将军饮马问题

1、学习要点与方法点拨、主要内容 (1)将军饮马问题的概念。(2)将军饮马问题在坐标系、一次函数、三角形、正方形中的应用。(3)将军饮马问题与勾股定理。、本章重点掌握将军饮马问题的概念和解题思路，能解决将军饮马问题和一次函数、坐标系、几何图形和勾股定理等的综合习题。轴对称的性质与作法；一次函数的性质；勾股定理的性质；三角形、矩形、正 方形的性质；三角形的三边关系、平移的性质。去模块精讲一、将军饮马问题的概念和基本思路起源：古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦。有一天， 有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题：如图，有一位将军从位于A点的军营，返回位于B点的家中，途中

2、需要到 达一条小河MNi,让马去河里喝水。那么，该如何选择路径，才能使将军回家 的过程中，走过的路程最短？I精通数理的海伦稍加思索，便作了完善的回答。这个问题后来被人们称作“将 军饮马”问题。M N初一看 这个问题好像没有什么思路，那我们先把问题的概念转换一下。这 个问题中A点和B点在河MN的同一侧，那么，如果A点和B点在河MN勺不同侧 呢？这时我们好像有一点眉目了，我们要利用的定理就是： 先找线路再找点。那我们再回到最开始时的问题，是不是有了启发呢？思路：为了找线路，可以利用轴对称的原理，先做对称，再转化成三角形的 三边关系。第一讲将军饮马问题两点之间直线最短，构造三角形，运用三角形的边长关

3、系、将军饮马问题解题思路的归纳学习了几个常见的例子，我们再来整理一下思路。首先明白几个概念，动点、定点、对称点。动点一般就是题目中的所求点，即 那个不定的点。定点即为题目中固定的点。对称的点，作图所得的点，需要连线的 点。1.怎么对称，作谁的对称？简单说所有题目需要作对称的点，都是题目的定点。或者说 只有定点才可以去 作对称的。(不确定的点作对称式没有意义的)那么作谁的对称点？ 首先要明确关 于对称的对象肯定是一条线， 而不是一个点。 那么是哪一条线? 一般而言都是动点 所在直线。旦个定点。_3.所求点怎么确定？首先一定要明白，所求点最后反应在图上一定是个交点_。实际就是我们所画直 线和已知直

4、线的交点。二、将军饮马与坐标系例2,已知A(2,3)、 点，求AN+NM+B的最小值,思路：作对称B(3,2)，M是x轴上的一个动点，N是y轴上的一个动N的坐标。并求出此时M-作一次对称作两次对称 最小值、B(-2,-5)、M(O,m)、N(0,m+1)，求BM+MN+A的最小值,1两段折线三段折线2连线段例3,已知A(-3,4)并求此时对应的m的值。运用平移的性质 例4,已知A(4,1)出点C的坐标和这个最大值。-转化折线-转化折线B(-3,-2)，试在x轴上找一点C,是IAC-BCI最大，求2.对称完以后和谁连接？一句话:和另外一个顶点相连。绝对不能和一个动点相连。明确一个概念:定点的对称

5、点也是例1,如图，一匹马从S点出发，先去河0P边喝水，再去草地0Q吃草，然4.将军饮马一定是求最短距离吗？肯定不是。或者说求最短距离是将军饮马中的最简单一类题目。根据将军饮马 根本原因是因为在作轴对称过程中不但是作了点 或者说 边长和角度的对称才是最关键。厂且QA=7km QB=8km他下班回家的路上先把马牵到小河边去饮水，然后再回到家_例6,如图，/POQ= 20A为OQ上的点，B为OP上的点，且OA=1 OB=2在OB上取点Ai，在OQ上取点A,求AA +AIA2+ A2B的最小值。|_例7，/AOB = 45,P是/AOB内一点，PO = 10，Q R分别是OA OB上 的动点，求PQR

