考研数学二真题及答案

1、2015年 考 研 数 学综上所述，本题正确答案是C一、选择题：(18小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的(1)下列反常积分中收敛的是(A) 2+OO 1_?+ OO(C)£储？1一?(B)(D)+ 8 ?!?''+ OO ?+ F?+.? 【解析】题干中给出4个反常积分,分别判断敛散性即可得到正确答案。+ OO 1 _+002 局?？ 2v?j = +s ；才8 ? +81-2°°+ ?% +?/?1)(?2?)=2?2弋2+ CO 1+OO 1. .2+0°；+ -?e + ？(？?？n?

2、(?r+?) =2?2?2 )+0°； 8 N? - + 00 ?-? = -?*?| + °° +2 ?222+ oo _ no _ _ _ _?-? ?=2? - ?|+°° = 3?,因此(D)是收敛的。综上所述，本题正确答案是Do【考点】高等数学一一元函数积分学一反常积分(2)函数？?？= lim(1 +(A)连续,*? ? . 刀尸在(-°°,+ 00)内(B)有可去间断点(C)有跳跃间断点(D)有无穷间断点?2【解析】这是“厂”型极限，直接有?= lim (1 + ?旷?fo?2“？?、=?m- 旃(1+ 不-1

3、)?im e ?fo?=?笠？? 0),?在?= 0处无定义,且!m0?= 11m?= 1,所以？?= 0是？?的可去间断点，选 R综上所述，本题正确答案是B。【考点】高等数学一函数、极限、连续一两个重要极限(3)设函数？?？= ?cos/, ?> °，( *> 0,?> 0).若？?(？?在？?= 0, ?w 00处连续，则(A) %- B> 1(B)0 < %- B W1(C) %- B> 2(D)0 < ?Q 尸2【答案】A【解析】易求出?-1 ?T? = "cos： +再有?+?(0) = xlim+ "FB ?B

4、-1sin', ?> 0, ?0, ?W 0，=lim ? -1cos=才？h：， 0tx-0+?B不存在，%W1,?彳。)=0于是，？?(0)存在？> i,止匕时？?(0) = 0. 当%> 1 时，lim ? -1 cos9 = 0,limx-0B- 1 > 0,B- 1 <0,10,-? b -1sin 二=/七人?B不存在 , %-因止匕，？T?在？?= 0连续？- B> 1。选A【考点】高等数学一函数、极限、连续一函数连续的概念，函数的左极限和右极限 设函数？?(?客(-8,+ 8)内连续，其二阶导函数? (?羽图形如右图所示,则曲线？?=

5、 ?(?劭拐点个数为(A) 0(B)(C) 2(D)3【解析】?(?)(- s,+ s)内连续，除点？?= 0外处处二阶可导。？?=?(?)可疑拐点是? (?= 0的点及？ (?汴存在的点。?(?的零点有两个，如上图所示，A点两侧？(?恒正，对应的点不 是？?= ?拐点,B点两侧？?(?异号，对应的点就是?= ?的拐点。虽然f'(0)不存在，但点x =。两侧f' (x)异号，因而(0,f(0)是y = f(x) 的拐点。综上所述，本题正确答案是Co【考点】高等数学一函数、极限、连续一函数单调性，曲线的凹凸性 和拐点 设函数？?(办满足？?+ ?马=?- ?,则?？与?？ 一1依

6、次是 ? j a =1? J 心V =1 V =11 _ _ 1(A)2,0(B)0,211(C)- 2，0(D)0,-；【答案】D【解析】先求出f( u w)产 x + y, x = 令_ y ?1+ V11 V?f因此才1= 2p(V =1(1+ V?,21+ v,2、22mp, vM- (1 v )2 / 2( (1+ v 2 -1+ v - W (1+ V )"广。?f? J 心=1V =12心2(1+ V 21(i,i)综上所述，本题正确答案是Dox， y =【考点】高等数学-多元函数微分学-多元函数的偏导数和全微分(6)设D是第一象限中由曲线2? 1,4? 1与直线？?=

