东南大学_高数(上)_03至10年_期末试卷(附答案)

1、 0310级高等数学（A）（上册）期末试卷2003级高等数学（A）（上）期末试卷一、单项选择题（每小题4分，共16分）1设函数由方程确定，则（ ）2曲线的渐近线的条数为（ ）3设函数在定义域内可导，的图形如右图所示，则导函数的图形为（ ）4微分方程的特解形式为（ ）二、填空题（每小题3分，共18分）12若，其中可导，则3设若导函数在处连续，则的取值范围是。4若，则的单增区间为,单减区间为.5曲线的拐点是6微分方程的通解为三、计算下列各题（每小题6分，共36分）1 计算积分 2计算积分3. 计算积分 4. 计算积分5. 设连续，在处可导，且，求6. 求微分方程的通解4. （8分）求微分方程满足条

2、件的特解5. （8分）设平面图形D由与所确定，试求D绕直线旋转一周所生成的旋转体的体积。6. （7分）设质量均匀分布的平面薄板由曲线C:与轴所围成，试求其质量7. （7分）设函数在上有连续的二阶导数，且，证明：至少存在一点，使得2004级高等数学（A）（上）期末试卷一. 填空题（每小题4分，共20分）1函数的间断点 是第 类间断点.2. 已知是的一个原函数,且,则 .3. .4. 设,则 .5. 设函数,则当 时,取得最大值.二. 单项选择题(每小题4分,共16分)1. 设当时,都是无穷小,则当时,下列表达式中不一定为无穷小的是 (A) (B) (C) (D)2. 曲线的渐近线共有 (A) 1

3、条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条3. 微分方程的一个特解形式为 (A) (B) (C) (D) 4. 下列结论正确的是 (A) 若,则必有.(B) 若在区间上可积,则在区间上可积.(C) 若是周期为的连续函数,则对任意常数都有.(D) 若在区间上可积,则在内必有原函数.三. (每小题7分,共35分)1. 2. 设函数是由方程所确定的隐函数,求曲线在点处的切线方程.3. 4. 5. 求初值问题 的解.四.(8分) 在区间上求一点,使得图中所示阴影部分绕轴旋转所得旋转体的体积最小. 5. (7分) 设 ,求证 .六.(7分) 设当时,可微函数满足条件且,试证: 当时,有 成立.七.(7

4、分) 设在区间上连续,且,证明在区间内至少存在互异的两点,使.2005级高等数学（A）（上）期末试卷一填空题（本题共9小题，每小题4分，满分36分）1 ；2曲线的斜渐近线方程是 ；3设是由方程所确定的隐函数，则 ；4设在区间上连续，且，则 ；5设，则 ；6 ； 7曲线相应于的一段弧长可用积分 表示； 8已知与分别是微分方程的两个特解，则常数 ，常数 ；9是曲线以点为拐点的 条件。二计算下列各题（本题共4小题，每小题7分，满分28分）1设，求2 3 43 （本题满分9分）设有抛物线，试确定常数、的值，使得（1）与直线相切；（2）与轴所围图形绕轴旋转所得旋转体的体积最大。四（本题共2小题，满分14

5、分） 1（本题满分6分）求微分方程的通解。2 （本题满分8分）求微分方程满足初始条件的特解。五（本题满分7分） 试证：（1）设，方程在时存在唯一的实根；（2） 当时，是无穷小量，且是与等价的无穷小量。六（本题满分6分）证明不等式：，其中是大于的正整数。2006级高等数学（A）（上）期末试卷一.填空题（本题共9小题，每小题4分，满分36分）1 ； 2曲线在对应的点处的切线方程为 ；3函数在区间 内严格单调递减；4设是由方程所确定的隐函数，则 ； 5 ；6设连续，且，已知,则 ；7已知在任意点处的增量，当时，是的高阶无穷小，已知，则；8曲线的斜渐近线方程是 ；9若二阶线性常系数齐次微分方程有两个特

6、解，则该方程为 .二.计算题（本题共4小题，每小题7分，满分28分）1计算不定积分 2计算定积分 3计算反常积分 4设 ，求 3 （本题满分7分）求曲线自到一段弧的长度。 （第3页）四（本题共2小题，第1小题7分，第2小题9分，满分16分）1求微分方程的通解。2 求微分方程的特解，使得该特解在原点处与直线相切。5 （本题满分7分）设，求积分的最大值。 6 （本题满分6分）设函数在上存在二阶连续导数，且，证明：至少存在一点，使得 。2007级高等数学（A）（上）期末试卷一.填空题（本题共9小题，每小题4分，满分36分）1 ；2设，则 ；3已知，则 ；4对数螺线在对应的点处的切线方程是 ；5设是由

