= - , DH"cos告'4 VE BDCiV AiEC

11、1D工V一 vAi BDCi21V_ v B A1DC12；38 .BCD=90 ，/CBD=30 .9 .正三角形 ABC与直角三角形 BCD成直二面角，且/(1 )求证：ab ±CD;(2)求二面角 D-AB-C的正切值。(3)求异面直线 AC和BD所成的角。解答(1)二平面 ABC，平面 BCD, /BCD=90 0,CD，平面 ABC. AB 平面 ABC, .-.CDXAB.(2)过点C作CM，平面ABC于M,连DM,由(1)知CD，平面ABC,.-.DM ±AB. / CMD 是二面角 D-AB-C 的平面角.设,CD=1,由/ BCD=90 0,ZCBD=30

12、 0一 3.一/ABC是正三角形，CM=2CD 2，tan/CMD=CM 3.故二面角D-AB-C的正切值为(3)取三边AB,AD,BC 的中点 M .N .。，连AO,NO,MN,OD.则OM平行且等于 AC,MN 平行且等于21一 BD.2直线OM和MN所成的锐角或直角就是直线AC和BD所成的角力ABC是正三角形，且平面 ABC，平面 BCD,AO,平面 BCD, AOD是直角三角形，-1一，ON=AD,又 CD，平面 ABC,2AD= . AC2 CD2.3 1在OMN中,OM=,MN1,ON 1,cos NMO IMO 吏 MN 43，直线 AC和BD所成角为arccos410.如图，

13、四棱锥 P-ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形且与底面 ABCD垂直,ADC 60且ABCD为菱形.(1)求证：PAX CD;(2)求异面直线 PB和AD所成角的余弦值;(3)求二面角 P-AD-C的正切值.解(1)证明，取CD中点O,连OA、OP,面 PCD，面 ABCDPOXCD .-.PO±M ABCD 即AO为PA在面ABCD上的射影x、分V、 z轴建立坐标系PB (,.3,2, .3)AD ( ,3,1,0)cos PB, ADPB ADIPB| |AD |,34331104101- PB和AD所成角的余弦值为 411.底面(3)由 O 引 OGLAD 于 G,连

14、PG,贝U PGXAD ,/PGO为二面角 PADC为平面角 如图，已知四棱锥PABCD中，底面四边形为正方形, ABCD , E为PC中点。他且平面PDCX(1)求证：PA/平面EDB。求证：平面 EDBL平面PBC。求二面角D PB C的正切值。侧面PDC为正三角形,A又在菱形 ABCD中Z ADC=60 , O 为 CD 中点AO XCD .PAL CD(2)以OA、OC、OP所在直线分别为则 A(. 3,0,0), D(0, 1,0),P(0,0, ., 3), B( . 3,2,0)(1)证明：连AC交BD于O,连EO。由四边形ABCD为正方形：得O为AC中点。在APAC中，由中位线

15、定理得 EO / PA又EO 平面上 EDB, PA0平面 EDB, .PA/平面 EDB(2)证明：由平面 PDCL平面 ABCD , BCXDC得BCL平面PDC又 DEC 平面 PDC,贝U BCXDEE为PC的中点，4PDC为正三角形 DEXPC, BCn PC=CDE，平面 PBC又DE 平面EDB平面EDB，平面PBC(3)作 EFXPBT F,连 DF,由DEL平面PBC及三垂线定理得 DFPB故/ DFE是所求二面角的平面角设BC=4 ,贝U PC=4,在等边4PDC中，易得DE=2 J3在 RtAPEF 中，/ EPF=45°PE=2,可求出 FE= x/2/ DE

