数学小课题研究教学案例数学拓展性研究课

1、数学拓展性研究课面对实际问题，能融会贯通所学知识、综合运用各种方 法、灵活处理和解决相关问题。在这里，不是数学课本知识 的简单运用，可能所用到的数学知识内容与现在数学课本的 知识内容距离较远， 也可能这些数学知识内容要高于课本知 识内容， 但又是学生可以掌握、 运用的数学知识内容。（3 3）人的头发有多少根执教日照港第一小学高光辉评析日照市教学研究室 李军一、课题的确定李老师来我校调研和老师们座谈时说：“可以尝试着让学生课下研究一些生活中司空见惯的问题，如人的头发有 多少根？、人民币的面值为什么只有1 1、2 2、5 5?老师及时指导，然后，由学生在课上展示交流研究成果”。大家听了都觉得挺新鲜

2、的。 李老师指定我和王艳老师开这个 头， 并问我： “和学生研究人的头发有多少根，行不行？”一开始我并不理解上这样的课究竟有什么目的，应该怎 么上，但在李老师的指导下，我渐渐地明白了：让学生数出 人的头发有多少根并不是这节课的主要目的，而是借助这个 方式，让学生经历探索发现的过程，发展思维能力，让学生 经历分析问题、解决问题的过程，培养学生应用所学知识分 析、解决问题的能力。但如何上这样的课我还是心里没底。尽管有这么多的担心和疑惑，也想象不出到时会是什么 样子，但李老师把任务交给我了，我便按努力照李老师的意 思去做，反正李老师告诉我这只是一个尝试，我也就没有什 么太多的顾虑。带着这样一种复杂的

3、心情和朦朦胧胧的感 觉，我思考着如何和我的学生进行研究。人都长有头发，学生也能说出头发的好多作用，而且四 年级的学生已有平均分和面积的知识储备。 但人的头发大约 有多少根呢？学生会不会对这个问题很感兴趣？书上能不 能查到这方面的内容呢？二、课题的布置与指导我先把研究任务布置给全班同学作初步的思考和交流， 然后挑出了平时比较喜欢钻研问题的十几个同学，分成了三 个小组，每个小组有 4 4、5 5 名同学，每个小组都有一位长头 发的女同学，可以就地取材，方便小组研究。由于研究的情 况和汇报的需要，在课前又对这三个小组的同学作了调整， 合成了两个大组。在刚刚布置给学生这一题目时，他们觉得受到了一定的

4、挑战，兴趣盎然、斗志昂仰。“老师，一根一根的数！ ”“那样好数吗？”几个人数了一下，“噢，这样不好数呀”“数不了，数不了！ ”“老师，全剪下来数数毛孔就知道了。 ”“老师，那不现实。” “也可以的。”“有没有更好的法子了” “那样比数头发还简单吗？”“老师，可以发明一种像银行点钞机一样的机器，过一 遍就数出来了” “谁来设计那样的机器？”“老师，那怎么数呀？”同学们，做任何一件事情，都不能束手无策，坐以待毙 老师相信，只要你们反复实践、积极动脑思考、探索，就一 定能找到解决问题的方法的，我相信你们一定能行！”他们研究的并不顺利，以致几天都没有找到一个合适的 方案，仍旧数不出有多少根。学生没有任

5、何类似的经验，我 也是。学生在研究，我也在研究。没有一点可以借鉴的东西，我只能及时向李老师报告、请教，报告学生的研究情况，请 教接下来该怎样办，在李老师的指导下，我的心里稍稍有了 底。而且随着学生研究地不断深入，我终于看到了一丝又一 丝的曙光，学生乐于研究、主动探索的那种精神，在我眼前 不断闪亮，不断令我惊喜，这在平时的数学课中是难以见到 和感受到的。他们几个人的那种坚韧，让我为之感动，反反 复复、反反复复的探究、汇报，我想那种精神不正是做研究所需要的吗?三天后，我给了他们一段尼龙绳，绳子是三股尼龙丝扭 在一起的，还给了他们一顶帽子，帽子上面有八根小辫子，我告诉他们，回去好好研究一下，看能不能

6、有所启发。方案终于有了，而且两个小组的方案不一样，这让他们 兴奋不已。我祝贺他们的成功，告诉他们尽量让自己的方 案完善起来，要汇报给其它同学。在完善已有方案的同时，他们又提出了利用面积知识也 可以数出头发有多少根。三、课堂教学实录（一）交待问题，创设探讨氛围师：同学们，前几天大家已经初步讨论了 入的头发多少 根”这个问题，大家都认为头发太多，不好数，还有的同学 觉得，根本就不可能数出来。我们两个研究小组的同学，经 过课下反复研究，终于找到了数头发多少根的方法，但是，他们的方法到底是否可行，还需要同学们用自己的智慧，来 帮助作出判断。大家想不想知道他们是怎样数的？生：想。师：让我们用掌声请出一组

7、的同学给大家作汇报。【评析：开门见山，将“人的头发有多少根”这个课题 提了出来，把部分不同意见简单交代了一下，为引发不同思维的碰撞做了铺垫，将课前研究小组已经做了充分研究进行 了说明，拉开了在课堂上展示交流研究成果的序幕。 】（二）汇报交流1 1、第一小组汇报交流李超： 大家好！ 我们小组先把李馨月同学的头发从中间平 均分成二份，用皮筋各自扎起来，然后再把其中的一份分成 两等份，各自扎起来，再把其中的一份分成二等份，依次类 推，我们一共等分了八次，最后的一束头发就比较少了，可 以数出来，我们数了数有 142142 根。（边汇报，边演示。 ）马小涵：剩下的头发就不用数了， 我们可以通过计算来得

