常见题型解决方法归纳、反馈训练及详细解析 专题18 直线和平

1、第 18讲 :直线和平面所成的角的求法【考纲要求】能用向量方法解决直线与平面的夹角的计算问题。【基础知识】一、直线与平面所成的角的定义平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角,叫这条斜线和平面所成的锐角, 如果这条直线垂直于平面,直线和平面所成角是直角,如果直线和平面平行或直线在平面 内,直线和平面所成的角就是零度。二、直线和平面所成角的范围当直线在平面内或和平面平行时,直线和平面所成的角为 错误!未找到引用源。 ,直线和 平面垂直时,直线和平面所成的角为 错误!未找到引用源。 ,斜线和平面 所成的角为 错误!未找到引用源。 所以直线和平面所成的角的范围 错误!未找到引用源。 。三、直线

2、和平面所成的角的求法方法一:(几何法找 错误!未找到引用源。 作(定义法 错误!未找到引用源。 证(定义 错误!未找到引用源。 指 错误!未找到引用源。 求(解三角形 ,其关键是找到直线在平面内的射影作出直线和平面所成的角和解三角形。方法二:(向量法 错误!未找到引用源。 ,其中 错误!未找到引用源。 是直线 错误!未找 到引用源。 的方向向量, 错误!未找到引用源。 是平面的法向量, 错误!未找到引用源。 是直线和平面所成的角。四、 求直线和平面所成的角体现的是数学的转化的思想, 就是把空间的角转化为平面的角, 再利用解三角形的知识解答。 例 1 如图,在五棱锥 P ABCDE 中, PA

3、平面 ABCDE , AB CD , 错误!未找到引用源。 ABC =45, AB =2错误!未找到引用源。 , BC腰三角形.(求证:平面 PCD 平面 PAC ;(求直线 PB 与平面 PCD 所成角的大小;(求四棱锥 P ACDE 的体积.解:(证明:因为 错误!未找到引用源。 ABC =45, AB =2所以在 错误!未找到引用源。 中,由余弦定理得:错误!未找到引用源。 ,解得 错误!未 找到引用源。 ,所以 错误!未找到引用源。 ,即 错误!未找到引用源。 ,又 PA 平面 ABCDE ,所以 PA 错 误!未找到引用源。 ,又 PA 错误!未找到引用源。 ,所以 错误!未找到引用

4、源。 ,又 AB CD ,所以 错误!未找到 引用源。 ,又因为 错误!未找到引用源。又 错误!未找到引用源。 ,所以点 错误!未找到引用源。 到平面 错误!未找到引用源。 的 距离等于点 错误!未找到引用源。 到平面 错误!未找到引用源。 的距离 .由 错误!未找到引用源。 平面 错误!未找到引用源。 ,在 错误!未找到引用源。 中, 错误! 未找到引用源。 所以 错误!未找到引用源。 .故 错误!未找到引用源。 边上的高为 2,即点 错误!未找到引用源。 到平面的距离,即点点 错误!未找到引用源。 到平面 错误!未找到引用源。 的距离为 2. 设直线 错误! 未找到引用源。 与平面 错误!

5、 未找到引用源。 所成的角为 错误! 未找到引用源。 , 则 错误!未找到引用源。 ,又 错误!未找到引用源。 ,所以 错误!未找到引用源。 . ( 由 ( 知 错误! 未找到引用源。 , 所以 错误! 未找到引用源。 ,又 AC ED , 所以四边形 ACD E 是直角梯形, 又容易求得 错误! 未找到引用源。 , AC=错误!未找到引用源。 ,所以四边形 ACDE 的面积为 错误!未找到引用源。 ,所以四棱锥 P ACDE 的体积为 错误! 未找到引 用源。 =错误!未找到引用源。 。方法二 向量法使用情景直线和平面所成的角不容易作出。DCB 解题步骤错误!未找到引用源。 建立空间直角坐标