7、方程确定的隐函数，则的单调增加区间是，单调减少区间是 ；6曲线的拐点坐标是，渐进线方程是 ；7；8 ； 9二阶常系数线性非齐次微分方程的特解形式为.二.计算下列积分（本题共3小题，每小题7分，满分21分）10. 11 12。三（13）（本题满分8分）设，.（1） 问是否为在内的一个原函数？为什么？（2）求.四（14）（本题满分7分）设，求.五（15）（本题满分6分）求微分方程的通解.六（16）（本题满分8分）设、满足，且，求.七（17）（本题满分8分） 设直线与抛物线所围成的图形面积为，它们与直线所围成的图形面积为.（1）试确定的值，使达到最小，并求出最小值.（2）求该最小值所对应的平面图形绕

8、轴旋转一周所得旋转体的体积.八（18）（本题满分6分）设，求证：当时，.2008级高等数学（A）（上）期末试卷一.填空题（本题共9小题，每小题4分，满分36分）1函数的单调增加区间为 ；2已知，则 ；3曲线的拐点是 ；4曲线的斜渐近线的方程是 ；5二阶常系数线性非齐次微分方程的特解形式是 ；6设是常数，若对，有，则 ；7 ；8设是连续函数，且，则 ； 9设，则 .二.按要求计算下列各题（本题共5小题，每小题6分，满分30分）10 11. 12 已知的一个原函数为，求 13设，求常数、，使得。14。三（15）（本题满分8分）求微分方程满足初始条件，的特解.四（16）（本题满分7分）设函数在区间上

9、连续，且恒取正值，若对，在上的积分（平）均值等于与的几何平均值，试求的表达式.五（17）（本题满分7分） 在平面上将连接原点和点的线段（即区间）作等分，分点记作，过作抛物线的切线，切点为，（1）设三角形的面积为，求；（2）求极限.六（18）（本题满分6分）试比较与的大小，并给出证明.（注：若通过比较这两个数的近似值确定大小关系，则不得分）七（19）（本题满分6分）设在区间上连续可导，求证： .2009级高等数学（A）（上）期末试卷1函数的定义域是 ，值域是 ；2设，当 时，在处连续；3曲线的斜渐进线的方程是 ；4 ；5函数的极大值点是 ；6 ； 7设是由所确定的函数，则 ；8曲线族（,为任意常

10、数）所满足的微分方程是 ； 9 .二.按要求计算下列各题（本题共5小题，每小题6分，满分30分）10 11. 12 1314。设，计算.三（15）（本题满分8分）求微分方程满足初始条件，的特解.四（16）（本题满分8分）设函数在区间上可导，在内恒取正值，且满足，又由曲线与直线所围成的图形的面积为，求函数的表达式，并计算图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积.五（17）（本题满分6分） 已知方程在区间内存在两个互异的实根，试确定常数的取值范围.六（18）（本题满分6分）设在区间上非负、连续，且满足,证明：对，有.七（19）（本题满分6分）设，在处可导，且，（1）求证：，使得（2）求极限.2010级高等

11、数学（A）（上）期末试卷一填空题（本题共9小题，每小题4分，满分3 6分）1 ；2曲线在点处的切线方程是 ；3曲线的渐近线方程是 ；4若曲线有拐点，则 ；5函数在处的阶导数 ；6设可导函数由方程确定，则 ； 7 ；8 ；9微分方程满足条件的特解是 .二.(本题共4小题，每小题7分,满分28分)10求极限 . 11求反常积分. 12 求定积分. 13求不定积分 .三(14)（本题满分7分）设，分别求与时积分的表达式.四（15）（本题满分8分）求由所围图形的面积及此图形绕轴旋转的旋转体的体积.五（16）（本题满分7分）求微分方程满足初值条件，的特解.六（17）（本题满分8分）设函数由参数方程所确定