8、到头发的根数。同学们知道怎么算了吗？（停顿）用 142142乘 2 2 乘 2 2 乘 2 2 乘 2 2 乘 2 2 乘 2 2 乘 2 2 乘 2 2 就可以算出头发的根数 是 3635236352。王振洋：你们这样分有什么根据吗？马小涵：有呀，不就是平均分的知识嘛。 把一大份平均分 成 2 2 份，拿其中的一小份乘 2 2 不就是原来的吗？王振洋：那你们一共乘了几个 2 2 ？马小涵：因为我们一共平均分了八次，所以我们就乘了八个 2 2,这样就是原来的头发数了。李玉：你们小组是怎样想到这种方法的？李超：一开始我们也没有想到这种方法，因为头发太多我 们怎么也数不出来， 但是， 后来我们从老

9、师给我们的帽子上 受到了启发。 大家看，就是这顶帽子， 上面扎的小辫子不就 是平均分后变细了变少的么？变细变少，我们就可以数出来 了。王旭阳：你们是怎样做到平均分的？李超：我们用手呀，两边分得一样多。王旭阳：我觉得用手分得不一样多， 因为多点少点根本就 试不出来。生：有道理。用个什么样的仪器分就好了。李超：那我们课下再去想想，想好再跟大家汇报。生：好。师：同学们，从一组同学的汇报当中，我们不难发现，他 们采用了化整为零、变多为少的策略，巧妙地运用我们学过 的平均分的知识解决了这一难题，有内容有方法，很值得我 们去学习。刚才，王振洋和王旭阳两位同学提出了自己的疑 惑，这很好。对于用手分的方式，老

10、师也觉得不是很科学， 同学们课下可以继续对这个问题进行思考。师：让我们用掌声对他们的研究汇报表示感谢。【评析：第一研究小组用“平均分”的知识数头发，在课 下进行了实际操作并进行了计算，得出了真实的数据，能够 清楚地向同学们汇报研究方法和过程，面对质疑能从容地说 清楚，说明课前做了充分准备，研究是比较深入的，面对棘 手的问题，他们也能虚心接受，愿意继续研究，表现出了实 事求是的态度和严谨的精神。非研究小组的同学能够大胆质 疑，善于质疑，说明课题能够吸引住学生，呈现出“打破砂 锅问到底”的热闹场面。】2 2、第二小组汇报交流胡彦坤：先数出 200200 根头发，扎成一束，然后取同样多（粗）的一束，

11、把他们并在一起后重新扎成一束，再取与现在这束 一样多（粗）的并在一起，重新扎成一束，一直这样并下去， 我们一共并了八次，最后还剩 6 68 8根没有并进去。王一帆：这样就可以用 200200 乘 2 2 乘 2 2 乘 2 2 乘 2 2 乘 2 2 乘 2 2 乘 2 2 乘 2 2 再加上 6868 就得到头发的根数是 5126851268。李小玉：你最后为什么拿 200200 去乘那么多的 2 2 呢？王一帆：一开始数出了 200200 根，再并上同样多的，那不就 是 400400 根嘛，400400 也就是 200200 乘 2 2,再并上与 400400 根一样多 的，就得到 800

12、800 根，也就 40400 0乘 2 2,依此类推，并了八次， 就乘 8 8 个 2 2,最后加上余下的那 6868 根，就是总数。你明白了 吗？师：同学们都明白了第二小组是怎样数的吗？生：明白。师：第二小组与第一小组的方法一样吗？王旭阳：不一样。一组是由一个整体渐渐分小了，而二组是由一小束一步步变大的。宁小远：都是用到了平均分的知识。一组正着用，二组反 着用的。【评析：第二研究小组也是用“平均分”的知识数头发的， 但和第一组不大一样，在老师的适时点拨下，学生自己得出 结论，即起到了梳理的作用，又能给学生以有益的启发，还 能让学生学会归纳总结这种重要的数学方法。】（三）课上合作探究师：“两个

13、小组的同学数的都是长头发，那么短发怎么数 呢？”生：先测出发区有多少平方厘米， 再数出一平方厘米有多 少根头发，然后相乘就得到多少根头发了。师：这是应用了什么知识？生：应用了面积方面的知识。师：我们分工来做怎么样？ 一组数一平方厘米有多少根头 发，二组测出发区面积。因为时间关系，两个小组还没有答案，就请他们课下合作， 完成这一方案。【评析：在两个研究小组展示交流完研究成果后，学生们的思路也就被打开了，老师话锋一转，将长发改为短发，预 示着不能一撮撮地数头发了，“面”显现了出来，使学生能够想到采用面积的方法去解决这个问题。】（四）总结师：英雄们也不知道他们有多少根头发，也不妨碍他们成为英雄。那么

14、我们今天研究头发有多少根，有意义吗?（不少学生一愣，是没有什么意义，再一想，恍然大悟， 明白了这节课并不是真的要数出有多少根头发，而在乎于过 程，在乎方法，在乎于那种研究的氛围与精神。 ）【评析：这是本节课的“题眼”，使学生明白数出头发有 多少根不是根本目的，而是让学生经历研究的过程，找到解 决问题的办法。】四、课后研究与成果展示交流课上的两种方案基本成型，经过简单修改后，学生就写 出了研究的过程，形成了书面报告，向全班作了交流。对于 第三种方法，也就是用单位面积知识来计算头发的根数，课 上没有完成，研究小组的同学，在课下继续合作。一平方厘 米的面积大约有多大，在头上怎么确定，又如何数出发区有

15、 多少个一平方厘米呢？头皮是凸形的，不是平面图形，不好 数。于是，我又动员全班同学，帮助出谋划策，但都不太理 想，毕竟学生刚接触这样的研究课题，方法策略很少，我就 进一步引导他们，能不能让凸的变平？学生就想到了软的东 西是可以变平的， 他们用一张透明的塑料纸贴在头上，标好 大小后展开，就可以测量出大约是多少平方厘米。解决了这 一关键问题，剩下数一平方厘米有多少根头发就相对简单 了。研究小组探究的精神也激发了其它同学的参与热情，他 们也加入到了研究行列，一起出主意、想办法，大家不断努 力，解决了一个个问题，克服了一个个困难，最终完成了我 们的研究任务。五、课后反思人的头发大约多少根这节课，本身并

