高中数学第三章直线与方程3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.33.3.4两条平行直线间

1、333-3.3.4两条平行直线间的距离课时彳业A组基础巩固1.直线7x+3y 21=0上到两坐标轴距离相等的点的个数为（）A. 3 B. 2C. 1D. 0解析：设所求点为（x, y）,则根据题意有7x+3y 21 = 0,|x| = |y|,21x= 一,10 解得21 x=T21 y=W21y=一彳，所以所求点的个数为2.6答案:2.已知直线3x+2y 3=0 6x+my+1 = 0互相平行，则它们之间的距离是 （）2 1'135 '137 ：13a 4 B.干 C. 5r D. 5r解析：: 3x+2y3= 0 和 6x+m什 1=0 平行,m= 4.，两平行线间的距离:

2、1 3-2d'32+2277赤2 1326 .答案：D3.经过直线x+3y10=0和3x-y=0的交点，且和原点间的距离为1的直线的条数为A. 0D. 3解析:x+3y-10=0, 3x y = 0,x= 1, 可解得y= 3,故直线x+3y10 = 0和3xy=0的交点坐标为（1,3）,且过该点的直线与原点的距离为1.分类讨论:若直线的斜率不存在,则直线方程为x=1,满足题意;若直线的斜率存在,则可设所求直线方程为y-3= k(x- 1),整理得 kx-y+3-k=0,因其到原点的距离为1,则有号三驾=1,即9 6k=1,解得k= 4,.1+ k34所以所求直线万程为 y- 3=-(

3、x- 1).3综上，满足条件的直线有 2条.答案：C4.入射光线在直线li： 2xy=3上，经过x轴反射到直线12上，再经过y轴反射到直线13上.若点P是1 i上某一点，则点 P到1 3的距离为()9,.5106.55-J2+解析：由题意知li/13,故点P到13的距离即为平行线li, 13之间的距离，li： 2x-y-3 = 0,求得 ： 2x-y+3=0,所以 d=2-3-JL =续.答案：C5.直线1在x轴上的截距为i,又有两点A(-2, -i), B(4,5)到1的距离相等，则1的方 程为.解析：显然1，x轴时符合要求，此时1的方程为x=i;设1的斜率为k,则1的方程为y=k(xi),

4、即 kx y k= 0.点A, B到1的距离相等，| 2k+ik|4k-5-k|,Vk2+i= w+z .|i 3k| = |3k5| ,，k=i,1 的方程为 xyi = 0.综上，1的方程为x= i或xyi = 0答案：x=i 或 xy i = 0i6.过两直线x 43y+ i = 0和3x+y3=0的父点)并与原点的最短距离为1的直线的 方程为.解析：易求得两直线交点的坐标为2,李，显然直线x=2满足条件.3 i设过该点的直线方程为 丫-弩=k x 2 ,化为一般式得2kx 2y+d3 k=0,所以"=i,解得k=.4+4k22,3所以所求直线的方程为x q3y+i = 0.一

5、1八一答案：x=2x 力y+1 = 07 .已知在 ABC中，A(3,2) , R1,5),点C在直线3xy+3=0上.若 ABC的面积为10,则点C的坐标为.解析：由|AB=5, ABC勺面积为10,得点C到直线AB的距离为4.设C(x, 3x+3),利用点到直线的距离公式可求得x = 1或x= 5.3答案:( 1,0)或5 8 38 .在直线 y=x+2上求一点 P,使得 P到直线11： 3x4y+8=0和直线I2： 3x-y-1 = 0 的距离的平方和最小.解析：设Rxo,xo+2) , P至ij11的距离为d1,P至12的距离为d2,令y=d2+d2 =|3 xo 4x0+ 2+ 8|