6、系 错误!未找到引用源。 求直线 错误!未找到引用源。 的方向向量 错误!未找到引用源。 错误!未找 到引用源。 求平面的法向量 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 代入公式 错误!未找到引用源。 求出直线和平面所成的角 错误!未找到引用源。 。例 2 已知三棱锥 P -ABC 中, PA ABC , AB AC , PA=AC=AB , N 为 AB 上一点, AB=4AN,M,S分别为 PB,BC 的中点 . (证明:CM SN ;(求 SN 与平面 CMN 所成角的大小 .证明:设 PA=1,以 A 为原点,射线 AB , AC , AP 分别为 x , y , z 轴正向 建立

7、空间直角坐标系如图。则 P (0,0,1 , C (0,1,0 , B (2,0,0 , M (1,0, 12 , N (12,0,0 , S (1,12,0 . ( 111(1,1, , (, ,0 222CM SN =-=-, 因为 110022CM SN =-+=, 所以 CM SN ( 1(,1,0 2NC =-, 设 a=(x , y , z 为平面 CMN 的一个法向量,则 10, 2210. 2x y z x x y -+=-+=令 ,得 a=(2,1,-2. 因为 错误!未找到引用源。 =cos , 2a SN =SN 与平面 CMN 所成角为 45。【变式演练 2】 如图所示

8、,已知 P 在正方体 ABCD A B C D 的对角线 BD 上 , PDA=60(1求 DP 与 CC 所成角的大小 ; (2 求 DP 与平面 AA D D 所成角的大小 .【高考精选传真】 第 19题图【解析】 (解法 1:在如图 1所示的 ABC 中,设 (03 BD x x =,则 3CD x =-. 由 AD BC , 45ACB =知, ADC 为等腰直角三角形,所以 3AD CD x =-. 由折起前 AD BC 知,折起后(如图 2 , AD DC , AD BD ,且 BD DC D =,所以 AD 平面 BCD .又 90BDC =,所以 11(3 22BCD S111

9、1(3 (3 2(3(3 33212A BCD BCD V AD S x x x x x x -=-=-312(3 (3 21233x x x +-+-= , 于是可得 (0,0, 0 D , (1,0, 0 B , (0,2, 0 C , (0,0, 2 A , (0,1, 1 M , 1(, 1, 0 2E ,且 (1, 1, 1 BM =-.设 (0,0 N ,则 1(, 1,0 2EN =-. 因为 EN BM 等价于 0EN BM =,即11(, 1, 0 (1, 1, 1 1022-=+-=,故 12=, 1(0, 0 2N .所以当 12DN =(即 N 是 CD 的靠 近点 D

10、 的一个四等分点时, EN BM .设平面 BMN 的一个法向量为 (, , x y z =n ,由 ,BN BM n n 及 1(1, ,0 2BN =-,得 2, . y x z x =-可取 (1,2, 1 =-n .设 EN 与平面 BMN 所成角的大小为 ,则由 11(, , 0 22EN =-, (1,2, 1 =-n ,可得1|1| sin cos(90 |EN EN -=-=n n 60=.故 EN 与平面 BMN 所成角的大小为 60. 连接 MN , ME ,由计算得 NB NM EB EM =,图 a图 bA BE M图 cDPC图 d第 19题解答图 所以 NMB 与

11、EMB 是两个共底边的全等的等腰三角形,如图 d 所示,取 BM 的中点 G ,连接 EG , NG ,则 BM 平面 EGN .在平面 EGN 中,过点 E 作 EH GN 于 H ,则 EH 平面 BMN .故 ENH 是 EN 与平面 BMN 所成的角.在 EGN 中,易得 EG GN NE = EGN 是正三角形, 故 60ENH =,即 EN 与平面 BMN 所成角的大小为 60.2、 (2012高考真题四川理 19如图,在三棱锥 P ABC -中, 90APB =, 60PAB =, AB BC CA =,平面 PAB 平面 ABC 。( 求 直线 PC 与平面 ABC 所成角的大

12、小;( 求二面角 B AP C -的大小。 故直线 PC 与平面 ABC 所成的角的大小为 arctan136分 (2过 D 作 DE AP 于 E ,连接 CE.由已知可得, CD 平面 PAB.根据三垂线定理可知, CE PA , 所以, 的平面角 为二面角 C AP B CED .由(1知, DE=3在 Rt CDE 中, tan 2=DECD CED 故 2arctan 的大小为 二面角 C AP B【反馈训练】 1设 ABC 和 DBC 所在两平面互相垂直,且 AB =BC =BD =a , CBA = CBD =120, 则 AD 与平 面 BCD 所成的角为 ( A B C D