16、不是真正要弄 清楚人的头发究竟有多少根，而是要研究该如何去数，能用 到什么数学知识、数学思想去解决这一问题，关注的是研究 的意识、研究的过程和研究的方法，目的是要鼓励学生在研 究中学习数学，并努力使学生形成习惯。这节课无疑是成功 的。因为，在这节课后，我真切地感受到同学们对数学研究 的兴趣越来越浓，开始有意识地去思考、研究一些问题，并 且对我更加亲近，这不正是我们想要看到的吗？学生真的很棒，只要给他一缕阳光，给他机会，你就一 定能收获整个春天。我从学生身上读懂了小课题的内涵，看 到了希望，也更坚定了我对数学小课题研究的信心。【总析：这是第一节数学小课题研究课，高光辉老师是 第一个吃螃蟹的人。这

17、节课获得了成功，成功之处主要体现 在以下几个方面。1 1、充分体现了学生的主体地位，学生真正成了数学学 习的主人。由问题引导着学生去深入研究，解决问题的办法 是学生自己想出来的，数据是学生自己计算出来的，向同学 说明道理也是学生自己准备的。问题是，什么才能激发学生的兴趣？什么样的兴趣才是有意 义、有价值的？我想这节课可以回答这个问题，“人的头发有多少根？”能够激发学生的兴趣，而且激发学生对数学的兴 趣，并且乐此不疲、欲罢不能。3 3、 使合作交流、动手实践落到了实处。新课程倡导自主探索、合作交流、动手实践等新的学习方式，在许多的课堂上，合作交流没有实效，动手实践流于形式。在这节课上，可以看到学

18、生为了得出研究成果，研究小组的成员为 了一个共同的目标通力合作，互相帮助，为了得出真实的、 经得住考验的数据，他们亲自操作，动脑和动手实现了真 正的结合。4 4、 增强了继续改革的信心和勇气。现在来看这节课，有不少的缺点和不足，如，课堂教学时间 2020 分钟左右，仅仅 是学生展示交流研究成果，没有进一步开阔学生的视野，研究成果比较简单，思维含量不够高，课堂上的辨析也略 显不足。这节课是数学小课题研究的起点，这节课获得成 功，使我们明白：这样来上课是可以的！使我们树立了信 心，增强了勇气。】(4(4 )电风扇里的数学执教日照市实验学校2 2、激发了学生的数学兴趣“兴趣是最好的老评析日照市实验学

19、校王琳一、课题的确定二年级下学期，学生刚刚学习了锐角和钝角的有关知 识，并且知道用直角来比较角的大小，比直角大的是钝角， 比直角小的是锐角。有一天，一位学生问我：“老师，电风扇两片之间比直角大吗？但是，我有时候看到它比直角小 呀”问题提得好，看来学生还是经过一番观察的，可是观察 得不够仔细，他还没有真正的明白三个片的电风扇，两片之 间的角肯定是钝角。于是我决定让学生动手、动脑来验证一 下：三个叶片的电风扇，两片之间的角是不是一定是钝角， 定下了研究课题电风扇里的数学。我想这节研究课的主要目的是：（1 1）使学生能辨认锐角和钝角，能用自己的语言描述锐角和钝角的特点；（2 2）使学生经历观察、操作

20、、研究的过程。培养学生的观察能力、实 践能力、分析能力和抽象能力，进一步建立空间观念，丰富 学生的形象思维；（3 3）使学生通过研究，在研究过程中，通 过看、说、画、分、互问、互答等活动形式，学会与他人合 作和交流；（4 4）通过研究，使学生获得成功的体验，建立自 信心。二、课题的布置与指导1 1、课前分组：研究小组成员 1515 人、非研究小组成员 3030第一小组 4 4 人 测量证明； 第二小组 5 5 人 平均分证明；第三小组 6 6 人 角度证明；观众 参评2 2、明确研究任务。（1 1 ）观察了解普通的电风扇三个叶片之间的角都是什么 角。（2 2） 三个叶片的电风扇是不是两片之间都

21、是钝角；四片、 五片及多片的叶片之间的角也是钝角吗？（3 3） 可以自己动手剪一剪、画一画，并探讨出普通的电 风扇三个叶片之间的角有什么特点，为什么都是钝角？（4 4） 介绍说明简单的原理，准备简单的验证资料。三、课堂教学实录（一）复习旧知师：我们学习过哪些角？生：锐角、直角和钝角。师：你们是怎么比较的？生：用三角板里的直角。比直角大的角是钝角，比直角 小的角是锐角。师：同学们在生活中发现了很多的角。谁知道，两个叶 片之间的角是什么角？（板书：画一个普通的电风扇） 生：是钝角。师：你怎么知道这个角是钝角的？有些爱动脑的小朋友在课下进行了研究。【评析：从生活中引入“三个叶片的电风扇，两个叶片 之

22、间的角是什么角”这一问题，学生很感兴趣。】（二）小组汇报1 1、第一小组汇报研究成员：我们小组用测量的方法，也就是用直角来测 量。我们测量的结果是：电风扇的两个叶片之间是钝角，因 为它比直角大。观众：你们是怎么测量的呢？回答：我们将电风扇卸下来，用大的直角测量出来的， 或者用梯子爬上去测量也可以。学生：我认为这种方法很危险，也很笨。回答：谢谢你们给我的建议，我们课下用折尺做了一个 模型，同样可以测量出来。（这个小组的方法很直观，同学们都明白了，也认同了。）【评析：观众与研究小组成员之间进行思想的碰撞，学 生旁征博引、取长补短，使不太成熟不太科学的研究方式得 到改进与完善。】2 2、第二小组汇报

