导数知识点归纳和练习

1、、相关概念1.导数的概念:，/ 、 y _f(Xox) f (%)f (x 0) = lim =lim °x 0 x x 0x0时，_y有极限。如果 _y不存在极限，就说函数在点 xx0时，而 y是函数值的改变量，可以是零。注意：(1)函数f (x)在点x0处可导，是指 xx0处不可导，或说无导数。(2) x是自变量x在x0处的改变量，x2 .导数的几何意义函数y=f (x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f (x)在点p (x0, f (x0)处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f (x)在点p (x0 , f (x0)处的切线的斜率是 f' (x0)。相应地，切线方程为

2、 y-y0=f/ (x0) (xx0)。3 .导数的物理意义 若物体运动的规律是 s=s (t),那么该物体在时刻 t的瞬间速度v=s (t)。若物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v (t),则该物体在时刻t的加速度a=v' (t)。、导数的运算1 .基本函数的导数公式：C 0; (C为常数)令 nn 1 x nx ;(sin x) cosx ；(cosx) sin x ；(ex) ex；(ax) ax ln a ；1 In x ; x自，1, logax-loga e.x2 .导数的运算法则法则1:两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和 (或差)， '

3、9;'即：(u v) u v .法则2:两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个一一 一 一. 一 . . .' ' '函数乘以第二个函数的导数，即： (uv) u v uv.法则3:两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母u u'v uv'的平万：-2- (v 0)。v v3 .复合函数的导数形如y=f (x )的函数称为复合函数。复合函数求导步骤:分解一一 >求导一一 >回代。法则：y/ I x = y/ I u I x或者 f (x) f ( )*(x).三、导

4、数的应用1 .函数的单调性与导数. 一一 一 ,.一 、一 . _一 .一 '(1)设函数yf(x)在某个区间(a, b)可导，如果f (x) 0,则f (x)在此区间上为增函数；如果' . _ f (x) 0,则f (x)在此区间上为减函数。(2)如果在某区间内 恒有f ' (x) 0 ,则f (x)为常数。2 .极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为0,极值点处的导数为0;曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；3 .最值：在区间a, b上连续的函数 f (x)在a, b上必有最大值与最小值。但在开区间( a, b)内

5、连续函数 f (x)不一定有最大值，例如 f (x) x3, x ( 1,1)。(1)函数的最大值和最小值是一个整体性的概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值，最小值必须在整个区间上所有函数值中的最小值。(2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附件的 函数值得出来的。函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在 端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点处必定 是极值。四、定积分1概念设函数f(x)在区间a , b上连续，用分点 a = x0<x1<今1&l

6、t;xi<xn = b把区间a , b等分成n个小nf区间，在每个小区间xi -1, xi上取任一点E i (i = 1, 2,n)作和式In = i=1( E i) Ax (其中4 x为小区间长度)，把n一即 x-0时，和式In的极限叫做函数f(x)在区间a , b上的定积分，记作：bba f(x)dx,即 af(x)dxnlim fn i 1(Ei) Axo这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间a, b叫做积分区间，函数 f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。1 m 1 mrlv. x基本的积分公式：0dx = C;x dx = m 1+c (me Q,

7、 mw 1)；x dx=ln lx +C; e dxxa= ex + G axdx = +C；cosxdx . 八 sin xdx= sinx+C;=cosx + C (表中 C均为常数)。2.定积分的性质bakf(x)dxbk f (x)dxa(k为常数)； a f(X) g(X)dXf(x)dx g(x)dxaabcb f(x)dx f(x)dx f(x)dx)aacavcvb )3 .定积分求曲边梯形面积由三条直线x=a, x= b ( a<b), x轴及一条曲线y = f (x) (f(x)> 0)围成的曲边梯的面积bS ,他心如果图形由曲线 y1 = f1(x) , y2

8、=f2(x)(不妨设 f1(x) >f2(x) >0),及直线 x=a, x= b (a<b)围成,bb那么所求图形的面积S=S曲边梯形AMNBS曲边梯形DMNC a fl(x)dxa f2(x)dx4 .牛顿一一布莱尼茨公式如果f(x)是区间a,b上的连续函数，、，一 ' 一 "并且 F (x)=f(x), 则【练习题】题型1 :导数的基本运算1 1、【例1】(1)求y x(x2 不)的导数； x x(2)求 y (jx 1)(2 1)的导数;xx(3)求 y x sincos一的导数；2 22(4)求y=的导数；sin x(5)求 y= S'&q

