导数极值最值问题

1、导数在研究函数中的应用知识梳理一 函数的单调性1 、利用导数的符号判断函数的单调性：一般地，设函数在某个区间可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数；如果在某区间内恒有，则为常 数；2、对于可导函数来说，是在某个区间上为增函数的充分非必要条件，是在某个区间上为减函数的充分非必 要条件。3、利用导数判断函数单调性的步骤：求函数f(x)的导数f' (x).令f' (x)>0解不等式，得x的范围就是递增区间.令f' (x)V0解不等式，得x的范围，就是递减区间.4、已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单 调递增，则；若

2、函数单调递减，则”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解二 函数极大值、极小值1、极大值：如果是函数f(x) 在某个开区间上的最大值点，即不等式对一切成立，就说函数f(x) 在处取到极大值，并称为函数f(x) 的一个极大值点，为f(x) 的一个极大值。2、极小值：如果是函数f(x) 在某个开区间上的最小值点，即不等式对一切成立，就说函数f(x) 在处取到极小值，并称为函数f(x) 的一个极小值点，为f(x) 的一个极小值。3、极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点；若，则叫做函数f(x) 的驻点；可导函数的极值点必为驻点，但驻点不一定是极值点。4、判别f(c)是极大、

3、极小值的方法：若满足，且在 c的两侧的导数异号，则c是的极值点，是极值，并且如果在c 两侧满足“左正右负”，则 c 是的极大值点，是极大值；如果在c 两侧满足“左负右正”，则 c 是的极小值点，是极小值5、求可导函数f(x)的极值的步骤：(1)确定函数的定义区间，求导数 f ' (x)(2)求f(x)的驻点，即求方程 f ' (x)=0的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f' (x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号

4、即都为正或都为负，那么f (x) 在这个根处无极值三 函数的最大值和最小值在区间 a ， b 上连续的函数f 在 a ， b 上必有最大值与最小值。求闭区间上连续的函数的最大值和最小值的思想方法和步骤：1 )求函数 ?在 (a ， b) 内的极值；( 2)求函数?在区间端点的值?(a) 、? (b) ；( 3)将函数?的各极值与?(a) 、? (b) 比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。四 三次函数有极值导函数的判别式>03.3.1利用导数研究函数的单调性典例剖析:题型一求函数的单调区间例1已知函数y=x+,试讨论出此函数的单调区间.分析：讨论函数的单调区间，可以利用导数来判断

5、解答：y' =(x+) ' =1 -=令> 0. 解得x>1或xv 1.y=x+的单调增区间是(一8, 1)和(1 , +oo).令v 0,解得一1vxv0 或 0vxv1.y=x+的单调减区间是(一1, 0)和(0 , 1)点评：利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，再求函数f(x)的导数f' (x).,然后解不等式f, (x)>0,得递增区间，解不等式f' (x)V0,得递减区间.题型二 已知函数的单调性，求参数的取值范围例 2. 若函数在区间内为减函数，在区间上为增函数，试求实数的取值范围分析：常利用导数与函数单调性关系：

6、即“若函数单调递增，则；若函数单调递减，则”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解解答：函数求导得，令得或，因为函数在区间内为减函数，所以当时，又因为在函数区间上为增函数，所以当时，即实数的取值范围5 ， 7点评：已知单调区间求参数a 的取值范围是近年来常见的考查导数的一种题型。备选题例3：已知函数f (x) =2ax , xC ( 0,1 ,若f (x)在xC ( 0,1 上是增函数，求 a的取值范围；解：由已知可得 f' (x) =2a+, £ (x)在(0,1 )上是增函数，f' (x)>0,即 a>, xC(0,1.，a>-1.当a=