23、研究成员：我们已经学习了平均分，可以看到：普通的 电风扇三个叶片之间的角都是同样大的，也就是说我们可以 把他们平均分成 3 3 份。（实际操作说明）（1 1）我们准备了两个同样大小的圆形，分别把它们平均 分成了 3 3 份和 4 4 份。（分别把这几份剪给大家看，4 4 份的三个 直角分别与 3 3 份的比较）得出的结论：它的每个角都比直角大，那么它肯定是钝角。（2 2）我们还准备了一个小模型 一一一个顶点固定了 4 4 根 长纸条。大家看，这是 4 4 张长条的，如果我们把其中的一个 去掉，还剩三个。这三张纸条的角都向外扩大。 那么就是说： 三张条的角要比四张条的角要大。这说明三个叶片的电风

24、扇，每个叶片之间肯定是钝角。观众：那他们的意思就可以说， 把一个圆平均分成 3 3 份， 其中的一个角就是钝角，再用直角来比较。对吗？回答：是的，你们可以拿出一张纸来， 把这张纸平均分。（同学操作）（这组的方法学生也都能明白。）【评析：从研究小组准备的学具、自制的模型可以看出 孩子研究问题的认真劲儿，低年级学生已经会通过最原始最 质朴的研究方式一一实验操作去研究问题了。 】3 3、第三小组进行汇报研究成员：我从我爸爸那里知道，周角是 360360 度，电风 扇的三个叶片之间是平均分的。我们把 360360 平均分成 3 3 份， 每份 120120。那么每个角是 12120 0度，直角是 90

25、90 度，这就证明了 两个叶片之间的角是钝角。小组成员补充：360360 是由 3 3 个百 6 6 个十组成的，6 6 平均 分成 3 3 份，每份有 2 2 个。6060 平均分成 3 3 份，每份里面有 2020。 那么 100+20=120100+20=120，意思就是说 360360 度平均分成 3 3 个份，每个 角 120120 度。师：同学们通过自己的聪明才智，想出了这么多的方法。其他同学还有方法吗？生：我们可以把电风扇用照相机照下来，再用直尺测量。（学生讨论这种方法）【评析：观众敢于质疑，敢于发表自己的见解，提出自 己的建议，积极参与到问题的研究中来，集思广益，形成了 浓厚的

26、研究氛围。】（三）生活中的应用师：刚才我们证明了普通的电风扇两个叶片之间的角是 钝角，那么我们看看老师搜集的这些电风扇两叶之间各是什 么角。（课件展示）学生总结：大于 4 4 个叶片的角是锐角，小于 3 3 个叶片的 角是钝角。【评析：由普通的三叶电风扇过渡到研究讨论特殊的多 叶电风扇，知识向更深层次递进。 学生深切体验到运用数学 知识成功解决问题的愉悦。 】师：同学们在生活中还见过类似的现象吗？（课件展示）生：风车、水车师：我们学习数学知识就是希望它能帮我们解决生活中的问题，让我们做生活中的有心人，数学会使我们的生活更 精彩。四、课后研究及成果展示交流学生展示自己研究成果的资料。电风扇叶片之

27、间的是什么角与叶片多少有关叶片数3 34 45 58 8两片之120o120o （钝9090 o o （直72o72o （锐450450 （锐间的角角）角）角）角）五、教学反思本课主要是组织学生对“电风扇三个叶片之间是什么 角？”这一问题作深入研究，弓 I I 导学生用所学的知识来验证 这个角一定是钝角，进一步理解锐角和钝角的不同。在这之 前学生还没有学过角的度数，也不知道内角和，但是，学生 通过研究这个课题，学到以后要学习的这些数学知识，真没 想到二年级的孩子能够有这样的能力。是小课题研究激发了 他们的兴趣，开发出了他们的潜能。也让我意识到，数学课 本上的有些内容也完全可以提前让学生学习。【

28、总评：纵观本课教学，有以下特点。1 1、本课选题来源于学生的真实问题。这个学生很有数学 眼光，也很善于思考，他提的这个问题很有实际意义和研究 价值。选定这个课题是对学生的肯定，激励学生继续发扬质 疑解难的优秀学习品质。2 2、研究精神要从娃娃抓起。低年级的学生，虽然没有很 多的知识储备，但有强烈的好奇心，对生活中的很多事物充 满了探究兴趣。本节课，教师抓住低年级学生的特点与实际 教学相结合，让学生去研究生活中的这一数学问题，或许他 们的研究不够成熟，或许语言表述不够到位，或许研究成果 不够完美，但是通过课题研究，学生各方面能力都在不断的 提高，研究意识在不断增强，未来的数学家、发明家在研究 的

29、氛围中成长。3 3、体验到数学的价值。学生通过亲自研究、探索，成功 地运用数学知识解决实际问题，让学生深刻感受到了学习数 学是有用的，是有趣的，激励学生用数学的眼光去观察生活 中的实际问题。】（5 5）折纸的秘密执教日照市第二实验小学贺培美评析日照市第二实验小学李晔、课题的确定一次偶然的机会，我发现班里的很多女孩子喜欢课下折纸。我灵机一动，纸不就是动手操作的最好对象吗？不就是很多数学内容的最好载体吗？很多小学生从幼儿园时就开 始折纸了。折纸可以锻炼手指的灵活性，可以发展学生的动 手能力、观察能力，强化注意力，能培养学生有步骤有顺序 地认真做事的良好习惯。由于折纸的花样很多，可以说千变 万化，通

30、过折纸还可以发展学生的创造力、想象力和形象思 维能力。折纸的时候常常和同学、老师一起交流，不仅增进 同学间的友谊，而且能培养学生良好的口头表达能力。更重 要的是，折纸还能辅助学生的学习，把抽象的分数、几何图 形等知识，利用形象的折纸，使学生能直观感知，加深理解， 进一步培养学生的空间想象能力。二、课题的布置与指导初步选定折纸这个课题后，我在班里进行了布置， 让学生围绕这个课题自主选择研究的具体内容，然后书面上 交给数学组长，再由数学组长反馈给老师。老师根据学生选择的具体研究内容，大致分成了六个研究小组，分别研究： 一、折纸中的对称现象；二、折纸中角的变化；三、折纸中 的面积问题；四、折（剪）纸

