北京邮电大学版线性代数课后题答案

1、习题(A类)1.设 a 1 = (1 , 1 , 0) , a 2 = (0 , 1 , 1) , a 3= (3 , 4, 0).求 a 1- a 2及3 a 1+2 a 2- a 3. 解：a 1- a 2=(1,1,O)-(O,1,1)=(1,O,-1),3a 1+2 a 2- a 3=(3,3,0)+(0,2,2)-(3,4,0)=(0,1,2)2.设3( a 1- =(4 , 1, -1 解：由3 (a整理得：a3. (1)xa )+2( a 2+ a ) = 5( a 3+ a )，其中 a 1 = (2 , 5, 1 , 3) , a 2 = (10 , 1, 5, 10) ,

2、a 3 ,1).求a .1- a) +2( a 2+ a )=5( a 3+ a )1 1= 6(3 a 1+2 a 2-5 a 3),即a =6 (6,12,18,24)=(1,234)(4 )X(2 )X(3)V(5)X4.判别下列向量组的线性相关性(1)a 1=(2,5),a 2=(-1,3)；a 1=(1,2),a 2=(2,3),a 3=(4,3)；a 1=(1,1,3,1),a 2=(4,1,-3,2),a 3=(1,0,-1,2)；a 1=(1,1,2,2,1),a 2=(0,2,1,5,-1),a 3=(2,0,3,-1,3),a 4=(1,1,0,4,-1).解：（1）线性无

3、关；（2）线性相关；（3）线性无关；（4 ）线性相关.5.设a 1, a 2, a 3线性无关，证明： a 1 , a 1 + a 2, a 1+ a 2 + a 3也线性无关. 证明：设k1% +|<2(% + 僅2)+k3(% +2 乜3)=0,即(k1 +k2 +1<3)% +(k2 伙3)02 栋303 =0.由。sS线性无关，有 卜1 +k2 卄3 =0, 你2 + ks =0, ks =0.所以K =k2 *3 =0,即a宀乜2,%也2 5线性无关.6.问a为何值时，向量组% =(1,2,3)22 =(3,-1,2)03=(2,32)线性相关，并将当a=5时,用。j&q

4、uot;2线性表示.1-1= 7(5-a),解:7.作一个以(1，0，1，0)和(1，-1，0，0)为行向量的秩为4的方阵. 解：因向量(1,0,0,0) 与(1,0,1,0 )和(1,-1,0,0)线性无关，所以(1,0,0,0)可作为方阵的一个行向量，因(1,0,0,1 )与(1,0,1,0)，( 1, -1，0，0)，1(1, 0,0、-10,0)线性无关，所以(1,0,0,1)可作为方阵的一个行向量.所以方阵可为1丿.8.设，川4的秩为r且其中每个向量都可经,°2川，£线性表出.证明：旳,。2川， W, 5,川，tts的一个极大线性无关组.%,口2,川，5【证明】若

5、线性相关，且不妨设口1,口2,川, ( t<r)(1)是(1)的一个极大无关组，贝也然(2)是,口2,川,叫的一个极大无关组，这与a山2川,比的 秩为r矛盾，故务卫2川，必线性无关且为SS,川Qs的一个极大无关组.9.求向量组 =(1,1,1,k), "2=(1,1, k,1), °3=(1,2,1,1)的秩和一个极大无关组.W,®,。3按列排成矩阵必线性无关且为【解】把1 1 2L0 0 1T0 0 1T0 k-1 01 k 110 k -100 k-100 0 1Lk 1 10 1-k 1-k_001-k_0 0 0-11111111当k=1时,213为

6、其一极大无关组.A并对其施行初等变换1%口203的秩为当kM 1时，°宀、*3线性无关，秩为d =(2, a,b),使向量组%,«2,10.确定向量2=(1,2,1),【解】由于"3=(1,0,3，极大无关组为其本身.与向量组-1=(0,1,1), 卩3可由。123线性表出.2,0 1 1 1f12 011 2 0T0 -1 -1L1 1 T.0 0 0 1)的秩相同,1112A= (%,%,%)=1B= (P1, P2, d) = 1L0aLbj0L00a2而R(A)=2,要使 F(A)=F(B)=2,需a2=0,即a=2,又1121C = («1,0

7、2,(/3, 03)=0110L1-10 0 0 b a + 2要使d可由S,。2,。3线性表出，需b a+2=0,故a=2, b=0时满足题设要求，即 3 =(2,2,0).11.求下列向量组的秩与一个极大线性无关组(1) a 1=(1,2,1,3),a 2=(4,-1,-5,-6), a 1 = (6 , 4, 1, -1 , 2) , a 2= (1 , 0 , -1 , 3)； a 1= (1 , -1 , 2 , 4) , a 2= (0 , 3,=(2 , 1 , 5 , 6).解：(1)把向量组作为列向量组成矩阵A,(1-1-913-18一10丿可知：R(A)同的线性组合关系，

