高一解三角形综合复习(含详细答案)

1、欢迎来主页下载一精品文档课题：解三角形教学目标:1、 理解任意角三角函数的概念，掌握同角三角函数的基本关系式与诱导公式、两角和 与差的三角函数及二倍角公式。2、 理解正弦定理、余弦定理的意义，并能应用正弦定理、余弦定理解三角形。教学重难点1、 三角函数相关公式的应用。2、 三角函数、正弦定理、余弦定理的灵活运用。教学内容一、 知识点讲解(一)三角函数1、任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切设a是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x, y),那么定义y叫做a的正x叫做a的余弦，记:叫做a的正切，记作弦，记作sin a作 COS atan a各I十十十象R十一一限m一一十符号IV一十一口诀I全

2、正，II正弦，出正切，IV余弦2、同角三角函数的基本关系及诱导公式(1)基本关系平方关系：sin2a+ cos2a= 1.商数关系：sin = tan民 cos a三角函数的诱导公式一二三四五六角2k tt+ a(kCZ)tiH- a一 aL a冗2- a冗-2+ a正弦sin asin a sin asin acos acos a余弦cos a一cos acos a一 cos asin asin a正切tan atan a一 tan a一 tana一口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限(3)特殊角的三角函数值角a0°30045°60090°120&#

3、176;150°180°角a的弧度数0jt6jt4jt3Jt22- y5-6冗sin a012啦2也21必2120cos a1也2啦21201-2一亚21tan a0V331V3/-V3302、和差倍角的三角函数 (1)两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin( a±份=sin_ gos_Bicos_osin_4 cos( a?份=cos_ ocos_B isin_(sin_g,。 tan adtan B tan(a± s. x 1?tan dan 6 (2)二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2 a= 2sin_ “cos_ “cos 2a= cos

4、 a sin2 k 2cos a 1 = 1 - 2sin' ac 2tan a tan 2o 2 .1 tan a 有关公式的逆用、变形等tan odtan 0= tan(6士®(1 ?tan_an_®，21 +cos 2a , 21 cos 2acos a= 2, sin k 21 + sin 2a= (sin 什 cos 2, 1sin 2 a= (sin a cos o)2, sin a为os a=淄sin a项. 函数 f(o) = asin 什bcos <a, b为常数)，可以化为 f(o) = a2+b2sin(a+(D,其中 tan Q ba.

5、(二)解三角形1、正弦定理和余弦定理在4ABC中，若角A, B, C所对的边分别是a, b, c,则正弦定理余弦定理内容abccc= -= -=2R sin A sin B sin C(R为AABC外接圆半径)a2=b2+c2 2bccos A b2= a2 + c2 2accos Bc2 = a2+ b2 2abcos C常见变形(1) a= 2Rsin A, b=2Rsin B, c=2Rsin C;"_a_. - _b_. c £(2)sin A = 2R, sin B = 2R, sin C=2R；(3)a : b ： c= sin A ： sin B ： sin

6、Cb2 + c2a28s A=2bc；a2 + c2b28s B=2ac；a2+b2c cos C=o .2ab解决的问题(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角(1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角2、三角形中常用的面积公式-1(1) S= 2ah(h表小边a上的图).-11八 1(2) S= 2bcsin A= 2absin C= 2acsin B.-1、，,_，一(3) S= 2r(a+b+c)(r 为AABC 内切圆半径).3、规律总结(1) 一条规律 在二角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值

7、也较大，正弦值较大的角也较大，即在 ABC中，A>B? a> b? sin A> sin B。(2)解三角形的两种途径一是化边为角；二是化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换。(三)向量的数量积和三角函数1、平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a与b,它们的夹角为9,则数量|a|b|cos 8叫作a与b的数量积(或内积)，记作a b,即a b= |a|b|cos 0,规定零向量与任一向量的数量积为 0,即0 a= 0.(2)几何意义：数量积a b等于a的长度冏与b在a的方向上的投影|b|cos 8的乘积.2、平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a=(xi,