7、 1时，f ' （ x） = 2+对xC （ 0,1 ）也有f ' （x） > 0,满足f （x）在（0,1 上为增函数, ''' a' 1.评述：求参数的取值范围，凡涉及函数的单调性、最值问题时，用导数的知识解决较简单点击双基1.函数 y=x+cosx 在（-,+）内是（）A增函数 B 减函数 C有增有减D不能确定解：因为=1-sinx0恒成立，故选 A1.1. 数的单调减区间是（D ）A. （ B. CD. 以上都不对。解：（x） =3+2>0恒成立，不存在单调减区间，故选 D3 .函数（，则（）A.B.C.D.大小关系不能确定解

8、：（x） =-=<0时x<1,所以（为减区间，又，故选 C4 .函数的单调增区间是解：（x） =1+2cosx>0,所以cosx>-;单调增区间为（0,）5 .如果函数y=+lnx-ax在定义域为增函数，则 a的取值范围是解：定义域为（0, =x+-a0,即ax+在定义域（0,上恒成立，又x+最小值为2,所以a2函数的极大值和极小值第一课时典例剖析题型一 函数极值的求法例1已知在与时，都取得极值.（1）求的值；（2）若，求的单调区间和极值；分析：可导函数在点取到极值时，；求函数极值时，先求单调区间，再求极值。 2解：（1） f （x）=3x+2a x + b=0.由题设

9、，x= 1, x=不为f ' (x) = 0的解.3一齐=1-耳，2 1x(-0)- ,a=-5，b=-2. 33 332“、，、312c1c 3.(2) f (x)=x2x 2x + c,由 f (一1)=-1 -2+ 2 + c = 2,c= 1.f ( x) =x3-1x2-2 x + 1.x，2、(一0°, 3),2一巨，1（1,十8）f ' (x)十一十 f （ x）的递增区间为（一°°, 一 司），及（1 ,十00）,递减区间为（ ,1 ）. 33当x=|时，f（x）有极大值，f （2）=41；当x=1时，f （x）有极小值，f （1）

10、 =-1332 72评析：列表求单调区间和极值不容易出错。题型二（1）求的值；（2）求函数的递减区间.例2设函数的图象如图所示，且与在原点相切，若函数的极小值为，分析；从图上可得是函数的极大值点，函数的图象经过（0, 0）点且（0, 0）点，可先求出的值。解：（1）函数的图象经过（0, 0）点c=0 ,又图象与x轴相切于（0, 0）点，=3x2+2ax+b20=3 x 0 +2ax 0+b,得 b=032八 2 八y=x +ax , =3x +2ax当时，当时，当x=时，函数有极小值4，得 a=- 3(2) =3x2- 6x< 0,解得 0vx<2递减区间是（0, 2）评析：求出的

11、值后，利用导数就可求出单调区间。备选题 例3:已知函数+lnx, 求的极值.解；因为 f(x)=-, 令 f(x)=0 ,则 x=注意函数定义域为(0,),所以驻点是x=,当x(0,)时f(x)<0,为减函数，当x( , +)时f(x)>0,为增函数，所以x=是极小值点，白极小值为f()=(1+ln2),没有极大值。评析：注意函数的定义域点击双基1、函数 y=1+3x-x 有 ()A.极大值1,极小值-1 , B 。极小值-2 ,极大值2C.极大值3 ,极小值 2, D。极小值-1 ,极大值3解：=-3+3,令=0得*= -1或x=1,易得x= -1是极小值点，x=1.是极大值点，

12、故选 D,2、函数y=3+mx+x有极值的充要条件是()A m>0 B m<0C m0 D, m0解：=3+m=0则方程要有两解，函数 y=3+mx+x才有极值。所以 m<0,故选B3、f(x)在区间(a,b )的图像如右则f(x)在区间(a,b )内有极大值点()A 2个 B 。3个 C 4 个 D 1 个解:A,B,D三点左右导数异号，是极值点，其中A, D是极大值点B是极小值点。注意 C不是极值点，故选 A4、y=x+的极大值为 极小值为解：=1-=0 ,则x=-2或x=2, x=-2是极大值点，所以极大值为-4 , x=2是极小值点，所以极小值为5、若函数在处有极大值