6、周长的最小值。I五、三角形、正方形中的将军饮马例8,如图，在等边ABC中,AB=6 ADL BC，E是AC上的一点，M是AD上的一点，且AE=2求EM+EC勺最小值。例8图例9图例9,如图，在锐角ABC中,AB=42/BA&45,/BAC的平分线交BC于点D, M N分别是AD和AB上的动点，贝U BM+MI最小值是_。例10,如图，正方形ABCD勺边长为8,M在DC上,且DMh 2,N是AC上的一 动点，D附MN勺最小值为_。例10图例11图_例11,在边长为2 cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB PQ则PBQ周长的最小值为_m例12, 一

7、次函数y = kx + b的图象与x、y轴分别交于点A(2,0),B(0,(1)求该函数的解析式；_的基本模型可以拓展出很多题型。 的对称，还作了边长和角度的对称! 四、将军饮马与勾股定理例5,如图，将军的军营在A处，与河岸的距离0A=4km将军的家在B处。4).中，求他下班回家要走的最短路程。(2)O为坐标原点，设OA AB的中点分别为C、D, P为OB上一动点，求PCPD的最小值，并求取得最小值时P点坐标.y例13,如图，在坐标系xOy中，有一条河， 河岸分别为x轴和直线MN直线MN与y轴的 交点为A(0,2)，P、Q两地位于河的两岸，且P(0,5)、Q(5,-1)。现在需要在河上架一座桥

8、，(桥必须垂直于河岸)，来沟通P、Q两地，求 M桥的端点B、C的坐标， 使得从P地到Q地的 路程最短。0-C总结：将军饮马问题=轴对称问题=最短距离问题(轴对称是工具，最短距离是题眼)。所谓轴对称是工具，即这类问题最常用的做法就是作轴对称。而最短距离是题眼，也就意味着归类这类的题目的理由。 比如题目经常会出现小值”这样的条件或者问题。一旦出现可以快速联想到将军问题,“线段a+b的最然后利用轴对称解题。学习效果能将实际问题中的“地点”、“河”、“草地”抽象为数学中的“占”、“线”八、oxi5把最短路径问题抽象为数学中的线段和最小问题， 能利用轴对称将处在直线同侧 的两点，变为两点处在直线的异侧，

9、能利用平移将两条线段拼接在一起， 从而转化为“两点之间，线段最短”问题，能通过逻辑推理证明所求距离最短，在探索问题的过程中，体会轴对称、平移的作用，体会感悟转化的数学思想2课后巩固习题1,已知A(-1,4)，B(1,1)，在x轴上找一点C,使AC+BCR小。贝U C点的坐标是_ ，AC+BC勺最小值是_。2,_已知A(-1,3)，B(-3,1),皿是x轴上一动点，N是y轴上一动点，则当AN+NM+MB最小时，M的坐标是_,N的坐标是 。3,已知A(-4,4),B(-1,-3),M(0,m),N(0,m+1)，当BM+MN+AS小时，点M的坐标是_最小值是_ 。4,已知A(-4,5),B(2,-

10、2)，在x轴上找一点C,则当|AC-BC|最大时，点C的坐标是_ 最大值是_。5,如图，点A,B位于直线I的同侧，到直线I的距离AC = 10,BD = 30,且CD =30,在直线I上找到一点M是AM+BI最短，则最短距离是 _ 。6,如图，AOB = 45,点P在/AOB内，且OP = 3，点M,N分别为射线OA OB上的动点，则PMN勺周长的最小值为_。7,如图，上AOB = 40,点P,Q都在/AOB内,/AOP =/BOQ = 10, 且OP = OQ= 6,作点P关于OA的对称点Pi，作点Q关于OB的对称点Q ,则PiQ =题7图题8图_8,如图，/AOB = 60,点P,Q都在/

11、AOB内,/AOP =/BOQ = 15,且OP8,OQ= 6。在射线OA OB上分别存在点M N,是PM+MN+N的值最小，则最小值是0_ 9,如图，ABC中,AB=2/BAC=30，若在AC AB上各取一点M N,使BM+MN的值最小，则这个最小值是多少？题9图例10图10,如图所示，正方形ABCD勺面积为12, ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P,使PM PE的和最小，则这个最小值为 _ 。11,如图，若四边形ABCD是菱形，AB=10cm/ABC=45,E为边BC上的一个 动点，P为BD上的一个动点，求PC+PE的最小值.12,如图，在锐角ABC中,AB = 4,/BAC = 45, /BA