7、 ?=止?围成的平面区域，函数f(x, y)在D上连续，则？ D f(x,y)dxdy =兀1(A) A d 0 尸120 f(r cos 0 r sin 0 >dr4 2sin 2 0兀1(B) d 0s1n20 f(r cos 0 r sin 0 1dr4V2sin2 0兀1(C) Jf d 0 /in120 f(r cos 0 r sin 0 )dr4 2sin 2 0兀1(D) jf d 0s1n2e f(r cos 0 r sin 0 dr4 V2sin2 0【答案】B【解析】D是第一象限中由曲线2xy = 1,4xy = 1与直线y = x,y = v3x围成的平面区域，作极

8、坐标变换，将？D f(x,y)dxdy化为累次积分。D的极坐标表示为- < 0 < - ,1< 0 <1,34vsin 2 0v2sin 2 0因此? D f(x,y)dxdy = d 0 广产 f(r cos 0 r sin 0 >dr4 V 2sin2 9 综上所述，本题正确答案是B。【考点】高等数学一多元函数积分学一二重积分在直角坐标系和极坐 标系下的计算。1111设矩阵A=1 2 ?, b= ?。若集合Q = 1,2,则线性方程 ? ? 1 4 ?有无穷多解的充分必要条件为(A) ?& ?&(B)? ?6 Q(C) ?6 Q ?(D)?6

9、Q ?6 Q【答案】D【解析】Ax = b有无穷多解?r(A|b) = r(A) < 3|A|是一个范德蒙德行列式，值为(a- 1)(a- 2),如果a?Q,则网"r(A) = 3,此时Ax= b有唯一解,排除(A),(B)类似的，若d?Q,则r(A|b) = 3,排除(C)当a 6 Q d 6 Q时，r(A|b) = r(A) = 2, Ax = b 有无穷多解综上所述，本题正确答案是D。【考点】线性彳t数-线性方程组-范德蒙德行列式取值，矩阵的秩，线性 方程组求解。(8)设二次型？?(?？,？?)在正交变换？?= ?的标准形为2y12 + y22 - £ 其中？?

10、= (?),若 Q=(?,- ?»在正交变换?= ?的标准形为(A)2y12 -y22+ y32(B)2y12+y22 -v3(C)2y12-y22- y32(D)2y12+y22+y32【答案】A【解析】设二次型矩阵为A则2 0 0?= ? 0 1 0 0 0-1可见？?？?都是A的特征向量，特征值依次为2,1,-1，于是-?M是A的特征向量，特征值为-1 ,因此200?= ?0-10001因此在正交变换？?= ?的标准二次型为2y12 - y22+ y32综上所述，本题正确答案是A。【考点】线性代数-二次型-矩阵的秩和特征向量，正交变换化二次型为标准形。二、填空题：(914)小题

11、，每小题4分，共24分。?= ? ?初？、 : . . , I I及 ?= 3?+ ?，贝也|?=1 =【答案】48【解析】由参数式求导法? ?历=:?3?3+3?2-T- = 3(1 + ?2?)21+?2再由复合函数求导法则得?名？?1k 赤?3(1 + ?%2=赤?3(1 + 党2砺?= 6(1 + ?)?2?=12?(1+ ?)2,?吊？诉|?=1=48综上所述，本题正确答案是48。【考点】高等数学-一元函数微分学-复合函数求导(10)函数？?？= ?2?在?= 0处的 n 阶导数？?(0)=【答案】？?Q 1)(?22 (?= 1,2,3,?)【解析】解法1用求函数乘积的？阶导数的莱