8、故与B对应的A的第 组.(2)=R (B)=2,a 3=(1,-3,-4,-7)；0 , 2 , 3 , -4) , a 3= (1 , 4 , -9 , -6 , 22), a 4= (7, 1,1 , 2) , a 3= (3 , 0, 7, 14) , a 4= (1 , -1 , 2 , 0), a 5应用初等行变换将A化为最简形矩阵B,则1119590B的第1, 2列线性无关，由于A的列向量组与1, 2列线性无关，B的对应的列向量有相1, a 2是该向量组的一个极大无关'61 17-1 1 55彳 2 -9 0"40 410-8 4010 - 11 55 712 -

9、90T12 -90T0 -8 40 1-13 -6-105 -15 -10 5 -15-1.2-4 223>0-8 40 1)0 0 0 0 丿同理,(1 2 -9 00 1 -5 -11450 0 101124111 2 -9 0"1 0 0 0 "0 1 -5 00 1 0 00 0 10 0T0 0 1 00 0 0 10 0 0 10 0 0 0 丿卩0 0 0丿=B0 0 0可知R( A )=R(B)=4, A的4个列向量线性无关,即a 1, a 2, a 3, 同理，a 4是该向量组的极大无关组X| + X2 = 3f1 0 3 1 2'<1

10、 0 3 1 2、<1 0 3 1 2、<1 0 3 1 2-1 3 0 -1 10 3 3 0 30 1 1 0 10 1 1 0 12 1 7 2 5T0 1 1 0 1T0 0 0 -4 -4T0 0 0 1 142 1406丿0 2 2 -4 -2丿0 0 0 0 0*J0 0 0 0A =1, a 3,可知R( a )=R(B)=3,取线性无关组aa 5为该向量组的一个极大无关组12.求下列向量组的一个极大无关组(1)解：,并将其余向量用此极大无关组线性表示a 3=(5,-2,8,-9), a 4=(-1,3,1,7)；a 3=(1,3,3,5), a 4=(4,-2,5

11、,6),(1)以向量组为列向量组成A,应用初等行变换化为最简形式.a 1=(1,1,3,1),a 2=(-1,1,-1,3),a 1=(1,1,2,3),a 2=(1,-1,1,1),(X5=(-3,-1,-5,-7).f1 - 1 5 -1-2 33 -11 3 -9 7可知，a 1,设a 3=X1 a设 a 4=X3 a所以(1 -1 5 -10 2 -7 40 2 -7 40 4 -14 8a 2为向量组的一个极大无关组氐 - X2 = 51x1 + X2 = 21+X2 a2,即3为-X2 =8X1+3X2 9 解得,2,即703 =二印一二&2,&4 =2 21+X4

12、 a3X1<1 -1 5 -11 0(2)同理,可知，(X1、可得:+ X2可得:+ X2-X23 127220 03匕，X2 一 2卜-X2 = -1 卜 +X2 =3|3x1 -X1X1 + 3X2 ：= 7 解得 X1 = 210 011 1 4 -33"11 1 4 -3、巾 0 2 1 -2 、1 - 1 3 -2 -10 -2 2 -6 20 1 -1 3 -1TT21 3 5 -50 - 1 1 -3 10 0 0 0 031 5 6 -7 丿0 -2 2 -6 2 丿,0 0 0 0 0 丿+ 2a2.A =B3=X1 a 1+X2 a 2a 2可作为A的一个极

13、大线性无关组，令a=1=3即 X1=2,X2=-1, 令 a 4=X3 a 1+X4 a 2,=4-2即X1 = 1,X 2=3, 令 a 5=X5a 1+X6a 2,可得： B X2 = 1 即 X1=-2,X 2=-1,所以 a 3=2 a 1- a 2a 4=a 1+3 a 2, a 5=-2 a 1- a 213.设向量组02,川,Gm与厲用2,川，Ps秩相同且卫2,川,能经臥用2,川，氏线性表出. 证明a 1,5,川,与卩1, P2,川，6等价.【解】设向量组耳叫川,与向量组P1,P2,川,Ps的极大线性无关组分别为8,5,川,5和（4）2）线性表出，那么（1）也可由（4）线性表出，

14、从而（3）可以由（4）线性P1,P2,川,Pr由于（1）可由（表出，即r(i =1,2,川，r).6=2 aij Pjj 土因（4）线性无关，即（4）可由（3）线性表出，从而它们等价，再由它们分别同（ 等价.故（3）线性无关的充分必要条件是I aij I丰0,可由（*）解出1）, （2）等价,Pj(j =1,2,川，r)所以(1)和（2）14.设向量组a 1, a 2,a s的秩为r 1,向量组3 1, 3 2,3 t的秩为r 2,向量组a 3 2,3 t的秩为r3,试证：1,1, a 2, a s, 3 1,maxr 1,r 2 w 3 w r1+r 2.a证明：设a s1,，Sr1为a 1