6、 2解析：设 12的方程为 y=x+b(b>1),则 A(1,0) , D(0,1) , Rb, 0), C(0 , b).|AD = 2, |BC= ,2b.梯形的高h就是A点到直线12的距离，|1 +0 b|b-1| b-1(b>1),由梯形的面积公式得+3 ' b = 9, b= ± 3.字=4, 2 人22111115 37 P0 77，7T .11 11 9.如图，已知直线11： x+y1 = 0,现将直线11向上平移到直线12的位置，若12, 11和坐标轴围成的梯形的面积为 4,求直线12的方程.又b>1,，b=3.从而得直线12的方程是x +

7、y3 = 0.B组能力提升1 .已知点A(0,2) , B(2,0).若点C在函数y=x2的图象上，则使得 ABC勺面积为2的点C的个数为()A. 4 B . 3 C . 2D. 1解析：设C(a, a2),由已知得直线 AB的方程为2+ y= 1,即x+y2= 0.点C到直线AB的一、,I a+ a2 2I , .距离为d = |广一-.由三角形 ABC勺面积为2,2/口 11 厂 I a+ a 2|得 及 abc= H AB , d = -x 2 x/2 x-22'：2=| a+ a2 2| =2,即a2+a=0或a2+a4=0.显然两方程共有四个根， 即函数y = x2的图象上存

8、在四个点使得 ABC勺面积为2.答案：A2.已知x+ y3=0,则弋x2 2+yn2的最小值为解析：设 Rx, y), A(2, 1),则点P在直线x+y3=0上，y+2= | PA.| PA的最小值为点., ,. |2 + 1 3|A(2 , 1)到直线x+y 3=0的距离d=-近十,L = 2.答案：23.已知平面上一点M(5,0),若直线1上存在点P,使1PM = 4,则称该直线为点 M的“相关直线”，下列直线中是点 M的“相关直线”的是 y=x+1; y= 2; 4x 3y=0.解析：直线为y= x+1,点M到该直线的距离d=|5 °T " =3啦>4,即点

9、M与该直线上的点的距离的最小值大于 4,所以该直线上不存在点 P,使| PM = 4成立，故不是点 M的“相关直线” 直线为y = 2,点M到该直线的距离d=|02|=2<4,所以点M与该直线上的点的距离的最小值小于4,所以该直线上存在点 P,使|PM=4成立，故是点 M的“相关直线”.直线为4x3y=0,所以点M到该直线的距离 d ="品2 =4,于是点M与该直线上 的点的距离的最小值等于 4,所以该直线上存在点 P,使|PM = 4成立，故是点 M的“相 关直线”.答案：4.已知正方形 ABCN边C丽在直线白方程为 x+3y13=0,对角线AC BD勺交点为R1,5), 求

10、正方形ABC耍他三边所在直线的方程.解析：点R1,5)到l cd的距离为d,3 d=10 l AB II l CD) 可设 l AB： x+ 3y + m= 0.点P(1,5)至IJ lAB的距离也等于d,| m 16| 310 10,又.江一13, . rnr 19,即 Iab： x+3y19=0. l AD_L l CD) 可设 l AD： 3x y+ n= 0,则R1,5)到l AD的距离等于 P(1,5)到Ibc的距离,且都等于d=310'|n2|31010,n= 5,或 n = - 1,则 Iad： 3x-y+5= 0, Ibc： 3x-y- 1 = 0.所以， 正方形ABC

11、由他三边所在直线方程为x+3y- 19= 0,3 x-y + 5 = 0,3x-y - 1 = 0.5.若 a, b 为正数，a+b=1,求证：25< ( a+2) 2+(b+2) 2v 13.证明：因为 a>0, b>0, a+b=1,所以点(a, b)在直线x+y= 1上，且落在第一象限内，(a+2)2+(b+2)2则表示点(a, b)与点Q2, 2)的距离的平方.点(一2, 2)到直线x+y1 = 0的距离为d=| 2 21| =rr2一5所以(a+2) +(b+2) >5_ 2 25 J =万.设直线x + y1 = 0与两坐标轴分别交于 A B两点, 则 A(1,0) , B(0,1),所以 |QA= «-2-1 2+ -2 2 =13,| QB = 7_-2 2+-2-1 2 = 13,所以 QA泥以AB为底边的等腰三角形.由于Q点与x+y1=