12、布尼茨公式 在此处键入公式。?(?= 丫?：。？?”?)?"?-?)其中？?= ?；，注意(？?)?= c= 0(?= 2), ?= ?当，于是 ?!?-?!'' ' 1?=0'-2?(0) = ?2?(2?尹?-2) |?=0 = ? 1) (?)2 (?A 2)?(0) = 0因止匕？?(0) = ? 1)(?)2 (?= 1,2,3,?)解法2利用泰勒展开?= ?2?= ?= ?少=0竺詈? o?+2 _?=0?T?= 与?=2由于泰勒展开系数的唯一性，得?-2 2?-2 2 ? (?-2)!'-?(0)(?-2)!?!可得？?(0) =

13、 ? 1)(?)2 (?= 1,2,3,?)综上所述，本题正确答案是？?？ 1)(?)2 (?= 1,2,3,?)【考点】高等数学一一元函数微分学一高阶导数，泰勒展开公式(11)设函数？?雁续，M?= ('?(?)?：1) = 1, 0 (1) = 5，则?1)=【答案】2?夕【解析】改写©(?= ? ?(?)?变限积分求导法得一？?C 一 6(? = ? ?(?)?)?2?= ? ?(?)?)0 / / t/0 ,/由M1) = 1 =，？(？)？? 0 (1) =，?(?)?1) = 1 + 2?1)可得？?1) = 2综上所述，本题正确答案是2【考点】高等数学一一元函数

14、积分学一变限积分函数的性质及应用(12)设函数y = y(?是微分方程？ + ? - 2?= 0的解，且在？?= 0处y(?取得极值3,则y(?二【答案】？?？ + 2?【解析】求y(?归结为求解二阶常系数齐次线性方程的初值问题? + ? - 2?= 0y(0) = 3, ?夕0) = 0由特征方程岸+入-2=0可得特征根力=-2 ,不=1,于是得通解？?= ?-2? + ?又已知1,?= 2?+?= 3 ? = -2?1 + ? = 0 .T =综上所述，本题正确答案是？?？ + 2?【考点】高等数学一常微分方程一二阶常系数齐次线性方程(13)若函数？?= ?(?西方程？?+2?+3?+ ?

15、1 确定，则dz|(0,0)二【答案】-1?2?【解析】先求？?(0,0),在原方程中令？?= 0,?= 0得?3?= 1?0,0) = 0方程两边同时求全微分得?+2?+3?,? 2? 3?+ ?(?令?= 0, ?= 0, ?= 0 得dx+ 2dy + 3dz|(0,0) = 0一.12dz|(0,0)= - -?-? 2?综上所述，本题正确答案是-1?:?【考点】高等数学-多元函数微分学-隐函数的偏导数和全微分(14)设3阶矩阵A的特征值为2,-2,1 , ?= ?- ?+ ?其中E为3阶单位矩阵，则行列式|B尸【答案】21【解析】A的特征值为2,-2,1,则B的特征值对应为3,7,1

16、所以|目=21【考点】线性代数一行列式一行列式计算线性代数一矩阵一矩阵的特征值三、解答题：1523小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤。(15)设函数？?？= ?+ ? ?+ ? = ?若？?与?在？?0时是等价无穷小，求？?的值。【解析】利用泰勒公式? = ?+ ?+ ? + ? 、， I ! I=?+ ? 1?+1?+ ?) + ?2？ + ?)=(1 + ?+(?- 2)? + ? + ?)当？?0 时，？?7?,贝u?= -1, ?= - 1,?= - 1【考点】高等数学一函数、极限、连续一无穷小的比阶，泰勒公式(16)设A>0, D是由曲线段？?= ?我天2

17、)及直线y = 0,?=；所围成的平面区域，？?,？?分别表示D绕？轴与绕？轴旋转所成旋转体的体积。若？?= ?,求A的值【解析】?1-cos 2? ?吊?= ?002 ? sin ? = ?02由A>0可得?= 2? *?=-2 兀 A g?:os?=-2 兀 A(?- 0 ?=2?又？ = ? 可得A=8Tt【考点】高等数学一一元函数积分学一定积分的应用(17)已知函数？?刑足?= 2(? 1)?璃?0) = (? 1)?0,?= ?+ 2?求?？的极值。【解析】由僦?？= 2(?+ 1)? 得?(?= (?+ 1)2?+ ?(?)又已知?(?0) = (?+ 1)?可得?+ ?=