15、, a 2,，a s的一个极大线性无关组，%为为 a 1, a 2，3 t1, 3 t2, -1,3 2,3 t的一个极大线性无关组个极大线性无关组，则a s1,.a 1 ,%和3r1< r 3, r 2< r 3I卩 maxr1,r 2 <3, 及线性无关性可知：r3<1+2.又卩1,t1，3 tr2可分别由卩 k,r3可由a s1,a s， 3 1，3 2，3 t 的一 汗3线性表示，所以，sr1 ,3 t1，3 tr2线性表示a a aGa a aq +3a a a a 'a 1 a aa-1 1 -a 0 001- a 0 0TTa a 1 aa-1 0

16、 1- a 000 1-a 0e a a 1 丿卫-1 00 1-a >lo 0 0 1-a>以向量组为列向量,用行初等变换化为最简形式:组成矩阵A,15.已知向量组 a 1=（1, a, a, a） 试确定a的值.解：,a 2=(a,1, a, a) , a 3=(a, a,1, a) , a 4=(a, a, a,1)'的秩为 3,1由秩A=3.可知a1,从而1+3a=0,即a=- 3 .【解】(1)矩阵的行向量组叮。3矩阵的行向量组仪4-的一个极大无关组为16.求下列矩阵的行向量组的一个极大线性无关组P5311743 11221 7594531320215-17594

17、541341203-1325322048 J11;(2)1104-1口2的一个极大无关组为円宀5.17.集合 V = ( X1, X2li, Xn)I为什么？X1, x 2,川，Xn R且 X1 + x 2 +川+Xn = q是否构成向量空间？【解】由(0,0,0 ) V 知 V 非空，设。=(X1, X2,川,X n)忘0 =( y1, y2,川，yn卢 V2,k R ) 则a +P =(X1 +y1，X2 +y2,川，Xn+yn)ka =(kX,kX2川 |,kXn).因为(X1 +%) +(X2 +y2)廿H +(Xn +yn)= (X1 +X2 +ili + Xn) +(y1 +y2

18、+川 +yn) =0,kX1 +kX2 +川+ kXn =k(X1 +X2 +|+Xn) =0,所以。+卩Jjk八V1,故V1是向量空间.18.试证：由 W,1,。),。2 P。1)"3 W),生成的向量空间恰为R3.【证明】把s,。2®3排成矩阵鬥"2,。3),则所以12/3线性无关，故是戌的一个基，因而503生成的向量空间恰为£19.求由向量 =(121,0),2=(1,1,12)严3=(3,43 4)巴4=(1,121)严5 =(4,56 4)所生 的向量空间的一组基及其维数.02,03,0【解】因为矩阵A = ©1,12141,%)45

19、10L。-1-2-141-310-12-14-3L0 sss是一组基，其维数是=(1,0,1,1), p1 =(2,1,3,3), P2 =(0,1,1,1),证明：20.设 =(1,1,0,0),口2L(%,a2)=L(p1,p2).【解】因为矩阵A = (%,01102,-1301-11000-1L0由此知向量组-10-30010由习题15知这两向量组等价，从而1(% , 2 ) = L( A , 2 )3V21.在R中求一个向量，使它在下面两个基(1徑 1 =(1,0,1),比=(1,0,0)3 =(0,1,1) p1=(0,1,1), p2 =(1,1,0)卩3 =(1,0,1) 下有

20、相同的坐标.GGEot ot匕的秩都是2,并且向量组1' 2可由向量组 1'2线性表出.a a3 31' 2也可由12线性表出.所以1,Y =(%,勺，6)X2= (1,6, P3)X2X3 J11 X3 j-11【解】设丫在两组基下的坐标均为(X1,X2,X3)，即0L1即TxJ01dLXaL1X2-1-11 VxJ0dLx3jX21-2-<X1111X210001LX30,求该齐次线性方程组得通解片=k, X2 = 2k, X3 = -3k(k为任意实数)故V =x1£i +X2 e2 +X3® =(k,2k,七k).22.验证 8 m1,

21、0), 口2 R2,1,3), 口3 F3,1,2)为R3的一个基，并把 p1 二®0,7), P2二(_9, -8, -S)用这个基线性表示.【解】设A= (01,5,旳)，B= (P1,P2),又设p2 = X12O1 +X22O2 +X32O3p1 =捲1% +«1«2 +X31«3,即(际卩2)=(%,031宀2,X11)X21LX31X32记作则B=AX(AB)1-1:50-9 1810-9 117L00-13L0-132 !II2 :-29 1、_13 p ±初等行变换V J10L00 !II1 :-1-2,故"沁汕323L-1少,6) =(%,02,。3)1,52,为戊的一个基，且31-3 ,-2j即% =2% +32"3,7.设向量组a 1,(1) a 1能否由a(2) a 4能否由a 解：(1)由向量组a 4线性无关，所以a 2, a 3线性相关，向量组a 2, a 3, a 4线性无关，冋：2, a 3线性表示？证明你的结论.1, a 2, a