16、 23 小 . tan/ DFE= . 6FE 、2即所求二面角的正切值为 .6PO 3Rt PGO 中,tan PGO 2GO .3T即二面角PADC的正切值为212.如图，已知四棱锥 P-ABCD的底面是直角梯形, 侧面PBCL底面ABCD.(1) PA与BD是否相互垂直，请证明你的结论 (2)求二面角PBDC的大小.(3)求证：平面 PAD，平面PAB. 12/ ABC= / BCD=90° , AB=BC=PB=PC=2CD ,(1) PA与BD相互垂直.证明如下：取BC的中点O,连结AO,交BD于点E;连结 PO.1 分 PB=PC,POXBC.又平面 PBCL平面 ABC

17、D ,平面PB平面 ABCD=BC , .PO,平面 ABCD：2 分在梯形 ABCD 中，可得 RtAABORtABCD ,/ BEO= / OAB+ / DBA= / DBC+ / DBA=90 , 即 AO XBD.PAX BD. 4分(2)连结 PE,由 POL平面 ABCD , AOXBD ,可得 PEXBD , 5 分，/PEO为二面角 PBDC的平面角.6 分、一.5设 AB=BC=PB=PC=2CD=2 a,贝U在 RtPEO 中，PO=*3aOE a, ''5PO tan PEO 155.，二面角 P BD C 为 arctan J15.8 分EO（3）取PB

18、的中点N,连结CN,由题意知：平面 PBCL平面PAB,则同“（1） ”可得CNL平面PAB. 9分取PA的中点M,连结DM、MN ,则由MN/AB/CD , MN= 1 AB=CD ,得四边形 MNCD为平2行四边形. .CN/DM. 10分 ，DM，平面 PAB.11分平面PAD，平面 PAB. 12分13.如图，已知正三棱柱 ABC-A1B1C1, D是棱AC的中点.(I )证明：AB1 /平面 DBC1；(II)若 AB11BCb AC = 2,求二面角 D BC1 C 的大小.证明（I ）连结 B1C与BC1交于E点，连结DE.ABCA1B1C1是正三棱柱，四边形BB1C1C是矩形，

19、B1E = EC,. AD = DC,DE / AB1, DE 平面 DBC1, ABT平面 DBC，AB1/平面 DBC1.（6 分）解（n）过 D作DFBC于F,连结FE, ABCA1B1C1是正三棱柱，平面 ABC,平面 BB1C1C. DFXBC, DF 平面 ABC, .DFL平面 BB1C1C,EF是DE在平面BB1C1C内的射影， I AB11BC1 , AB1 / DE,DEXBC1,EFXBC1, / DEF就是二面角 D- BC1-C的平面角.ABC 是正三角形，ACB = 60 °,. AC = 2,DC = 1（10 分）在 RtA DFC 中，DF = DC

20、sin60 = DEXBC1, E 为 BC1 中点, l CiD = BD =V2 , -CiC = 22 , CiB =j6,在 RtDECi 中，de =Jgd2 CiE2 警 .sin/DEF =-DF 旦, . / DEF = 45 ° DE 2二二面角DBCiC的大小为45°（14分）14.如图，已知三棱锥 PABC, / ACB=90° , CB=4 , AB=20 , D 为 AB 中点，且 PDB 是正三角形，PAX PC.(I )求证：平面 PAC,平面 ABC ;(n )求二面角 DAP C的正弦值；(出)若M为PB的中点，求三棱锥 M BC

21、D的体积.解（I ）由已知 D是AB的中点，4PDB是正三角形，AB=20 , i _ 一则有 PD -AB i0.2.所以 AP ±PB.又 APPC, PB PC P.则AP，平面PBC.BC 平面 PBC, .-.APXBC.由 AC，BC, APn AC=A ,有BC,平面PAC. BC 平面ABC. .平面PAC,平面ABC.5 分（n）由已知 PAX PC,又由（I）知 PAX PB,所以/ BPC是二面角 D AP C的平面角.又由（I）知 BC,平面PAC,则 BCPC. sin BPC 型 2 10分PB 5.（出）D 为 AB 中点，M 为 PB 中点，DM /-

