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1、1几何证明-常用辅助线(一)中线倍长法:例1、求证:三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。已知:如图,ABC中,AD是BC边上的中线,求证:AD1分析:要证明AD2AD即AD- (AB+AC)2小结:(1)涉及三角形中线问题时,常采用延长中线一倍的办法,即中线倍长法。它可以将分居中线两旁的两条边AB AC和两个角/BAD和/CAD集中于同一个三 角形中,以利于问题的获解。课题练习:卫ABC中,AD是/BAC的平分线,且BD=CD求证AB=ACAB AD=DC BD平分/ABC求证:/BAD/BCD180.分析:因为平角等于180。,因而应考虑把两个不在一起的通过全等转 化成为平角,图中缺少全
2、等的三角形,因而解题的关键在于构造直角三角形, 可通过“截长补短法”来实现.证明:过点D作DE垂直BA的延长线于点E,作DF丄BC于点F,如图1-2 BD平分/ABC. DE=DF在RtAADE与RtACDF中,DE = DFlAD =CD RtADE RtACDF HD,DAE/DCF又/BAD/DA匡180,./BAD/DCI=180,即/BAD/BCD180例2.如图2-1,AD/ BC点E在线段AB上,/ADE/CDE/DCE/ECB求证:C=ADHBCCEC如图3-1, / 仁/2,P为BN上一点,且PDI BC于点D, AB-BC=2BDBAR/BCP180.如图4-1,在ABC中
3、,/0=2/B,/1= /2.求证:AB=AQCDC例3.已知,求证:/例4.已知:图3-1作业:1、已知:如图,ABCD是正方形,/FAD:/FAE求证:BBDFAE2、五边形ABCD中,AB=AE B(+DE=CD/ABC/AED180,求证:AD平分/CDE(三)其它几种常见的形式:1、有角平分线时,通常在角的两边截取相等的线段,构造全 等三角形。例:如图1:已知ABC的中线,且/1= /2,/3=/4,求证:BECFEFoFCE图12、有以线段中点为端点的线段时,常延长加倍此线段,构造全 等三角形。例:如图2:AD为ABC的中线,且/1= /2,/3=/4,求证:BE+ CFEF练习:已知ABC AD是BC边上的中线,分别以AB边、AC边为直角边各 向形外作等腰直角三角形,如图4,求证EF=2AD3、延长已知边构造三角形:例如:如图6:已知AOBD, ADIAC于A,BCIBD于B,求证:AD= BCM图2F图464、连接四边形的对角线,把四边形的问题转化成为三角形来解决。例如:如图7:AB/ CD AD/ BC求证:AB=CD5、有和角平分线垂直的线段时,通常把这条线段延长。例如:如图8:在RtABC中,AB= AC/BAC= 90,/1= /2,CELBD的延长于E。求证:BD- 2CE6连接已知点,构造全等三角形。例如:已知:如图9;AC BD相交于0点,且AB=D
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