双缝干涉条纹间距公式的推导两种方法

1、双缝干涉条纹间距公式的推导双缝干涉条纹间距公式的推导>x如图建立直角坐标系，其 x轴上横坐标为 -的点与d的点为两波源。 这两个波源的振动情况完全相同，则这两个波源发生干涉时的加强区为到两个波源的距离差为波长2 2整数倍n （零除外）的双曲线簇。其中d,0、-,0为所有双曲线的公共焦点。这个双曲线簇的方程为:2 2y l代入双曲线簇的方程，有:2d ， x的表达式简化为:用直线y丨去截这簇双曲线，直线与双曲线的交点为加强的点。将 解得:上式中，d的数量级为10 4m， 为10 7m。故d2 n2 2其中I的数量级为10om , d的数量级为10 4m。故I 22104， x的表达式简化为

2、:d2可见，交点横坐标成一等差数列，公差为，这说明:d(1)条纹是等间距的;(2)相邻两条纹的间距为至此，证明了条纹间距公式:杨氏双缝干涉条纹间距到底是不是相等的?海军航空工程学院 李磊梁吉峰选自物理教师2008年第11期在杨氏双缝干涉实验中，在现行的高中物理教科书中得岀相邻的明纹(或者暗纹)中心间距为：x = L入/d，其中L为双缝与屏的间距，d为双缝间距，对单色光而言，其波长入为定值，所以我们得岀的结论是干涉图样为等间距的一系列明暗相同的条纹，但是在现行的高中物理教科书中所给的干涉条纹的照片却并非如此，如图1。我们可以看到只是在照片中央部分的干涉条件是等间距的，但是在其边缘部分的条纹的间距

3、明显与中央部分的条纹间距不同。问题到底岀在哪里呢？首先我们来看现行的教科书上对于杨氏双缝干涉的解释，如图P平行。双缝与屏之间的垂直距离为L,我们在屏上任取一点P1,设定点P1与双缝S、S2的距离分别为1和2, 0为双缝P0,设P与Po的距离为x，为了获得明显的干涉条纹，在通常情况下L>>d,在这种情况下由双缝 S1、S2发岀的光到达屏设定双缝S、S2的间距为d,双缝所在平面与光屏 S1、S2的中点，双缝 S、S的连线的中垂线与屏的交点为 上P点的光程差 r为S2M= r 2 r 仟 dsin 0,(1)其中0也是OP与OP所成的角。因为d<<L,0很小，所以(2)x因此

4、 r 宀 ds in 0 dxk = 0, 1,2,当 r宀d =± k入时，屏上表现为明条纹，其中x1当 r宀d =±( k + 2 )入时，屏上表现为暗条纹,其中是k=0, 1, 2,(3)我们继续算得光屏上明条纹和暗条纹的中心位置。当x = ± kJ入时，屏上表现为明条纹，其中k = 0,(4)当x = ±( k+ 2)L入时，屏上表现为暗条纹，其中1, 2,(4)(5)我们还可以算岀相邻明条纹(或者暗条纹)中心问的距离为L x = Xk+ 1 Xk=- 入。d至此我们得岀结论：杨氏双缝干涉条纹是等间距的。 问题就在于以上的推导过程中，我们用过两次

5、近似，第 因此/S2S1M如果要保证/ SP1S2很小，只要满足第2次近似是因为 d<<L，0很小，所以sin 0 tan的时候，此式近似成立的条件是/S1P1S2很小，因此有 SML S2P1，SM! OP,0的数值。01°2°3 °4 °5 °6 °7 °sin0tan008°9°10°11°sin0tan0从表11次是在运用公式 r =21 dsin 0d<<L即可，因此 r dsin 0是满足的。0。下面我们通过表1来比较sin 0与tan表1-%因此当

6、0> 6°时，相对误差就超过了中我们可以看岀当0 =6°时，tan 0 0n 0沦 因此我们通常说sin 0 = tan 0成立的条件是 0< 5°，当0> 5°时,sin 0 tan是等间距的。而当x0就不再成立。而在杨氏双缝干涉实验中，0很小所对应的条件应该是x<<L，这应该对应于光屏上靠近R的点，在此种情况下上述的推导过程是成立的，干涉条纹较大时，也就是光屏上离Po较远的点所对应的0角也较大，当0> 5°时，sin 0 -tan 0就不再成立，上述推导过程也就不完全成立了，（2）式就不能再用了。此时si

7、nx0= f2vL所以，r dsin 0dx=± k入，屏上表现为明条纹，其中k = 0，1，2，dx1A r - dsin 0=.= = ±( k+-)入，屏上表现为暗条纹，其中/, 2 2 2VL xk = 0，1，2，因此可以得到光屏上明纹或者暗纹的中心位置为I kX =±,一，屏上表现为明条纹，其中 k = 0，1，2,W2 k2 21L(k -)x=±2 ，屏上表现为暗条纹，其中k= 0，1，2,2 12 2d2 (k -)2 22则相邻的明条纹中心问距为 x 明=Xk+1 明一 Xk 明=_L(k 1)Jd2(k 1)2 2LkJd2 k2 2邻暗条纹中心间距为 X 暗X k +1 暗X k 暗1L(k 1 -)2 Jd2 (k 1 t)2 21L(k -)22 12 2 d (k -)这也正如教科书上的照片所示的条纹分布。由上式可见相邻的明、暗条纹就不再是等间距的了，下面我们通过一个实例来定量计算等间距条纹的条数。例1 :用氦氖激光器(频率为X1014Hz)