高三专题7空间立体几何理科

1、高三十专题7空间立体几何（理科）+专题七立体几何（理）1 / 311 .某四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于D. 460 的扇形,2 .某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为71C. 12 + 2 兀 D. 6+4 兀3 .若某棱锥的三视。图（单位：cm）如图所示，则该棱锥的体积等于（）高三十专题7空间立体几何(理科)+5 / 3iD. 40 cm3A. 10 cm3B. 20 cm3 C. 30 cm34.设m、n是两条不同的直线,a 8是两个不同的平面,若已知mn, m %则n 6A .充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D .既不

2、充分也不必要条件E是侧棱PB的中点，则异面5 .已知四棱锥P-ABCD的侧棱长与底面边长都相等，点直线AE与PD所成角的余弦值为（）2D.31 A 36 .正方体 ABCD AiBiCiDi中，M为CCi的中点，P在底面ABCD内运动，且满足/ DPDi=/ CPM ,则点P的轨迹为（）A.圆的一部分 B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分 D.抛物-线的一部分7,已知正四棱柱 ABCD AiBiCiDi中，AAi=2AB, E是AAi的中点，则异面直线 DiC与BE所成角的余弦值为（）1 A.5B.3i0i0,10C. 103D.58. a、b表示直线,3、丫表不平面.若ad片a, b? a,a

3、b,贝U a 3；若a? a, a垂直于3内任意一条直线，则a_L 3;若 a_L 8 ad y= a, 3n 尸 b,则 a_Lb;若a不垂直于平面a,则a不可能垂直于平面a内无数条直线;若 l? a, m? a, mm=A, l / 3, mil 3,则 a/ 3其中为真命题的是.9.如图，在三棱柱 ABCAiBiCi 中，AAi,平面 ABC, ABXBC,且 AB=BC=2,点 N 为 BiCi 的中点，点P在葭AiCi上运动.试问点P在何处时，AB/平面PNC,并证明你的结论；(2)在(i)的条件下，若 AAi.向量的数量积满足如下运算律：（ b= Xa b）；a b= b a（交换

4、律）；.a（b+c） = ab+a c（分配律）.3 .空间向量基本定理如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p,存在唯一有序实数组x, y, z,使 p= xa + yb + zc.推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点 P,都存在唯一的有序实数组 x, y, z,使 OP= xOA+ yOB+ zOC4 .空间向量平行与垂直的坐标表示设 a=(ai, a2, a3), b=(bi, b2, b3),则 a / b? a= ?b? ai = x 1, a2=入怯，a3=入 13(入C R);a b? a b = 0? ab+a2b2+a3b3= 0.5 .模、夹角和距

5、离公式(1)设 a=(a1, a2, a3), b=(b1, b2, b3),则 a|=qoa=qa2+a2+a3,a ba1b+ a2b2+ a3b3cosa，b =|a| b厂2+a2+aVb2+b2+ b3.(2)距离公式设 A(xi, y1, zi), B(x2, y2, z2),则| AB| = 7xi x22+y1 一 y2 2+Zi z2 2.(3)平面的法向量如果表示向量a的有向线段所在的直线垂直于平面”，则称这个向量垂直于平面”，记作 a a.如果a a,那么向量a叫做平面a的法向量.空间角的类型与范围口屏面直线所成的角机(X先宏再直线与平面所成的阴队位比表二面角廿：。心上7

6、 .用向量求空间角与距离的方法(1)求空间角：设直线l1、l2的r方向向量分别为a、b,平面a、3的法向量分别为n、m.异面直线1i与l2所成的角为0,贝U cos 0=| a b|a| b|.直线11与平面a所成的角为0,则 sin 0=| a n|I all n| .平面a与平面3所成的二面角为0,则 |cos 叫=| n m|I nll ml .（2）求空间距离直线到平面的距离，两平行平面间的距离均可转化为点到平面的距离.-一 ,|PM n| ,点P到平面a的距离：d= |川 （其中n为“的法向量，M为a内任一点）.设n与异面直线a, b都垂直，A是直线a上任一点，B是直线B上任一点，则

7、异面直线a、b的距离d = IB-nJ-|n|11 / 31高三十专题7空间立体几何(理科)+二.高频考点突破考点一：空间线面位置关系的判定仞1 1 (1)设a, b表示直线，a, 3, 丫表示不同的平面，则下列命题中正确的是()A.若 a, a且 a b,贝U bII aB.若 yJ_a且贝U all 3C.若 a/ a且 all3,则a/3D.若 丫/ a 且 y/&则a/3(2)平面a/平面3的一个充分条件是()A.存在一条直线a,a /a,a/3B.存在一条直线a,a?a,a/3C.存在两条平行直线a,b, a? %b?&all 3, b/ aD.存在两条异面直线a,b, a? a,b