22、 PA 且DM5J3 .2，10广.I4分C 900 ,侧棱与底面所成的角为由(I)知 PA，平面 PBC,，DM，平面 PBC.S bcm S PBC 2 y21.所以 VM BCDVD BCM 5Y3 2V 212315.已知斜三棱柱ABC AB1C1的底面是直角三角形,(o0900)，点B在底面上的射影 D落在BC上求证:AC 平面BB1C1C(2)当 为何值时,AB1 BC1,且使D恰为BC中点41(3)若arccos-,且 AC=BC=AA 1 时，求二面角 C1-AB-C 的大小3: (1)Bid 平面 ABC , AC 平面 ABCB1D AC,又 AC BC, BC BiD=D

23、AC 平面 BBiCiC(2)AC 平面BB1C1C，要使AB1 BCi ，由三垂线定理可知，只须B1C BCi平行四边形 BBiCiC为菱形，此时， BC=BB 1又 B1D BC,要使D为BC中点，只须 BiC= B1D,即 BBiC为正三角形、BiBC= 60 0B1D 平面 ABC ,且D落在 BC上，BiBC即为侧棱与底面所成的角，故当600时，AB1 BCi且使D为BC中点。(8')(3)过Ci作CiEXBC于E,则CiE,平面ABC，过E作EFXAB于F,过CiF,由三垂线定理得：CiFAB ,CiFE是所求二面角 C1 ABC的平面角， (10分)设 AC=BC=AA

24、1=a在 RtBCE 中，由/ CiBCiE=12 2arccos, CiE=a,33在 RtABEF 中，/ EBF=450,ef-bcQ23a,CiFE=45°,故所求的二面角 CiABC为45°。(12分)16.如图，正三棱柱 ABCA1B1C1的底面边长为 a,点 M在边BC上，AAMCi是以点 M为直角 顶点的等腰直角三角形.(I )求证：点 M为边BC的中点；(II)求点C到平面AMCi的距离；(出)(理)求二面角 MACi C的大小.解：（I）AMCi是以点M为直角顶点的等腰直角三角形，- AM ±CiM ,且 AM=C iM.在正三棱柱ABCAiB

25、iCi中，CC底面ABC,（理）2'（文）3'CiM在底面的射影为 CM , AM ±CM.又底面ABC为边长是a的正三角形，点 M为BC的中点.（理）4'（文）6' （n）过点 C 作 CHCiM 于 H,由（i）知，AM，CiM ，且 AM，CM ,AM，平面 CiCM ,又 CH 平面 CiCM，.二 AM ± CH ,因此，CHIB CiAM ,（理）6'（文）8',.3i2“ 2-： 2由（i）知 CiM=AM= a,CM a, CiCCMCM a.222 CM CiC 6由 CH CiM=CM CiC,得 CH=a

26、,CiM 6所以点C到平面AMC i的距离为,6a.6（出）作CKXACi K,连结KH ,因为CH,平面AMCi, HK为CK在平面AMC i的射影, 所以KHXACi,所以/ CKH为二面角 MACi C的平面角 （理）i0'在 RtACCi 中，由 CK ACi=CiC AC,得CK'222a ( 2 a)旦所以，在 RfCHK,sin CKH 3CH 一 2CK 2所以/ CKH=45，二面角MACiC的大小为45。. （理）i2'i7.如图，在三棱柱 ABCAiBiCi中，四边形 AiABBi是菱形，四边形 BCCiBi是矩形，AB ± BC,CB=

27、3, AB=4 , / AiAB=60° .（I）求证：平面 CAiB,平面AiABBi（n）求直线 AiC与平面BCCiBi所成角的正切值;（出）求点Ci到平面AiCB的距离.2 分,3 分.AiD，平面BCCiBi ,故/ AiCD为直线 AiC与平面 在矩形 BCC iBi 中，DC= <?3 ,因为四边形 AiABB i是菱形，/ AiAB=60° , CB=3 ,AB=4tanAiCDAiD 2.32,39CD J3 i3（m） BiCi / BCi ,.BiCi/平面 AiBC,7分分BCCiBi所成的角.5分二Ci到平面AiBC的距离即为 Bi到平面Ai