13、，则常数的值为 ;解；，时取极小值，时取极大值，故常数的值为 6典例剖析：题型一函数最大值和最小值的求法例1 (1) 求f (x) =x33 x2 9 x +5在4, 4上的最大值和最小值.4.分析：求闭区间上函数最大最小值的方法为：和导数不存在的点及端点的函数值，求出导数为0的点和导数不存在的点， 求出导数为0的点比较它们的大小。解答：(1)f'(x) = 3 x26 x 9=3 (x +1) (x 3)令 f ' (x) = 0 得 xi = 1, x2 = 3f (x)在 x = 1 处有极大值 f ( 1) = 10f (x)在x =3处有极小值f (3) =22在区间

14、端点处f ( 4) = 71, f (4) = 15比较上述结果得：f (x)在4, 4上的最大值为f ( 1) = 10,最小值为f (4) = 71.(2)当时，.由得，.为不存在的点.由于.所以，函数的最大值是最小值是.点评：利用导数求最值问题是导数的一个重要应用。题型二函数最大值和最小值的综合应用例2.已知在区间上最大值是5,最小值是一11,求的解析式.分析：先讨论在区间上的单调性，再求最大值和最小值。解令=0,得若 a>0,0+0-极大因此f(0)必为最大值，f(0)=5,得b=5,若a<0,同理可得f(0)为最小值，.f(0)=-11, 得b=-11,评析：函数的单调性

15、要借助导数的符号，故要对 a的符号进行讨论。备选题 点击双基1、函数在区间上的最小值为(A B C D解：得而端点的函数值，得，故选 D2、函数 y=1+3x x3有()A.极小值2,极大值2B.极小值2,极大值3C.极小值一1,极大值1D.极小值一1,极大值3解：v =3 3x2=3 (1+x) 11 x).令 v =0 得 X1= 1, X2=1.当 x< 1 时，y' < 0,函数 y=1+3x x3是减函数；当1vxv1时，v' > 0,函数y=1+3xx3是增函数；当x> 1时，y' v 0,函数y=1+3xx3是减函数.，当x= 1

16、时，函数y=1+3xx3有极小值1;当x=1时，函数y=1+3x-x3有极大值3,故选D3、下列结论正确的是()A.若是在上的极大值点，则是在上的最大值B.若是在上的极大值点，则是在上的最大值C.若是在上唯一的极大值点，则是在上的最大值D.若是在上唯一的极大值点，且在上无极小值点，则是在上的最大值解：故选D4、函数的最小值为 。解：在恒成立，为增函数，故最小值为5、函数在区间上的最大值是 。解：，比较处的函数值，得课外作业一.选择题1、在区间上的最大值是()(A)-2(B)0(C)2(D)4解：，令可得x = 0或2 (2舍去)，当一1 x 0时，0,当0 x 1时， 0,所以当x=0时，f

17、(x)取得最大值为2,故选C2、已知f (x) =2x36x2+m (m为常数)在2, 2上有最大值3,则m值是()A. -37B.29C.-5解： 或 ，故，故选D 3、函数在内有最小值，则的取值范围是(A B C D解： ， 故选 B4、函数f(x)=x 2-4x+1 在 1 ， 5 的最大值和最小值分别为()A、 f(1) ， f(5) B 、 f(2) ， f(5) C 、 f(1) ， f(2) D 、 f(5) ， f(2)解：由二次函数可得，故选 D5、 方程的实根的个数是()A 3 B 2C 1D 0解：设 f(x)= ,方程f ' (x)=0的=4>0,方程的两

18、根,并且的系数大于0,则函数f (x)的图象为先增后减再增，且在 x=1取得极大值，在x=3 取得极小值，又f (3)=-10<0 ，由此可得出函数f (x) 的简图。可知方程x3-6x2+9x-10=0 有三个实根，故选A6、设M, m分别是函数在上的最大值和最小值，若，则A、等于0 B 、小于0 C 、等于1 D 、不确定解：因为，所以为常数函数，故，故选A7、 函数的最大值为()AB C D 解：令，当时，；当时， ，在定义域内只有一个极值，所以，故选A8、 函数，在上的最大、最小值分别为A. 、 B 、 C 、 D 、解： ，讨论点，故选B.二填空题9、函数的最大值是。解： ，当