8、?3,a / 3, b/ a变式训镰11对于平面a, & 丫和直线a, b, m, n,下列命题中真命题是()A.若 a，m, a n, m? & n? a,贝a aB.若 a_L 3, ad y= a, 3n k b,贝U a / bC.若 a / b, b? %则 a / aD.若 a? 3, b? 3, all “ b/ % 则 3/ a考点2：平行、垂直关系的证明好2 如图，在四棱锥 P-ABCD中，AB/CD, AB，AD,CD = 2AB,平面 PAD，底面 ABCD ,PAXAD, E和F分别是CD和PC的中点，求证:(1)PA,底面 ABCD;(2)BE/平面 PAD;(3)平

9、面BEFL平面PCD.15 / 31AD壑式训炼2 如图所示，已知 AB，平面ACD, DE，平面ACD , 4ACD为等边三角形,= DE = 2AB, F为CD的中点.求证：(1)AF/平面BCE;(2)平面BCE，平面 CDE.考点3:图形的折叠问题的3如图(1),在RtAABC中，/ C=90, D, E分别为AC, AB的中点，点F为线段CD 上的一点，将 ADE沿DE折起到 AiDE的位置，使 AiFXCD,如图(2).(1)求证：DE/平面 AiCB;(2)求证：AiFXBE;线段AiB上是否存在点 Q,使AiC,平面DEQ?请说明理由.壑式训排 3| 如图(1),已知梯形 AB

10、CD 中，AD/BC, Z BAD =2, AB=BC=2AD = 4, E,F分别是AB, CD上的点，EF / BC, AE=x.沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD，平面 EBCF(如图(2)所示),G是BC的中点.(1)当 x=2 时，求证：BDLEG;(2)当x变化时，求三棱锥 D BCF的体积f(x)的函数式.(1) 考点4:利用向量证明平行与垂直【仞1 如图，在直三棱柱 ADEBCF中，面ABFE和面ABCD都是正方形且互相垂直，M为AB的中点，。为DF的中点.运用向量方法证明:(1)OM/平面 BCF;(2)平面MDF，平面EFCD.高三十专题7空间立体几何(理科)+变式训

11、炼l|如图，在四棱锥 P ABCD中，PA，平面ABCD,底面ABCD是菱形，PA = AB=2, Z BAD = 60, E 是 PA 的中点.(1)求证：直线PC/平面BDE;(2)求证：BDXPC;:考点5:利用向量求空间角仞2如图，五面体中，四边形ABCD 是矩形，AB/EF, ADL平面 ABEF,且 AD=1, AB1. .= 2EF = 22, AF=BE=2, P、Q 分别为 AE、BD 的中点.(1)求证：PQ/平面BCE;(2)求二面角 A-DF-E的余弦值.i17 / 3i壑式训炼2 如图，已知三棱锥 O ABC的侧棱OA, OB, OC两两垂直，且 OA= 1 , OB

12、 =OC=2, E是OC的中点.求O点到面ABC的距离；(2)求二面角E-AB-C的正弦值.考点六：利用空间向量求解探索性问题 仞3如图，在直三棱柱 ABC AiBiCi 中，AB = BC = 2AAi, /ABC=90, D 是 BC 的中点.(1)求证：AiB/平面 ADCi;(2)求二面角CiADC的余弦值；试问线段AiBi上是否存在点 E,使AE与DCi成60 角？若存在，确定E点位置；若不存 在，说明理由.壑式训炼 3 如图，在三锥 PABC 中，AC=BC=2, /ACB=90, AP=BP=AB, PCLAC, 点D为BC的中点.(1)求二面角APD B的余弦值;一一 .1(2

13、)在直线AB上是否存在点 M ,M的位置；若不存在，说明理由.使得PM与平面PAD所成角的正弦值为6，右存在，求出点高三十专题7空间立体几何（理科）+本讲总结：1 证明线线平行的常用方法(1)利用平行公理，即证明两直线同时和第三条直线平行；(2)利用平行四边形进行转换；(3)利用三角形中位线定理证明；(4)利用线面平行、面面平行的性质定理证明2 证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的判定定理，把证明线面平行转化为证线线平行；(2)利用面面平行的性质定理，把证明线面平行转化为证面面平行3 证明面面平行的方法证明面面平行，依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证

14、面面平行转化为证线面平行，再转化为证线线平行4 证明线线垂直的常用方法(1)利用特殊平面图形的性质，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直；(2)利用勾股定理逆定理；(3)利用线面垂直的性质，即要证线线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在平面即可5 证明线面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理，把线面垂直的判定转化为证明线线垂直；(2)利用面面垂直的性质定理，把证明线面垂直转化为证面面垂直；(3)利用常见结论，如两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面6 证明面面垂直的方法证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直