31、中的周长、面积变化问题；五、 折纸中的分数问题；六、折纸中特殊图形的特征问题。划分 小组后，由学生自荐或推选出各组的研究组长， 由组长带领，搜集资料、小组内讨论、形成结论、整理成文字。在这个环 节中，老师整体把握，适时调控。比如帮助解决各小组研究 中出现的疑难问题、校正研究的方向、指导研究的方法、帮 助总结提升，帮助解决各小组同学之间的团结协作等问题。三、课堂教学实录（一）导入师：老师发现，咱班很多同学喜欢折纸，能告诉老师原 因吗？生 1 1:折纸能丰富我们的课余生活，好玩，有趣。生 2 2 :折纸能让我们手更巧心更灵，有益。师：嗯，折纸不仅有趣、有益，而且其中还隐藏着很多 的秘密呢！ （板书

32、：折纸）同学们，想不想在玩中学知识， 在学知识中玩呢？生：（兴致盎然地）想。师：咱班已经有一些同学折纸折出了名堂，看，他们已经跃跃欲试了。让我们一起分享一下他们的研究所得，好吗？生：（急不可待地）好！师：有请一组同学。【评析：兴趣是最好的老师。结合学生的兴趣引入课题， 一开始就紧紧吸引了学生的注意。教师使用激励性的话语， 更激起了学生的好胜心和探究欲望，做好了这堂数学展示交 流课的心理铺垫。】（二）汇报交流1 1、折纸中的对称现象（一组）生 1 1:我们小组在折纸中发现了一种现象，就是把一张 长方形纸沿着某一条直线对折，对折后两侧的图形能够完全 重合。经过查找资料，我们知道，这种图形叫做轴对称

33、图形， 那条折痕叫对称轴。那么，什么样的图形才是轴对称图形， 轴对称图形的对称轴在哪里？有多少条？我们小组就折纸 中的对称问题进行了研究探讨。生 1 1:哪位同学说一下，我们已经学过了哪些图形？生：长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形生 1 1 :那咱就先探讨一下长方形。（投影并演示）生 1 1:同学们看清了吗？长方形沿着这两条直线对折， 直线两侧部分就会完全重合。因此，长方形是轴对称图形， 而且有 2 2 条对称轴。大家有什么疑议吗？生：我觉得可能还有。生 1 1 :（指着他）那你上来折折看生：（折了半天，没折出来，不知所措）生 1 1:看起来，你有些为难了，（面向同学们）大家说， 还有

34、吗？生：（齐声）没有了。生 1 1:接下来，我再和大家一起折一折正方形。（投影并演示）同学们看，和长方形不同的是，沿着正方形的两条对角 线也能使左右两部分完全重合，所以正方形有四条对称轴。生 2 2:我和大家折一折等腰三角形，等边三角形，等腰 梯形，请同学们仔细观察，它们是否是轴对称图形？如果是， 各有几条对称轴？（投影并演示）生 2 2 :通过演示，我们发现这些图形也都是轴对称图形，分别有 1 1 条、3 3 条、1 1 条对称轴。生 3 3:刚才，我们组两个同学折的是咱们学过的图形，下面我和同学们折一折我们见过但没学过的图形。（投影并演示）生 3 3:通过对折，我们发现了这些图形也都是轴对

35、称图形，而且还折出了它们的对称轴， 知道了各自的对称轴条数同学们，有什么疑问吗？生：刚才你们小组折的都是直线图形，曲线图形有轴对 称图形吗？生 4 4:我们小组由我具体探讨了如下几种曲线图形，也 发现了轴对称现象。生 4 4:当然， 除了以上这些， 还有其它比较复杂的图形 也是轴对称图形，希望同学们和我们一起观察研究。生：除了你们小组研究的这些特殊图形，其它一般的三 角形、平行四边形、梯形等也是轴对称图形吗？生 5 5:我们小组经过折纸发现， 那些都不是轴对称图形。 经过反复折叠各种图形发现，轴对称图形至少有2 2 条边或 2 2个角相等。当然，有 2 2 条边或 2 2 个角相等的图形不一定

36、是轴 对称图形。大家课下可以折折看，实践出真知嘛。师：一组同学精彩的汇报和演示，令老师和同学们耳目 一新。相信二组同学的研究所得也会毫不逊色，有请二组同 学。【评析：一组同学分工明确，配合默契，由浅入深地汇 报了他们的研究所得，而且中间穿插和其他同学的互动，让 其它同学也进入到他们的研究中，一起分享成功的乐趣。真正实现了学生课题自己猜想、论证、汇报的一体化过程，体 现了学为主体的新课程理念。】2 2、折纸中角的变化（二组）生 1 1:我们小组在折纸中发现，通过不同的折叠方法，角的数量可以发生变化。我主要研究的是，如何折叠一张长 方形的纸，使角的个数增加。（投影并演示）1 1、增加 1 13 3

37、、增加 3 3 个角或 4 4 个角生 1 1:通过折叠发现，在长方形的 4 4 个角上每折掉一个 角，就会增加 1 1 个角。生：那么，照你们的结论，如果继续在已有的角上折角， 那么原图形角的个数，就会不停增加，是吗？个角2 2、增加生 1 1:你提的问题很有深度。是的，如果这张纸很大很 大，依次这样折下去，就会增加越来越多的角。同学们可以 折一折，眼见为实啊。生：（惊讶，跃跃欲试。）生 2 2:我主要研究的是如何折叠一张长方形纸减少角的 个数。生 2 2:减少角的个数，只需要让它有3 3 个角即可，所以无论怎么折，只要折出一个三角形就行了。生 3 3 :我主要研究的是角个数不变的情况。并演