18、(?+ 1)?得？= ? ?从而?(?= (?+ 1)2?+ ? ?对？积分得？?？= (?+ 1)2?+ (? 1)?+ 少(y)又？?0, ?= ?+ 2? 所以-y) = 0所以？?？= (?+ 1)2?+ (? 1)?于是?(?= (2?+ 2)? ?= (?+ ?+ 2?+ 2)?=2?令?= 0, ?(?= 0得驻点(0,-1),所以A皿0,-1 )=1 B=?痢0,-1 ) = 0C*0,-1 ) = 2由于B2- AC< 0, A> 0,所以极小值为?0,-1 ) = -1【考点】高等数学一多元函数微分学一二元函数的无条件极值(18)计算二重积分？ ？(?？ ?)?

19、其中 D=(?)|?+ ? W2,?A ?【解析】因为区域D关于y轴对称，所以？ ？ ?原式=?d ?/?右可？=2 / ?(,2- ? - ?)?=21?，2 - ? 2 / ?令？?= V2 ?“ ?”?CC？?"2- ?琢 4 ?=?雪(1 - ?s)?4?-.1.1又 / ?05所以二重积分=?- 5【考点】高等数学一多元函数积分学一二重积分的计算(19)已知函数？?？= Cv¥+羽?？/"V?碇？?的零点个数【解析】?彳？ = - V1 + ? + 2?V+ ?,令?(? = 0,得驻点？?= 1, 当？?<:时，?(?< 0, ?单调减少；

20、当？?>时，?(?> 0, ?单调增加；因为？1) = 0,所以？?在(2,+8)上存在唯一零点。又？ 1) < ?1)= 0, lim ?= +s,所以？?在(-8 1)上存在唯 '2，?-2一零点。综上可知，？?有且仅有两个零点。【考点】高等数学一一元函数微分学一方程的根(零点问题)(20)已知高温物体置于低温介质中，任一时刻改物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比。 现将一初始温度为120c的物体在20c恒温介质中冷却，30min后该物体降温至30C,若要将该物体的温度继续降至21 C,还需冷却多长时间？【解析】设该物体在t时刻的温度为？?)?,由

21、题意得?_?=-?(?-20)其中k为比例系数，k>0.解得?= ?+ 20将初始条件T(0)=120代入上式，解得C=100将？ 30,?= 30代入得？?= 耽0所以30 ?% ?= 100?可?+ 20令T=21,得t=60,因此要降至21摄氏度，还需60-30=30 (min)【考点】高等数学一常微分方程一一阶常微分方程，微分方程应用(21)已知函数？?在区间?+s上具有2阶导数，?= 0,?(?> 0,? (?> 0.设？?> ?。线？?= ?在点(？?(?班的切线与？轴的交点是(？?,0),证明？?< ?< ?【解析】曲线？?= ?在点(？?(?

22、泄的切线方程是?2 ?= ?(?(?. ?) ./ / /，解得切线与？轴交点的横坐标为?= ?Q?(?) ?(?)由于？?(?> 0,故？?单调增力口。由?> ?可知？?？> ?= 0.又？?(?> 0,故")> 0,即有？< ? (?)0?(?)(?-? (?.?(?)?- a = b - _1_)_ ?= (一 ) 一 (?/一( 一 )-0?(?)?(?)由拉格朗日中值定理得?= ?- ?= ?(?(? ?,?< ?< ?因为？ (?> 0,所以？?(？?单调增加，从而?(?< ?(?,故?< ?(?%? ?由此可知？- ?> 0,即？ > ?综上所述，？?<?<?【考点】高等数学一一元函数微分学一微分中值定理?