8、yi), b= (x2, y2), 8为向量a, b的夹角.(1)数量积：a b= |a|b|cos 仁xix2+yiy2.(2)模：|a|= ya-a =以2+ y2.夹角 c0s 4旦旦=x"yiy2.|a|b| /xi + yi x2 + y2-(4)两非零向量a，b的充要条件：a b=0? xix2 + yiy2= 0.二、典型例题(一)三角函数【例11若sin a tan a< 0,且黑：< °，则角口是().A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角解析 (i)由sin a ?tan a <0可知sin a , tan a异号，从

9、而a为第二或第三象限的 角，由cos a tan a <0,可知cos a , tan a异号.从而a为第三或第四象限角.综 上，a为第三象限角.例2已知tana= 2,则2sin a 3cos a4sin a 9cos a精品文档, 九 、1 一. 已知 sinlj- a卜 2,则解析（1）:9一12.2sin a 3cos a 2tan a 3 2X2 3解析-=-1,4sin a 9cos a 4tan a 9 4X2 9【例31规律方法巧用相关角的关系会简化解题过程.常见的互余关系有a； 4+ a与4 a等，常见的互补关系有3+ 8与/ 9; 4+ 8与? 8等.【例 4】(1)

10、 4cos 50 tan 40:().A.2C. 342+3B. 2D. 2V21coa- sin2 a解析:22tan 厂 a cos 4(1)4cos 50 tan 40= 4sin 40 -sin 40cos 404sin 40 cos 40 sin 40 0 2sin 80 sin 40_ c=_ ccos 40cos 402sin (120 40°)-sin 40cos 40电cos 40 4 sin 40sin 40cos 40(2)原式=COS a sin a1九2sin0 %!27三 cosCOS 皋 ajCOS a sin2 a2sin 4c COS 4- ajco

11、s 2a cos 2a一 i6t 丫 cos 2sin I2- 2 aj例51.raJ 一九 L(1)已知0<32<0<砥 且cos5一位 12尸 一9, sinQ523'11、(2)已知 a,即(0,兀)且 tan(a 9 = 5, tan 片一7,求解(1)<0<o<九,求COS(a十片的值;2 a B的值. 冗 a4<2.一色, . cos |2,冗一火5,sin (a-2 ；=a+ 0cos 2Tt J34< a 2< 阳n伊B !=坐1 COS2=cosl 2 Y2(3 A 一 os。一 Bj+ sin.遢 j15 4&#

12、39;5 2 7 59产 3 + 9 xy 27，.cos(a+ 份=2cos* 1=2X49贫1 = 739. 2729729tan a 3什 tan 3(2) Vtan tan(a-升 = 1 tan -婀 B1 12-71c, <1=3>°，廿7. c 冗 p - o 2tan2X33 c 0<届2,又匕n "= Gn2；= 1sr4>0' 1幻3,14+7 一31.1-4x 7 0<2 a<2, 入 tan 2 a tan B tan(2 a 3 : -t-：'1 1 + tan 2 otan 0 C 1c冗 cC

13、 c C. tan 0= 7<0, . 2< 3 队 庐2 a一30,c C 3九 2 a一片一了.【例 61 已知函数 f(x)=cosx:-3j-sin甘一x'.(1)求函数f(x)的最小正周期;若 必(0, 2J,且fa+6 =求f(2a)的化13斛 (1)f(x) = 2cos x+ 2 sin x cos x31=2 sin x 2cos x= ；f(x)的最小正周期为2冗.(2)由(1)知 f(x) = sinx-6>所以6 != sin 心+冗冗、66尸sin3 a 5,. cos a= q1 sin2 a=1-4=5.sin 2 k 2sinc 3 4

14、 24oCOs a= 2X _ X =5 5 252cos 2a= 2cos a1=2X,7 1 : 25,. S、I；g. c 1 c . f(2 o) = sin 2 a g != 2 sin 2 a 2cos 2 a值 24 1 7 24淄-7 /X - - - 2 25 2 2550（二）解三角形1、利用正弦、余弦定理解三角形【例1】（1）在锐角 ABC中，角A, B所对的边长分别为a, h若2asin B=y3b,则A A 等于 （）., 冗c冗入冗A.cB.4C.346n九D.12(2)在9BC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c,若a=1, c= 4/2, B = 4