15、转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线或添加辅助线解决.(二)1 直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线1的方向向量为 a=(ai,bi,ci).平面 外3的法向量分别为产(a2,b2,C2),v = (a3,b3, C3)(以下相同).(1)线面平行1 / 0? a (1? a 尸 0? a1a2+ blb2+C1C2=0.(2)线面垂直l ? a II 皿 a=k(1? ai=ka2, bi = kb2, ci = kc2.(3)面面平行all ? t/ v? L= ?v? a2= 入 3, b2=入 3, C2=入 3.(4)面面

16、垂直a_L 3? -L v? (1 v = 0? 32a3 + b2b3+C2c3= 0.2 .直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算设直线l, m的方向向量分别为a = (ai, bi, ci), b= (a2, b2, c2),平面a、3的法向量分别为(1= (33, b3, C3), V=(34, b4, C4)(以下相同).(1)线线夹角、一，.一、，TT设l, m的夹角为6(0 阪2),则|a b|aia2+ bib2+ ciC2|cs 0 1311b| da2 + 4 + c232+ b2+ c2.(2)线面夹角设直线l与平面a的夹角为0(0W贝U sin 0= ay = |

17、cosa, , |. 131m(3)面面夹角设半平面a、3的夹角为9(0兀) 则|cos 0|= 1= |cos科，V|.提醒 求二面角时，两法向量的夹角有可能是二面角的补角，要注意从图中分析.3 .求空间距离P到平面a的距离:直线到平面的距离，两平行平面的距离均可转化为点到平面的距离，点|PM nJ, 一d=、n7（其中n为a的法向量，M为a内任一点）.# / 31高三十专题7空间立体几何(理科)+强化练习1 .如图，在四棱锥 P ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD/BC, / ADC = 90 ,平面PAD，1底面 ABCD , E 为 AD 的中点，M 是梭 PC 的中点，FA=P

18、D = 2, BC=AD=1, CD =3.求证：PE，平面ABCD;(2)求直线BM与平面ABCD所成角的正切值；(3)求直线BM与CD所成角的余弦值.23 / 312 .如图，四棱锥 PABCD的底面是正方形，PD，底面ABCD,点E在PB上.求证：平面 AEC，平面PDB;(2)当PD = 42aB且E为PB的中点时，求 AE与平面PDB所成的角的大小.3.如图，在三棱柱 ABC AiBiCi中，H是正方形 AAiBiB的中心，AAi=2a/2, CiH 平面 AAiBiB,且 CiH=V5求异面直线AC与AiBi所成角的余弦值;(2)求二面角 A AirCi Bi的正弦值;设N为棱Bi

19、Ci的中点，点 M在平面 AAiBiB内，且 MN，平面 AiBiCi,求线段 BM的长.4 .如图所示，已知正方形 ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB =，2, AF=1.(1)求直线DF与平面ACEF所成角的正弦值；(2)在线段AC上找一点P,使PF与DA所成的角为60,试确 定点P的位置.5 .如图，在底面是矩形的四棱锥 P-ABCD中，PA，底面ABCD, E, F分别是PC, PD的中点，FA=AB= 1, BC = 2.求证：EF/平面FAB;(2)求证：平面 FAD，平面PDC.6 .如图，四棱锥 PABCD中，底面ABCD为矩形，PA，平面ABCD , E为PD的中

20、点. 证明：PB/平面AEC;(2)设二面角 DAEC为60, AP=1, AD = a/3,求三棱锥 EACD的体积.7 .如图所示，在四棱锥 P-ABCD中，侧面PCD，底面ABCD, PDXCD, E为PC中点, 底面 ABCD 是直角梯形， AB/CD, Z ADC =90, AB=AD = PD=1, CD = 2.(1)求证：BE/平面FAD;(2)求证：平面 PBCL平面 PBD;设Q为棱PC上一点，pQ= ?PC,试确定入的值使得二面角 QBD P 为 45.高三十专题7空间立体几何（理科）+高考真题（2011年高考广东卷第7小题）正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的

21、两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱的对角线条数共有A. 20B.15C.12D. 10（2011年高考广东卷第7小题）如图1 3,某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为（）-J -jr JJrf jT/? ffj Jr/JT Jrff /Jrj fj* /Jr正通阳WHfflA. 6 3 工 1B. 9 3C. 12 3（2012年高考广东卷第6、18小题）6.某几何体的三视图如图1所示，它的体积为A. 12B. 45C. 57D. 81（2013年高考广东卷第5小题）某四棱台的三视图如图所示14A . 4B. 一3C. D, 6