28、BC的距离连结ABi , ABi与AiB交于点 O,二.四边形 AiABB i是菱形，BiO± AiB.平面 CAiB,平面 AiABB i,BiO,平面 AiBCBiO即为Ci到平面AiBC的距离.i分. BiO= 2v'3 ,证（I）因为四边形 BCCiBi是矩形BCXBBi, 又. ABLBC, . BCL平面 AiABB i, , BC 平面 CAiB, 平面 CAiB,平面 AiABB i. BC，平面 AiABB i, BCXAiD解（n）过 Ai作AiDXBiB于D,连接 DC,.Ci到平面AiBC的距离为2J3.i8.如图，正四棱锥 P-ABCD中，AB=2

29、,侧棱PA与底面ABCD所成的角为60°.（i）求侧面与底面所成的二面角（锐角）的大小；（2）在线段PB上是否存在一点 巳使得AE ± PC,若存在，试确定点 E的位置，并加以证明，若 不存在，请说明理由./ PAO=60解：（i）如图O为底面ABCD的中心 则/ PAO为PA与底面所成的角 AO 拒 PO V6,pa（2分）过O作OM LBC于M ,连PM由三垂线定理得 BCXPM/ PMO为侧面与底面所成二面角平面角（4分）. OM=i , PO= J6tan PMOM6即侧面与底面所成角为arctan 6 6 6分(2)如图建立空间直角坐标系则 A(0,、.2,0)C

30、(0, .2,0),P(0,0, .6), B(. 2,0,0)假设在PB上存在一点E,满足条件，设E分PB的比为则 E(2-,0,-6-) 9分11AE (, .2,), PC (0, -2, .6)1 1AE PC, AE PC 02 -6- 0解得21 r存在点E且点E分PB的比为2时,满足AEPC (12分)19 .如图：已知四棱锥 P-ABCD的底面为直角梯形，AD/BC, / BCD=90 , PA=PB, PC=PD.（I ）证明 CD与平面PAD不垂直；（n）证明平面 PABL平面 ABCD ;（出）如果 CD=AD+BC ,二面角 PBCA等于60°,求二面角 P-

31、CD-A的大小.解：（I）若CD，平面 PAD,贝U CDXPD,由已知 PC=PD ,得/PCD=/PDC 90 , 这与CDPD矛盾，所以 CD与平面PAD不垂直.（II）WAB、CD 的中点 E、F,连接 PE、PF、EF,由 PA=PB, PC=PD,得 PEXAB ,PF± CD,EF为直角梯形的中位线， EFXCD,又PFA EF=F. CD，平面PEF,由PE 平 面PEF,得CDXPE,又AB LPE且梯形两腰 AB、CD必交，. PEL平面 ABCD，又PE 平 面PAB,.平面 PABL平面 ABCD（出）由（II）及二面角的定义知/ PFE为二面角P-CD-A的

32、平面角作 EGLBC于G,连PG,由三 垂线定理得BCXPG,故/ PGE为二面角P-BC-A的平面角.即/ PGE=60° ,由已知，得 EF -（AD BC） -CD ，又 EG=CF= 1 CD. . . EF=EG,易证得222Rt/PEFRtPEG，/ PEF=/PGE=60° ,即为所求.20 .如图，在棱长为1的正方体A1C中,E、F分别是B1C1、C1D1的中点。（I）求证 B、E、F、D共 面；（II）求点 A1到平面BEFD的距离；（出）求直线A1D与平面BEFD所成角的大小。(I)由正方体上下底面及相对棱分别平行,知过相对棱 BBi、DDi的平面 BB