15、5°,则sinC =.解析 （1）在 2BC中，由正弦定理及已知得 2sin Asin B = >/3sin B, .B为BC的内角,. .sin Bw0.3 .sinA= 2 .又,ABC为锐角二角形,AC 0,2.=3(2)由余弦定理，得 b2 = a2+c2 2accos B= 1+ 328啦乂* = 25,即 b = 5.所以sin C=c sin B2、判断三角形的形状【例2】在 ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且2asin A= （2b-c）sin B+ （2 c b）sin C.求角A的大小；若sin B+ sin C=而，试判断 ABC的

16、形状.解 (1)由 2asin A= (2b-c)sin B+(2cb)sin C,得 2a2= (2bc)b+ (2c b)c,即 bc= b2 + c2a2,cos A=b2+c2 a2 12bc -2'(2)A+ B+C=180°,B+C=180° 60 =120°.由 sin B + sin C = ® 得 sin B + sin(120B) = y3, sin B + sin 120 cos B cos 120sin B =、j3.3sin B+223cos B=道，即 sin(B + 30°)= 1.6<B<12

17、0°, .30°<B + 30°<150°. B + 30° = 90°, B=60°.A=B=C = 60°, 4ABC为等边三角形.3、三角形面积有关的问题【例3】在4ABC中，角 A, B, C对应的边分别是 a, b, c.已知cos 2A 3cos(B + C)=1.求角A的大小；(2)若AABC的面积 S= 5& b= 5,求 sin Bsin C 的值.解 由 cos 2A3cos(B+C) = 1,得 2cos2A+3cos A 2 = 0,1 ,、即(2cos A1)(cos

18、A+2) = 0,解得 cos A= 2或 cos A= 2(舍去).因为 0<A< 电 所以 A=冗3.由 S= 1bcsin A=2bc =bc= 56，得 bc= 20.又b = 5,所以c=4.由余弦定理，得 a2=b2 + c22bccos A=25+1620= 21,故 a=/T又由正弦定理，得sin Bsin C = bsin A csin A a a57.4、解三角形综合问题【例4】设 ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c,且a+c=6, b=2, cos B=7S(1)求a, c的值；(2)求 sin(AB)的值.规范解答(1)由余弦定理b 以A

19、B AC = bccos A = 7bc< 1. 答案 C【例6】在 ABC中，内角A, B, C所对的边分别为a, b, c,已知1r=自A, /3sinA) , n= (cosA, - 2cosA), m，n=-1.(1)求/A的大小；(2)若 a=2«, c=2,求 ABC的面积.=a2 + c22accos B,2.、2得 b=(a+c) 2ac(1 + cos B),又 b = 2, a+c=6, cos B = g,所以 ac= 9,解得 a=3, c=3,在 ABC中, sin B=/lcosB =由正弦定理得sin4咿=.因为a=c,所以A为锐角,所以cos A

20、=M - sin2A=3.10 227因止匕 sin(A B) = sin Acos B cos Asin B =【例5】在锐角 ABC中，若BC = 2, sin A= 字，则AB AC的最大值为().3, 1JA.qBmC.1D.335解析 由余弦定理，得a2 = b2+c22bcx1=4,由基本不等式可得 4>bc,即bc<3,所 33【例7】在 ABC中，A A, B, C的对边分别是a, b, c,若加acosC=csinA.(I )求角C的大小;3/3(H)若a=3, AABC的面积为2 ,求五，靛的化三、课堂练习【训练11若sin a<0且tan a>0,

21、则口是().A.第一象限角B.第二象限角 C.第三象限角D.第四象限角【训练2】1(1)已知 sin a+ cos a= 5, 0< a< 兀，则 tan a=.(2)已知 sin a= 2sin 机 tan 后 3tan & 求 cos .解析(1)法一联立方程oin i1sin a+ cos a=匚, 5sin2a+ cos2 - 1,由得cos a= 1.-sin a,将其代入, 54 sin a=, 5 一 4 . tan a= - 3.整理得 25sin2a 5sin a 12=0.又 0< a< 兀，二 3cos 后5,法二 sin a+ cos a