38、示）生 3 3:通过折叠我们发现，要想使角个数不变，只要折 出的图形是四边形就可以了。师：二组同学的汇报也可圈可点，那么，三组同学在折纸中又有什么新发现呢？有请三组同学示）【评析：二组同学选取“折纸中角的变化”进行研究， 分别研究了角增加、角减少、角不变的情况，把这些散落在 同学心中感性的知识，进行了理性的梳理、归纳、总结。材 料展示充分，操作正确，讲解明晰、透彻，使学生不仅学到 了知识，更掌握了研究问题的方法，受益匪浅。】3 3、折纸中的面积问题（三组）生 1 1:以长方形纸为例，女如何折出它的呢？21我折出的长方形的面积是原图形的（投影并演示）1生 2 2 :我折出了平行四边形的面积是原图

39、形的生 2 2:先对折找到两条边的中心点，然后再分别沿着这两个中心点和对面的顶点折出一条线，折出的平形四 边形面积就是原图形的一半。1生 3 3:我折出了梯形面积2原图形的 。（投影并演示）生 3 3:把一张长方形纸沿着长边或短边任意折成两个长 方形，然后再分别折出这两个长方形的对角线（注意两条对 角线不能相交）或一个长方形上下对折，另一个长方形沿着 对角线折，这样折成的梯形面积就是原图形的 。生 4 4 :我折出三角形的面积是原图形的 。生 4 4:任意选取长方形一条边上的点，和对面的两个顶点连起来，折成的三角形面积就是原图形的一半师：看三组同学灵巧的手在一张张纸上上下翻飞，折出了这张纸各种

40、各样的，四组同学也迫不及待了，有请四 组同学【评析：三组同学，以“如何折出二分之一”这个角度 为切入点，通过折纸这一简单的操作形式，串起了长方形、 平行四边形、三角形等常见图形的面积问题，并把抽象的分 数问题形象化了，渗透了“数形结合”的思想。】4 4、折纸中的周长、面积变化问题（四组）是（投影并示）（投影并演示）1生 1 1、一张长方形的纸，上下左右各对折一次，周长是 原来的 。生：为什么？能说明原因吗?生 1 1:嗯，因为这样对折后，长和宽各缩小了一半，因生 1 1 :继续把这张纸上下左右对折一次，4周长就是原来的（见上图）（吃惊好奇的表情，期待的样子）生 1 1：j j 如果这张纸很大很

41、大，也就是我可以继续这样对8 163264128折下去，周长会越来越小，分别是原图形周长来的、通过观察，我们小组发现了一个有趣的数列（投影出示）上下左右各对折次数原图形的此，现在图形是原图形的周长是11 1 2 2（n n 个 2 2）师：（欣喜地）嗯，这个发现很有价值，掌声鼓励一下。生 2 2：xx研究的是把一张长方形纸沿着两个方向分别对折，出现了倍数关系，我研究的是沿着一个方向对折，同学们想知道这样折叠后周长的变化吗?生：（大声地）想!生 2 2:那就仔细观察我演示，并积极开动脑筋思考。2（投影并演示）把一张长方形的纸，上下对折1 1 次，面1生：（果断地）我认为周长也是原来的。12生 2

42、 2:你的猜测是否正确呢？让事实说话吧。这样对折后，长没变，宽变成原来的，而两个变后的宽合在一起就是原来的一个宽，因此，现在图形的周长是：（2 2 长+ +宽）。比原图形周长的一半（长 + +宽）多了一个长，现在，你明白 了吗？生：（恍然的神情）是的，谢谢！（投影并演示）14生 2:2:依样上下对折 2 2 次, ,现在图形的面积是原来的（）4那么周长呢？生：肯定不是（坚决的口气）生 2 2:（乐呵呵地）那么，现在周长是多少呢？1生：（思考一会后） 2 2 长+ + 宽，积是原来的看？同学们猜猜周长呢，生 2 2：看来 xx同学已经具备了举一反三的能力了，恭喜你，答对了。（哗，同学们笑起来，气

43、氛很热烈）生 2 2:让我们大胆猜测一下，如果这张纸足够大，照这样不停对折下去，周长会发生什么变化呢？请大家继续和我起分享一下研究所得（投影出示）上下对折次数1 1 2 22 2 2 23 34 4宽5 5宽6 61212 2212 2 2现周长长+ +宽长+ +宽长+ +宽2 2 长+ +2 2 2：:2n n宽（n-1n-1 ）个生：你们的发现令我很吃惊，但我不明白，为什么分母 里 2 2 的个数要少 1 1 呢？师：这个问题，他们组人员也跟老师汇报过，他们在研 究中只是根据周长的变化情况，发现了这种数列，但说不出 原因。那么，老师说明一下，这是采用不完全归纳法，也就 是说通过举很多很多的

44、例子，得出的结论。明白了吗？生：（似懂非懂地）嗯。师：嗯，不过老师对这位同学善于思考，勇于质疑的精 神提出表扬，（带头鼓掌）。生 3 3:我们组前两个同学研究了折纸中的周长变化规律，我主要研究了剪纸中的周长变化问题。（投影出匸|示）生 3 3 :大家看图（1 1），任意从长方形的角上剪下一个（或n n 个）长方形（或正方形），剩余后图形的周长不变生：（恍然大悟）O生：能解释一下原因吗？生 3 3:（指着图（1 1）同学们看，减少的边和增加的边长 度不变，所以图形周长不变。同学们，见过这种有趣的剪法吧？（指着图 2 2），从一张 长方形纸片上剪下一条边是楼梯一样的图形，无论是剪下的 还是剩余的图

45、形周长不变。生；能说一下为什么吗？生 3 3:（指着图 2 2）这些所有横边的长度和就是原图形的长，所有竖向边的长度和也恰恰是原图形的宽，所以周长没 变。生 4 4 :我研究的是剪纸中周长变大的情况。（投影出示）生 4 4 :从长方形纸片的角上剪下一个（或n n 个）下底大于上底的梯形或任意的三角形，剩余图形的周长都将变大。 或者沿着长方形的一条边剪下 n n 个直线图形，剩余图形的周长也 变大。生：我们有些不明白了，能具体讲解一下吗？生 4 4:（指着各种图）因为无论怎么剪这些图形，增加的 边的长度都大于剪掉的边的长度。生 5 5 :我研究的是剪纸中周长变小的情况，从一张长方形纸的任意角上，