9、uot;X 5"x 9 的导数。x1 ， c 2斛析：(1) y x 1 2-, y 3x -.2 3xx.11(2)先化简，y . x-x 1 x2 x 2xx(3)先使用三角公式进行化简.,222/ ,、 ，(x )'sin x x * (sin x)' 2xsin x x cosx(4) v'='2-=2sin xsin x3J(5) y= 3x2 x + 5 9x 23113y = 3* (x2) x' + 5 / 9(x2) / = 3*x22时1题型2:导数的几何意义【例2】 已经曲线 C: y=x3x+2和点A(1,2)。(1)求

10、在点A处的切线方程？ ( 2)求过点 A的切线方程？ ( 3)若曲线上一点 Q处的切线恰好平行于直线y=11x1,则Q点坐标为切线方程为思考：导数不存在时，切线方程为什么?【例3】(06安徽卷)若曲线 y x4的一条切线l与直线x 4y 8 0垂直，则l的方程为()A. 4x y 3 0 B.x 4y 5 0 C . 4x y 3 0 D.x 4y 3 0【例4】(06全国II)过点(一1, 0)作抛物线y x2 x 1的切线，则其中一条切线为()(A) 2x y 2 0(B) 3x y 3 0(C) xy1 0(D) x y 1 0解析：(1)与直线x4y 8 0垂直的直线l为4xym 0,

11、即y x4在某一点白导数为 4,而.3.4 .y 4x ,所以y x在(1 , 1)处导数为4,此点的切线为4x y 3 0,故选a；2(2) y 2x 1,设切点坐标为(x°, y°),则切线的斜率为 2x0 1 ,且y° x0 % 1,于是切线方程为y2x0 = 0或4 ,代入可验正x0 % 1 (2x0 1)(x x0),因为点(一1, 0)在切线上，可解得D正确，选Do题型3:借助导数处理单调性、极值和最值 【例5】(06江西卷)对于R上可导的任意函数f (x),若满足(x1) f (x) 0,则必有()A . f (0) +f(2)2f (1)B. f

12、(0) +f 2f(1)C. f (0) +f(2)2f (1)D. f (0) +f 2f(1)【例6】(06天津卷)函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f (x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f (x)在开区间(a,b)内有极小值点()A. 1个 B. 2个C. 3个 D. 4个【例7】(06全国卷I)已知函数fx L_xeax°(i)设a 0,讨论y f x的单调性；(n)1 x若对任意x 0,1恒有f x 1 ,求a的取值范围。解析：(1)依题意，当x 1时，f (x) 0,函数f (x)在(1, + )上是增函数；当 x 1时，f (x) 0, f (x)在

13、(，1)上是减函数，故 f (x)当x=1时取得最小值，即有 f (0) f (1), f (2) f (1),故选C;(2)函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f (x)在(a,b)内的图象如图所示，函数 f (x)在 开区间(a,b)内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个，选A o(3): ( I )f(x)的定义域为(8 ,1) U (1,+8).对 f(x)求导数得 f '(x)=ax2+2 a(1-x)2axo(i )当 a=2 时，f '(x)=2x2(1-x)2 e2x, f'(x)在(一8,0), (0,1

14、)和(1,+ 8)均大于 0,所以 f(x)在(-00,1), (1,+ OO).为增函数;(ii)当 0<a<2 时，f'(x)>0, f(x)在(一8 ,1), (1,+ oo)为增函数.；a-2.a- 2, x2=、T；(iii)当 a>2 时，0<<1,令 f '(x)=0，解得 xi= a当x变化时，f '(x)和f(x)的变化情况如下表：x/a 2(-°°, -yjr)/a-2/a-27 a 7 a)号)(1,+ °°)f'(x)十一十十f(x)4:a2,，a 2f(x)在(

15、一巴一、/丁 )，(/.,1), (1,+ 8)为增函数,f(x)在(-a- 2aa 2二丁)为减函数。a(n )( i )当 0<aW2 时，由(I)知：对任意 xC(0,1)恒有 f(x)>f(0)=1 ;-1(11)当 a>2 时，取 xo= 2a 2£ (0,1)，则由(I )知 f(x o)<f(0)=1 ； a(iii)当aw。时,对任意x 1(0,1)，恒有普' >1且e ax>1, 1 x得：f(x)= 鲁4ax> =+人>i.综上当且仅当 aC ( 8 ,2时,对任意xC (0,1)恒有f(x)>1。1 x 1 x【例8】(06浙江卷)f(x) x3 3x2 2在区间 1,1上的最大值是()(A) 2(B)0(C)2(D)4【例9】(06山东卷)设函数f(x)= 2x3 3(a 1)x2 1,其中a 1. (I)求f(x)的单调区间；(n)讨 论f(x)的极值。解析：(1) f (x) 3x2 6x 3x(x 2),令 f (x) 0可彳导 x=0 或 2 (2 舍去)，当1 x 0 时， f (x) 0,当0 x 1时，f (x) 0,所以当x = 0时，f (x)取得最大值为 2。选C; (2)由已知信 f (x) 6x x