22、= (sin a+ cos c)2=(,2,1.24即 1 +2sin acos a= CL,2sin acos 0F= CL, 2525 .(sin a cos o)2=12sin ocos 后. sin二 sin二 sin12 一ocos 后 < 0 且 0 < a< Tt,25a>0, cos a< 0,7a cos a5.，1sin a+ cos a= 5,由7sin a cos a= 5,(2)sin a= 2sin 0, tan .sin2a= 4sin2 机tan2 a= 9tan2 0,1+24 25. sin a cos a> 0,4sin

23、 a= 5, 得cos a=a= 3tan &由通得：9coJa= 4coJe, 十 得：sin2 a+ 9cos2 a= 4,35' tancos2 a+ sin2a= 1 , . cos2 a= 3, 即 cos a= i6 84答案(1) 4 (2)3(3)已知tan电2,4sin2 a 3sin ocosa=43.4sin2 a 3sin acos a 5cos of=24sin2 a 3sin ocos a 5cos aa 5cos asin2 a+ cos2 a4tan2a 3tan a 5 4X43X2 5tan2 a+ 14+1=1.1 -3(4)如果 sin(

24、Tt+ A) = 2，那么 cosit.一 11解析sin(什 A) = 2，. sin A=233 C -1cosL A 尸 一 sin A =2 113 一一九【训练3】已知COS a= 7, COS(a份=14，且0<3°<2，求tan 2a的值;求0.小.1八 九. 4书角单 (1) - COS a= 7,0< o<2， - Sin a= 7 , .tan a= 4/3,-c 2tan a2X438m tan 2 k -_2-= r 1-tan a 14847一 - - 九 .八三九(2) . 0< 3 o<5，. . 0< a火2，

25、.,八 3V3. Sin(a一 ®=T4", .COS B= cosa (a阴= COS 0COS(a f)+sin osin(a一 ®1 13 42J3 32/3 1=? U+ e'X 曾=2.c九- B= 3.【训练3】【训练3】已知函数f(x) = 4cos x sin 3+6) 1.(1)求f(x)的最小正周期；求f(x)在区间1-6，4L:的最大值和最小化解(1)因为 f(x) = 4cos xsin+6J 1=4cos x1in x+2cos x |- 1=姆sin 2x+2cosx 1 =/sin 2x+ cos 2x= 2siM2x+6)所

26、以f(x)的最小正周期为九.(2)因为一6&x0：,所以一6<2x+6<23?.一 .江于是，当2x+g=冗2'即x = 1寸,f(x)取得最大值2;当2x+6= 1 即x=寿寸，f(x)取得最小值一1.【训练4】在4ABC 中，a = 2#, c= 2V2, A=60°,则 C=().A. 300 B. 45° C. 45°或 135° D. 60°(2)在AABC 中，内角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c,若 a2 b2=V3bc, sin C = 2f3sinB,则 A=().A. 300 B.

27、600解析(1)由正弦定理,C. 120° D. 150°彳曰2 32 2e sin 60 sin C，解得：sin C=¥，又 c<a,所以 C<60 0,所以 C=45： (2) .sin C = 2/3sin B,由正弦定理，得 c=25b,b2 + c2a2 6bc+ c2 Wbc+ 2V3bc 史 .cos A= 2bc2bc= 2bc = 2 '又A为三角形的内角，A=30：【训练5】在AABC中，内角A, B, C的对边分别为a, b, c,且2c2=2a2+2b2+ab,则AABC是().A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角