22、3O1 |r1-？/6a- （1）证明：EBXFD;22（2）已知点Q,R分别为线段FE,FB上的点，使得BQ - FE,FR - FB ,33求平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值.27 / 31高三十专题7空间立体几何(理科)+(2011年高考广东卷第18小题)如图5.在椎体 P-ABCD中，ABCD 是边长为 1的棱形，且/ DAB=60PA PD 后,PB=2, E,F分别是BC,PC的中点.(1)证明：AD 平面DEF;(2)求二面角P-AD-B的余弦值.(2012年)18.(本小题满分13分)如图5所示，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为矩形，PA 平面ABCD，点E在线段

23、PC上，PC 平面BDE (1)证明：BD 平面PAC ;(2)若PA 1, AD 2,求二面角B PC A的正切 化# / 31高三十专题7空间立体几何（理科）+A BCDE,其中 AO（I ）证明：AO（n）求二面角a图1（2014年高考真题）18.（本小题满分13分）如图4,四边形ABCD为（2013年高考广东卷第7小题）（本小题满分14分）如图1,在等腰直角三角形 ABC中，A 90 , BC 6, D,E分别是AC, AB上的点，CD BE应，O为BC的中点.将ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱锥,3.平面BCDE ；CD B的平面角的余弦值.35 / 31正方形，PD 平面 A

24、BCD , DPC 30, AF PC于点 F , FE/CD,交PD于点E .（1）证明：CF平面ADF（2）求二面角D AF E的余弦值（2010年高考广东卷第18小题）证明土（1）连结CF.因为毒匕是半径为s的半圆，YC为直径，点且为且C的中点，所以在 亚目中,量C= 在 C、R宙=匕 +=岳 .在A2RF中，BE = DF = 岛,所以A3。百是等腰三角形，且点C是底边的中 与，所以?广_1_8口.在ACWF中，即二=61 =（网口苗+ （2田* =2忑二+仃尸、所以hUEF是R& 琲 CF 1 EC由C?_L8Z?, CF上球，且C3n月。=C,芭7,平面月劭，而 EB u 平面 3

25、RD ,二9C J-EB,召月_1_平面3F *而用D匚平面RDF , “ED t（2）设平面BED与平面RQD的交线为DG .22,由 BQ=FE,FR=FB 知，QR| EB .33而EB 平面BDF ,.QR|平面BDF而平面BDF I平面RQD = DG ,. QR|DG | EB.由（1）知，BE 平面 BDF , DG 而DR 平面BDF - BD 平面BDF平面BDF ,. DG DR, DG DQ ,RDB是平面BED与平面RQD所成二面角的平面角.sin RBDFCBF2a, 5aRBD J1 sin2_RBD %.在 Rt BCF 中，CF JBF2 BC2 J（底）2 a

26、2 2a,211 /-a/5衽 中、由 FR = -FE 知,BR = -FB=- 5a = a .3333由正弦定理知,RD = 4 +BF2 -2BD BR-cZRED由正弦定理知.sin RDB在 PGB 中，cos PGB2PG BGPG2 BG2 PB2bg2 12 (-2)2 4 ；述9.故平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值是292 .2929（2011年高考广东卷第18小题）解：（1）取 AD 的中点 G,又 PA=PD, PG AD,由题意知AABC是等边三角形，BG AD ,又PG, BG是平面PGB的两条相交直线，AD 平面PGB ,Q EF /PB, DE /GB

27、,平面DEF /平面PGB ,AD 平面DEF由(1)知 PGB为二面角P AD B的平面角，在 Rt PGA中，PG2 V22 (-)2 7 ;在 Rt BGA中,24（2012年高考广东卷第6、18小题）解：（1） v PA 平面 ABCDPA BDV PC 平面BDE PC BD 又 PC? PA P BD 平面 PAC（2）设AC与BD交点为O,连结OE,/ PC 平面 BDE ； PC OE又; BO 平面PACPC BO 又 OE?BO OPC 平面 BOE ； PC BEBEO为二面角B PC A的平面角BD 平面PACBD AC一四边形ABCD是正方形BO 应 在 PAC中，O

28、E _PA OE - OE OC AC,2 33tan BEO BO- 3OE二面角B PC A的平面角的正切值为3（2013年高考广东卷第7小题）（本小题满分14分【解析】（I ）在图1中，易得OC 3,AC 3五,AD连结OD,OE ,在OCD中，由余弦定理可得ODOC2 CD2 2OC CD cos45 .5由翻折不变性可知AD 2,2 ,所以 AO2 OD2 AD2,所以 AO OD ,理可证AO OE,又ODI OE O,所以AO 平面BCDE .（H）传统法：过O作OH CD交CD的延长线于H ,连结AH , 因为AO 平面BCDE,所以AH CD, 所以AHO为二面角A CD B的平面角.