13、2. 已知长方体 ABCD A 1B 1C 1D 1中, AB=BC=4, CC 1=2, 则直线 BC 1和平面 DBB 1D 1所成角的正弦值为 ( A. 错误!未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。 C.错误! 未找到引用源。 D.错误!未找到引用源。 3. PA 、 PB 、 PC 是从 P 点出发的三条射线,每两条射线的夹角均为 060,那么直线 PC 与平 面 PAB 所成角的余弦值是( A. 21 B. 22 C. 3 D. 36 4.直线 AB 与直二面角 l 的两个半平面分别交于 A 、 B 两点 , 且 A 、 B 错误!未找到 引用源。 l, 如果直线 AB 与 、 所

14、成的角分别是 1、 2, 则 1+2的取值范围是 ( A.01+2错误!未找到引用源。 D.01+2 错误!未找 到引用源。5. 已知三棱柱 ABC A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等, A 1在底面 ABC 内的射影为ABC 的中心, 则 AB 1与底面 ABC 所成角的正弦值等于 ( A. 错误!未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。 C.错误! 未找到引用源。 D.错误!未找到引用源。6. 把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起 , 当以 A 、 B 、 C 、 D 四点为顶点的三棱锥体积最大时 , 直线 BD 和平面 ABC 所成的角的大小为 ( A.90 B.60 C.45

15、 D.307. 如图,在体积为 1的直三棱柱 ABC A 1B 1C 1中,ACB=90, AC=BC=1.求直线 A 1B 与 平面 BB 1C 1C 所成角的大小(结果用反三角函数值表示. 8. 如图,在平行四边形 ABCD 中, AB=2BC, ABC=120。 E 为线段 AB 的中点,将 ADE 沿 直线 DE 翻折成 错误!未找到引用源。 ,使平面 错误!未找到引用源。 平面 BCD , F 为线 段 错误!未找到引用源。 的中点。 (求 证:BF 平面 错误!未找到引用源。 ;(设 M 为线段 DE 的中点,求直线 FM 与平面 错误!未找到引用源。 所成角的余弦值。 9. 如图

16、,四棱锥 P ABCD -的底面是正方形, PD ABCD 底面 ,点 E 在棱 PB 上 . (求证:平面 AEC PDB 平面 ;(当 PD =且 E 为 PB 的中点时,求 AE 与平面 PDB 所成的角的大小 . 11. 如图所示,已知 AB 平面 ACD , DE 平面 ACD , ACD 为等边三角形, AD =DE =2AB , F 为 CD 的中点.(1求证:AF 平面 BCE ;(2求证:平面 BCE 平面 CDE ; (3求直线 BF 和平面 BCE 所成角的正弦值.【变式演练详细解析】【变式演练 1详细解析】 ( 证明:作 MN AB 交 AP 于 N , 连结 DN ,

17、 则 MN AB CD , 且 错误!未找到引用源。 错误! 未 找到引用源。 C M ND , CM 平面 PAD( CM ND , ND 与平面 ABCD 所成的角为所求 .侧面 PAD 底面 ABCD , ND 在平面 ABCD 上的射影为 AD AND 为所求; PAD 是正三角形, N 是 PA 的中点 CM 与底面所成的角为 30.(延长 AD 、 BC 交于点 E , 连结 P 、 E .则 PE 为所求二面角的棱,且 AD =DE =PD 所以, APE =90, AP PE 又 AB AD , 平面 PAD 底面 ABCD AB 平面 PAE BP PE , BPA 为所求二

18、面角的平面角 tan BPA =错误!未找到引用源。D C BA MD所以,侧面 PBC 与侧面 PAD 所的角为 arctan 2【变式演练 2详细解析】 (1因为 cos 错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。 所以 错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。 =45 ,即 DP 与 CC 所成的角为 45 .(2平面 AA D D 的一个法向量是 错误!未找到引用源。 =(0,1,0.因为 cos 错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。 , 所以 错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。 =60, DP 与平面 A