12、，其中具有二阶导数，且，已知，求函数.七（18）（本题满分6分）设，分别是在上的最大值和最小值，证明：至少存在一点，使得：.答案：特别说明：以下内容仅供参考，其实解答题和证明题中，解法很多，并且有些解法比下面提供的参考答案更简洁。在一些参考答案后，我写了些说明，有些没写。还是希望同学们自己多动脑筋，多思考，多多地动手、动笔去推导去计算。在复习阶段，相互间多讨论，多交流交流。别的同学有疑问向你求解释时，请耐心的解答（大学时光很宝贵，大学同学间的友情也弥足珍贵。每一个人都有困难的时候，说不定什么时候，就换作你自己要寻求别人的帮助。这是我作为过来人的体会）。当然，问题确实很繁琐时，可以建议他直接找我

13、讨论。谢谢大家。祝大家复习愉快，考试取得各自理想的成绩，回家开开心心过大年。2003级高等数学（A）（上）期末试卷答案一、单项选择题（每小题4分，共16分）1 C 3 D 4C二、（每小题3分，共18分） 1； 2 ； 3 ； 4 ，； 5 ； 6三、（每小题6分，共36分）1 ； 2. ； 3. ； 4 ； 5； 6解为。四、所求特解. 五、. 六、.七、 由(在0与之间)知；又因，所以在上存在最大值和最小值，于是,所以，由推广的积分中值定理知，使得，即Note：还有别的解法。如“变动的观点”，构造函数，原问题等价于证：，使.2004级高等数学（A）（上）期末试卷答案一. （每小题4分，共2

14、0分） 10,一；2 ； 3 ； 4 1； 5 。二. 单项选择题(每小题4分,共16分) 1 A; 3 D; 4C.三. (每小题7分,共35分) 1. 2.(略) 3. 4. 5.四.(8分) 是旋转体的体积最小的点.五.(7分) 提示：设,原不等式等价于, 即等价于。（用函数单调性证明）Note：还有别的构造函数的方法，也有其它解法六.(7分) 提示：把所给方程转化为微分方程，求解得；再用函数的单调性和定积分的性质即可。七.(7分) 提示：记，再用Rolle定理。 Note：也有其它解法2005级高等数学（A）（上）期末试卷答案一1；2；3；4；5；6；7；8；9非充分非必要。二 1 2

15、 3 4三 ，。 四1； 2五（1）提示：设，用零点定理及函数的单调性；（2）提示：用夹逼定理。六设为正整数，三边积分得，左边关于相加得：，右边关于相加得：，所以Note：也可以用数学归纳法+中值定理去证2006级高等数学（A）（上）期末试卷答案一. 1；2；3；4；5；6；7；8；9。二. 1. 2. 3. 4. 三 四1. 2. 五六证：，由于在上连续，在上存在最大值和最小值，故，从而,即，由介值定理知至少存在一点，使得Note：还有别的解法。参见03年的第七题。2007级高等数学（A）（上）期末试卷答案一. 1； 2； 3 ； 4 ；5 ， ； 6 ， ； 7； 8 ； 9. 二. 10

16、. ； 11； 12。三 (1) 不是在内的一个原函数，因为，在内不连续. (2) 四 五六由已知条件知，解出，从而可求出.Note：求积分时，可采取保持一个不动（比如不动），然后让另一个等价变形（朝着保持不动的那一项方向等价变形）。当然还有别的方法，如凑微分等。七(1) 是最小值. (2) 八提示：令，则2008级高等数学（A）（上）期末试卷答案一. 1 ； 2； 3； 4； 5；6； 7. ； 8 ； 9. 二. 10.； 11. 12. 13. , , 14. 三 四由题意得，记，则两端对求导知，解得。五.(1) 设，则由题意得(2) 六. 设 （或）， 由函数单调性可得 Note：也有

17、别的解法，而且解法很多七法1：法2: 对，再用积分的单调性及绝对值不等式的性质放缩。对，再用积分的单调性及绝对值不等式的性质放缩。法3:（函数的观点，将是某个函数在一些定点处的取值,比如令，将分别在和处一阶Taylor展开（带Lagrange余项，即,介于和间），然后在所得两式中都取，再做相应的运算。Note：构造函数的方法也不是唯一的。2009级高等数学（A）（上）期末试卷答案一. 1，； 2 3 4 ； 5 ；6 ； 7 ； 8 ； 9 .二. 10； 11. ； 12. ； 13. ； 14. 三四，五设, 则，故常数的取值范围是：。六令,则,不等式两边对积分,得,即七(1) 记，用中值定理(2) 由(1)得，