46、剪下一个或n n 个三角形，剩余图形的周长将变小。生：我来讲一下原因。因为增加的边的长度小于剪掉的边的长度，所以周长变小，是吗？生 5 5 :讲得完全正确，同学们听明白了吗？师：四组同学的研究发现，更让我们“大开眼界” 。那 么，五组同学将带给我们怎样的发现呢？有请五组同学。【评析：四组的研究成果，有难度、有广度、有深度， 是集体智慧的结晶。对所研究的问题，先提出大胆猜想，然 后进行推理验证，最后采用不完全归纳法进行总结，体现了 数学小课题研究的基本特点，培养了学生的分析、比较、综 合、推理、概括等能力。】5 5、研究折纸中的分数问题12五组：把一张长方形的纸上下对折1 1 次，出现了 2 2

47、 层，每11 11 1一份就是原来的，依次对折 2 2 次、3 3 次、组次橫2出现.4 4层、8 8 层、1616 层、3232 层，相对应的分数是、由此，我们也发现了一个有趣的数列。对折次数层数分数（投影出122 22 21x 2 21 2 23 32 21X 2 2X2 22 24 42 21m2x 2 2X 2 2X 2 25 52 21x 2 2xX / 2 2212汽2從2汇x2x 2 2x 2 2x 2 2X. x 2 2师: 嗯，看来如果给五组同学一张足够大的纸，他们可以叠的比楼层还高。好了，让我们有请最后一组同学。【评析：第五小组的发现，让我们为之惊叹，惊叹于数学的神奇魔力，

48、也惊叹于他们神奇的发现。 6 6、折纸中特殊图形的特征问题（六组）生 1 1:我主要研究的是以上这几种四边形，通过折叠，我分别得出它们的特征。长方形：对边相等，四个角都相等。正方形：四条边都相等，四个角都相等。等腰梯形：两腰相等，两对底角分别相等生 2 2:我研究的三角形的一些特征生 2 2:沿着等腰三角形的底边上的高对折， 发现左右两 部分完全重合，由此得出：等腰三角形的两腰相等，两底角 相等。按照同样的折法得出：等边三角形的三条边都相等，三 个角都相等。生 3 3:我们组前几位同学研究的是直线图形，我研究了 曲线图形一一圆的特征。拿一张圆形纸片，沿着不同方向对 折，发现不同的折痕都过一（投

49、个点，而且这些折痕都能把圆分 成相等的两部分。通过查资料我们知道，这个中心叫圆心， 过圆心并且两端在圆上的线段叫直径，直径有无数条，过圆 心并且一端在圆周上的线段叫半径， 半径也有无数条。而且， 通过折叠还发现，同一个圆，直径都相等，半径也都相等，并且 1 1 条直径都等于 2 2 个半径的长度。【评析：六小组同学通过一张张简单的纸，把几何图形 的特征进行了归纳整理，把抽象的几何概念具体化了，为学 生理解这些知识提供了大量丰富鲜明的感性素材。相信听完 汇报后，同学们再不用死记硬背那些抽象难懂的知识了，因 为它们已经轻松纳入到学生的知识结构中了。 】（三）总结师：一张张普普通通的纸，你有，我有，

50、大家都有，可 是注入我们与众不同的智慧，用我们灵巧的双手，在折折叠 叠、剪剪拼拼之中，却能发现许许多多的秘密，真可谓“方 寸之间，知识无限啊！ ”同学们，通过这次活动！你有什么 收获？生：我学会了很多图形的知识。生：培养了我的动手能力。生：增强了我们的合作意识。师：嗯，通过同学们精彩纷呈的汇报演示，老师惊喜地 发现，大学学习数学有了一种新的途径。是的，一个人的智 慧是有限的，但是许多人的智慧却能让卫星上天，原子弹爆 炸。老师希望，同学们能做生活的有心人，不仅做前人知识 的拥有者，更勇于去做未来知识的探索者。老师期待同学们明天的发现，会更加精彩无限！有信心吗？四、课后研究及成果展示交流活动结束后

51、，学生们意犹未尽，纷纷表示要研究“折纸” 的另外研究方向：如“用折纸的办法证明三角形的内角和为 180180 ”，“用剪纸的办法推导平行四边形、三角形、梯形的 面积公式”，甚至有些同学进行了大胆的想象，认为用折纸、剪纸的办法，可以发现立体图形的一些特征以及相应的侧面 积、表面积等的计算。五、教学反思在活动前，老师提出“折纸”这个课题后，活动小组就 自主划分了。具体的研究内容、研究方式、研究结论及汇报，都是由小组内成员自行分工完成的，体现了学生独立自主的 意识和小组合作探究的能力。六个不同的小组，围绕“折纸”这一主题，选择了不同 的研究内容，进行了形式各异的研究，得出了有价值、有意 义的结论。他

52、们大量的研究工作都在课前有计划、有步骤、有目的地完成的，课上选派代表，和同学们面对面实践操作，倾心交流，进行智慧的碰撞，产生了思维的“火花”。在课末，老师引导学生总结收获，进行自我评价，让学 生体验合作与交流的意义，感受数学与生活的密切联系，深 化了对数学知识的理解，提高了学习数学的积极性，较好地 体现了认知与情感、态度的和谐统一。学生对于数学知识的研究热情给了老师极大的鼓舞，说 明学生已经沉浸在探究的乐趣中，并且产生了继续探究的愿 望。那么，应该鼓励并引导学生，用折纸这种简单易操作的 形式，进行更多更深入的研究。让学生把研究成果继续展示 交流，并进一步总结、提咼、完善。【总评：本节课以学生身