19、A D D 所成的角为 30.【反馈训练详细解析】 1【 作 AO CB 的延长线,连 OD ,则 OD 即为 AD 在平面 BCD 上的射影, AO =OD =2a , ADO =452. C 【解析】连结 A 1C 1交 B 1D 1于点 O ,则 C 1O平面 DBB 1D 1. 连结 OB, 则 C 1BO 即为所求 . BC 1=错误!未找到引用源。 =20,C1O=错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误! 未找到引用源。 ,sin C 1BO=错误!未找到引用源。 . 故选 C.3.C 【解析】构造正方体如图所示,过点 C 作 CO平面 PAB ,垂足为 O ,则 O 为正

20、ABP 的 中心,于是CPO 为 PC 与平面 PAB 所成的角。设 PC=a,则 PO=a PD 332=,故 3cos =PC PO CPO ,即选 C 。 5.B 【解析】 :如图, 连结 A 1B 和 AB 1交于点 O, 取 OB 的中点 E , 连结 OE,则 OE 错误! 未找到引用源。 A 1O, OE平面 ABC. 连结 AE, OAE 即为 AB 1与平面 ABC 所成的角 .AO=BO,又A 1 A=AB, DO平面 ABC. DBO 为 BD 与平面 ABC 所成的角 . DBO=45.答案 :C AA 1=CC1=2. 连结 BC 1. A 1C 1B 1C 1,A

21、1C 1CC 1, A 1C 1平面 BB 1C 1C. A 1BC 1是直线 A 1B 与平面 BB 1C 1C 所成 的角 .又 BC 1=错误!未找到引用源。, 平面 BB 1C 1C 的法向量为 n =(1,0,0.设直线 A 1B 与平面 BB 1C 1C 所成的角为 , 错误!未找到引用源。 与 n 的夹 角为 ,8. 【解析】 ( 证明:取 A D 的中点 G ,连结 GF , CE ,由条件易知FG CD , FG =错误!未找到引用源。 CD . BE CD , BE =错误!未找到引用源。 CD .所以 FG BE , FG =BE . 故四边形 BEGF 为平行四边形 ,

22、 所以 BF EG错误!未找到引用源。 因为 错误!未找到引用源。 平面 错误!未找到引用源。 , BF 错误!未 找到引用源。 平面 错误!未找到引用源。 ,所以 BF/平面 错误!未找到引用源。 (解:在平行四边形 ,ABCD 中,设 BC=a,则 AB=CD=2a, AD=AE=EB=a,连 CE ,因为 错误!未找到引用源。在 BCE 中,可得 CE =错误!未找到引用源。 a, 在 ADE 中,可得 DE =a,在 CDE 中,因为 CD 2=CE 2+DE 2,所以 CE DE ,在正三角形 A DE 中, M 为 DE 中点,所以 A M DE .由平面 A DE 平面 BCD

23、, 可知 A M 平面 BCD , A M CE .取 A E 的中点 N ,连线 NM 、 NF , 所以 NF DE , NF A M .因为 DE 交 A M 于 M , 所以 NF 平面 A DE , 则 FMN 为直线 FM 与平面 A DE 新成角 . 在 Rt FMN 中, NF =错误!未找到引用源。 a, MN =错误!未找到引用源。 a, FM =a, 则 cos 错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。 .所以直线 F M 与平面 A DE 所成角的余弦值为 错误!未找到引用源。 . OE/PD,12OE PD=,又 PD ABCD 底面 ,OE底面 ABCD , O

24、E AO ,在 Rt AOE 中,122OE PD AB AO =, 45AOE =,即 AE 与平面 PDB 所成的角的大小为 45. ( (, ,0, 0,0, , , ,0AC a a DP h DB a a =-=, 0, 0AC DP AC DB =,ACDP,ACDB,AC平面 PDB ,平面 AEC PDB 平面 .(当 PD =且 E 为 PB的中点时, ( 11, , 22P E a a , 设 ACBD=O,连接 OE ,由(知 AC平面 PDB 于 O ,AEO 为 AE 与平面 PDB 所的角, 11, , , 0,0, 2222EA a a a EO =-=- , cos EA EO AEO EA EO =, 45AOE =,即 AE 与平面 PDB