19、时，的最大值是210、函数 f (x)= x 在 -2,2 上的最小值为解：=-1,x0时0; x0时=0是极小值点，也是最小值点。最小值为1。11、对于总有 0成立，则=.解：若x=0,则不论取何值，0 显然成立；当x0即时，0可化为，设，则， 所以 在区间上单调递增, 在区间上单调递减，因此，从而a4;三.解答题12、求函数在内的最小值.解：.在上，令得.当时，；当时，故在处取得极小值.则函数在点处取得最小值.13、已知在时有极大值 6,在时有极小值，求 的值；并求在区间3, 3上的最大值和最小值.解:(1)由条件知(2),x-3(-3,-2)2( 2,1)1(1,3)3十0一0十6由上表

20、知，在区间3, 3上，当时，时,14、已知：f(x)=log 3, xC(0,+ oo).是否存在实数 a、b,使f(x)同时满足下列两个条件：(1) f(x)在(0, 1)上是减函数，在1, +00)上是增函数；(2) f(x)的最小值是1,若存在，求出 a, b,若不存在，说明理由.解：设g(x)= f(x)在(0, 1)上是减函数，在1, +8)上是增函数1. g( x)在(0, 1)上是减函数，在11 , +8)上是增函数.x=1是g(x)的极小值点，.解得经检验，a=1,b=1时，f(x)满足题设的两个条件.思悟小结求可导函数f (x)的最值的方法：(1)求f (x)在给定区间内的极

21、值；(2)将f (x)的各极值与端点值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值生活中的优化问题举例知识梳理1、在生产实践及科学实验中，常遇到质量最好、用料最省、效益最高、成本最低、利润最大、投入最小等 问题，这类问题在数学上常常归结为求函数的最大值或最小值问题，通常称为优化问题。解决优化问题的常见 方法有判别式方法、平均不等式方法、线性规范方法、差分方法、利用二次函数的性质和利用单调性等。2、不少优化问题，可以化为求函数最值问题，对于函数的最值问题，多利用函数的图像、性质以及不等式 的性质来解题。其中求导数是求函数最大(小)值的有力工具。导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数 最大值

22、、最小值的实际问题。主要有以下几个方面：与几何有关的最值问题；与物理学有关的最值问题；与利 润及其成本有关的最值问题；效率最值问题等。3、利用导数解决优化问题的基本思路:利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系；(2)求函数的导数，解方程；(3)比较函数在区间端点和使的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值。解决生活中的优化问题应当注意的问题：(1)在求实际问题的最大值、最小值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际问题的值应舍去；(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使的情形，如果

23、函数在这点有极大(小)值，那么不 与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值；(3)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示，还应该确定函数关 系式中自变量的定义区间。典例剖析： 题型一面积最小问题例1如图，等腰梯形的三边分别与函数，的图象切于点.求梯形面积的最小值。解：设梯形的面积为，点P 的坐标为。由题意得，点的坐标为，直线的方程为。直线的方程为即：令 得，令 得，当且仅当，即时，取“=”且，时，有最小值为.梯形的面积的最小值为。评析：本题用不等式求最小值，也可以用导数求最小值。题型二 最大利润问题例2某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量 x(t)与每吨产品的价格 p(元/t)之间的关系式为：p=24200 x2, 且生产x t的成本为：R=50000+200x(元).问该产品每月生产多少吨才能使利润达到最大？最大利润是多少？(禾1J润=收入成本)解 : 每月生产x 吨时的利润为f ( x)=(24200 x2) x (50000+200 x)= x3+24000x50000( x>0).由 f ' (x)= -x2+24000=0,解得 xi=200,x2=200(舍去)., f(x)在0,+ 8)内只有一个