53、边随处可见的纸作为活动载 体，以学生喜闻乐见的折纸这一简单的形式展开课题研究，使学生体会到数学来源于生活，生活中处处皆数学的理念， 感受到了数学的作用和价值。1 1、注重操作性，突出实践性。本课取材新颖，组织方便， 学生大都有生活经验，因此参与积极性高，热情持久。2 2、立足科学性，体现观赏性。本课在注重操作、实践、 科学性的同时，还体现了突出了观赏性。使数学除了严谨、理性美之外，还有很强的感性之美。3 3、发挥自主性，体现开放性。本课从题材的选择，到学生的自由分组，以及课堂上各小组的精彩汇报，无一不体 现出学生的自主性，教师只是一个组织者、 引导者、合作者， 学生才是自始至终真正的“主角”。

54、本课的内容繁多，涵盖面极广，课容量极大，无论是汇报内容还是操作形式，都体 现出一种开放性。】(6(6)单数和双数的奥秘执教日照港第一小学 苏贻洁评析日照市新营小学 宋晓晨一、课题的确定一年级下学期，通过接近一年的学习，学生的数学能力 有了很明显地提高。一百以内数的加减法学生已经非常熟 练，为防止学生对单纯计算产生厌倦，我多方查阅资料寻找 与之相关的趣味性题目。查阅了几次，发现有关奇数和偶数 的知识在现实生活中应用非常广泛。奇数和偶数，也就是常 说的单数和双数，从孩子学习数字，就已经接触到了单数和双数，只是 没有告诉他们这就是奇数和偶数。 所以研究单双数相加减的 规律会对以后更深入地学习奇数偶数

55、作好铺垫。这部分内容，教材中没有涉及到，但又广泛存在于现 实生活中，譬如一些小游戏比赛中的奥秘都可以用这种奇数 偶数相加减的规律来破解，会给我们的生活带来诸多方便。学生很容易知道单数和双数相加减会得什么数，但很少去想 用自己知道的规律去解释生活中的常见现象。我想不妨从这 方面入手，引导学生自主探究，拓展一下学生的知识面，不 失为一个良策。二、课题的布置与指导考虑到应该借助学生熟练的计算能力和好强的心理，故将其分成 6 6个小组，课上分组计算并探讨规律， 共同计算， 合作探究。本次课题研究和生活密不可分，我搜集了一些关 于单双数计算规律的生活实例，让学生在处理生活问题时达 到学以致用的目的。三、

56、课堂教学实录（一）以报数的方式导入新课师：今天来上课的同学真多啊，老师真想知道你们有多 少人。学生七嘴八舌，最后决定报数。师：哪些同学报的是单数？哪些报的是双数？今天我们就来研究单数和双数的奥秘。（板书课题）生（齐读）：单数和双数的奥秘。师：你能再说几个单数和双数吗？（学生争先恐后的举手）生 1 1 : 1 1、3 3、5 5、7 7、9 9 是单数。生 2 2: 2 2、4 4、6 6、& 1010 是双数。生【评析：教师开门见山，由报数直接引入本课题，引起 学生浓厚的兴趣。课堂伊始就充分调动起了学生的积极主动 性。】（二）研究单数或双数相加减的规律。师：同学们都知道了什么样的数是单数，什么

57、样的数是双数，你们想不想知道双数或者单数相加或相减会得到一个 什么数呢，单数还是一个双数？生（齐答）：想知道。师：我想知道单数加单数会得什么数？你呢？生 1 1:我想知道双数加双数会得什么数。生 2 2:我想知道双数减双数会得什么数。生 3 3 :我想知道很多单数加起来会得什么数。【评析：先由教师对研究主题进行确定，在民主、自然、和谐的氛围中学生不由自主地提出一系列问题，培养了学生 的问题意识。对于低年级学生来说，教师是研究方向的引领 者，其主导地位很重要，同时更体现了学生的主体地位，学 生才是问题研究的真正主人。】1 1、两个单数或两个双数相加减的规律。师：今天咱们就来研究这些问题，先来研究

58、两个单数相 加和相减这两种情况。下面同学们以小组为单位，每个小组 写出两个单数相加的算式和两个单数相减的算式，看看结果 会得什么数。（学生开始以小组为单位讨论，有说的，有写的，讨论完后汇报结果。）甲组生 1 1： 1+3=41+3=4，4 4 是双数；3-1=23-1=2，2 2 是双数。乙组生 1 1: 3+3=63+3=6, 6 6 是双数；3-3=03-3=0, 0 0 是双数9+19+1 仁 2020, 2020 也是双数；11-11-9=29=2 , 2 2 是双数5+7=125+7=12，1212 也是双数；7-5=27-5=2，2 2 是双数师板书。师：你得出了什么结论？生（齐答

59、）：单数加单数等于双数，单数减单数也等于 双数。（师视频出示结论，生齐读）师：继续研究双数和双数相加或相减会得什么数。（学生继续写出算式并讨论，然后汇报结果，师板书）甲组生 2 2： 6+2=86+2=8，8 8 是双数；6-2=46-2=4，4 4 是双数。乙组生 2 2： 10+8=1810+8=18，1818 是双数；10-8=210-8=2，2 2 是双数。（出示视频，齐读研究结论）结论：两个单数相加或相减得双数，两个双数相加或相 减还得双数。2 2、单数和双数放在一起相加减的规律。师：那单数和双数放在一起相加或相减呢，同学们再一 起来研究。（学生继续小组讨论，然后汇报，师板书后，一起

60、读研究结果。）甲组生 1 1: 5+6=115+6=11, 8+9=178+9=17, 9-4=59-4=5 , 10-3=710-3=7。结论：一个单数和一个双数相加或相减都得单数。师：刚才咱们研究的都是两个数相加或相减，如果是多个单数或双数相加呢？乙组生 5 5： 2+4+6=122+4+6=12，2+4+6+8=202+4+6+8=20生 6 6:我们发现，不管是几个双数相加都得双数。 （学生赞同）丙组生 6 6： 5+7+3=155+7+3=15，1+7+9+3=201+7+9+3=20生& &几个单数相加，有的得单数，有的得双数。师：几个单数相加结果是单数呢？生：3 3 个。师：4