33、iDDi上下底面的两条交线平行BiDi / BD因为E、F分别是BiDi和CiDi的中点所以 EF / BiDi,于是 EF/ BD故B、E、F、D共面；(II)过点Ai作平面BEFD的垂线，垂足为H,则点Ai到平面BEFD的距离即为AiH连结AiB、AiE、AiF、BF ,在等腰梯形 BEFD中，可算得 BD= J2. 2.5EF= 一， BE= ,梯形的高hi8 BE22BD EF3< 2一 - i 故 S»A BEF =2EF h' 3 ,而 S AEF8 i由VAiBEFV B AiEF日口 i即一Sa BEF3AiH= i S aef BBi 得 AiH BB

34、i=i故点A i到平面BEFD的距离为i ;8'（山）连名AiD、DH ,则 AiD= J2 ,由（n）知 AiH=i且/ AiDH是直线 AiD与平面BEFD所成的角人 /AiHRtAiDH 中，sin/AiDH=AiD，故/ AiDH=45°。i22i.如图，正三棱柱 ABC ABiCi的底面边长为a,点M在边BC上， AMCi是以点顶点的等腰直角三角形.(I )求证点M为边BC的中点；(n)求点C到平面AMCi的距离；(出)求二面角M ACi C的大小.解：(I ) Q AMCi为以点M为直角顶点的等腰直角三角形,AM C1M 且 AM CiM .M为直角CiCQ正三棱

35、柱 ABC A BiCi,CCi 底面ABC且底面ABC为正三角形GM在底面内白寸影为CM , AM CMQ底面ABC为边长为a正三角形，点M为BC边的中点.(n)过点 C作CH MC1,由(I)知 AMC1M 且 AMAM 平面CiCMQ CH在平面C1CM内，CH AM ,由（I）知，AM C1MCMla 且 CCi 2CC1CHC1C CMC1M.21a a223一 a2点C到平面AMCi的距离为底面边长为(m)过点C作CIAC1于I,连HI ,Q CH 平面 CiAM ,HI为CI在平面CiAM内的射影,HI AC，CIH 是二面角 M AC11M在直角三角形AC, CICC1 ACA

36、C13a a2a2 ( 22 a)2sin CIHCHCI6-a,3a3CIH 450,面角MAC1C的大小为45°.12分A (0, 0, 0),B (a, 0, 0),D (0, d, 0), C (2a, d, 0), P (0, 0, p),E (a,是 BE= (0,(0, d, 0), AP= (0, 0, p)。设 BE=X AD+w AP ,贝UP、一)二入(0, d, 0) +(0, 0, p) = (0,入 d.BE=且BEaD：国, 22平面PAFDAD、AP为平面 PAD的一组基向量BEll平面 PAFD匚一“ d P、 BE , DC= ( 0),/2 2(

37、2a, 0, 0)=0, BE DP= (0,P)=p=d即BE,平面PCD时,p=d,即3|ad|(3)当 PA=AD=CD 号,2a=d, D(0, 2a,0), C(2a, 2a,0), E(a_a,_a)BD= (a,2a, 0)22.四棱锥 P- ABCD 底面为一直角梯形，AB LAD, CD LAD, CD=2AB , PAL平面 ABCD , E为PC的中点。(1)证明：BE|平面PAD;PA(2)当BE,平面PCD时，求二1的值；AD(3)假定PA=AD=CD，求二面角 EBD C的平面角的大小。解：以A为原点，AB , AD , AP所在直线为x、v、z轴建立平面直角坐标系。设|AB|=a >0,|AD|二d >0, |AP|=p>0,则 |CD|=2a,由题意得0),而 BF=BA+AF设 FCBD, BF=kBD=k (a, 2a, 0) = (ak, 2ak, .AF=BFBA= (ak, 2ak, 0) ( a, 0, 0) = (a ak, 2ak, 0)F (a-ak, 2ak, 0)设点 G (a aki, 2aki, 0) C BD