28、形D.等边三角形(2)在4ABC 中，若(a2+b2)sin(AB)=(a2b2)sin C,则 ABC 的形状是 ().C.等腰三角形A.锐角三角形B.直角三角形D.等腰或直角三角形解析(1)由 2c2 = 2a2 + 2b2 + ab,得 a2+b2c2= gab,所以 cos C =1 a2+ b2 - c 2ab2ab2ab- =1<0,所以90 VC<180 ；即小BC为钝角三角形.(2)由已知(a2 + b2)sin(A- B) = (a2 b2)sin C,得 b2sin(A-B)+sin C = a2sin C-sin(A- B),即 b2sin Acos B =

29、a2cos Asin B,即 sin2 Bsin Acos B = sin2 Acos Asin B,所以sin 2B = sin 2A,由于A, B是三角形的内角,故 0<2A<2& 0<2B<2 兀 故只可能2A=2B或2A=九一2B, 冗即 A= B或 A+B = 2.故BC为等腰三角形或直角三角形.【训练6】 已知a, b, c分别为 ABC三个内角A, B, C的对边，c=，3asin C-ccos A.求A;(2)若a = 2, AABC的面积为也，求b, c.解 (1)由c=而asin C ccos A及正弦定理，得电sin Asin C cos

30、A sin C sin C = 0由于 sin C*0,所以 sin86j= 2,-rf-匕已 兀 如 冗 5 7t t/.-* 兀又0<A<兀，所以qA 6<4，故 A=.一一一一 1一(22 ABC 的面积 S= bcsin A=木,故 bc= 4.而 a2= b2 + c22bccos A,故 b2+c2 = 8,解得 b = c= 2.1【训练7】在ABC中，a, b, c分别是角A, B, C所对的边，且a-c+bcos C.(1)求角B的大小；若Sabc=小，b=#3,求a+c的值.解 (1)由正弦定理，得 sin A=2sin C + sin Bcos C,又因

31、为 a= k (B+C),所以 sin A=sin(B+C), 1 .可得 sin Bcos C+ cos Bsin C=2$in C + sin Bcos C,即 cos B=J,又 BC (0,九)所以 B =。 23(2)因为 Saabc=*,所以 Jacsin9=，3,所以 ac=4, 23由余弦定理可知b2= a2 + c2ac,所以(a+ c)2=b2 + 3ac= 13+ 12=25,即 a+c= 5.【训练8在AABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c,已知bcosC+ccosB=2acosA (1)求角A的大小；(2)若盛通二炳,求4ABC的面积.课后作业：1、已

32、知 sin 0+ cos 卜3”< 线 4)，则 sin 0- cos 8的值为().,2,2 八 11A.3 B - 3 C3 D- -3斛析 法一 ,0< 0</,cos 0>sin 0, 4''又(sin 0+ cos=1 + 2sin (cos 8= 16, 9 .2sin 0cos 4 9,- M7 2. (sin 0 cos 9 =12sin 0cos 8= 19=9, sin 0 cos法二sin七一32S1.4 .2J, sin 0+ cos 4 V2sin 计4 j= 3,，又 cos升4j=41 sin2 时;=2 1L3, 八八，八

33、. c一二也. sin 0 cos 0= (cos 0 sin 9 = 2cos叶 4尸 3 .2、已知值是（A.355解析2cos a=a为锐角，且2tan（信孑+ Bi+ 5 = 0, tan(在 o) + 6sin(立份=1,则 sin a的).3 7B. 73 ：,10C. 101 D.3由已知可得一2tan a+ 3sin1, a为锐角.田. 3 ；10 故 sin a= 10 .B+ 5 = 0, tan a 6sin 0= 1,解得 tan a= 3,又 sin2 升113、已知 cos a= 3， cos(a+3，且 即 °2 !,则cos（a份的值为1解析 .cos a=32,24/27- sin a= 3 , sin 2 o= 9 , cos 2 o= 9.力， .sin(a+ ® =1又 COS(升 3 = W a+ 即(0， .COS(a 3 = COS2a一(肝 阴= cos 2 ocos(a+ 3 +sin 2osin(a+ ®(-排醇挈嚼4、在 ABC中，A=60°, AB = 2,且 ABC的面积为g3,则BC的长为().A<23 B. ；3C. 2 ：3 D. 2解析 S=； X AB ACsin 60° = ；X2X AC =