相似三角形综合题锦(含答案).

1、一、相似三角形中的动点问题1.如图，在 Rt ABC中， ACB=90°， AC=3， BC=4，过点 B 作射线 BB1AC动点 D 从点 A 出发沿射线 AC方向以每秒 5 个单位的速度运动，同时动点 E 从点 C 沿射线 AC 方向以每秒 3 个单位的速度运动 过点 D 作 DH AB于 H，过点 E 作 EF AC 交射线 BB1 于 F， G 是 EF 中点，连接DG设点 D 运动的时间为t 秒（ 1）当 t 为何值时， AD=AB，并求出此时 DE的长度；（ 2）当 DEG与 ACB 相似时，求 t 的值2.如图，在 ABC中，ABC 90°，AB=6m，BC=

2、8m，动点 P 以 2m/s 的速度从 A 点出发，沿 AC 向点 C 移动同时，动点 Q 以 1m/s 的速度从 C点出发，沿 CB 向点 B 移动当其中有一点到达终点时，它们都停止移动设移动的时间为 t 秒（1） 当 t=2.5s 时，求 CPQ的面积； 求 CPQ的面积 S（平方米）关于时间 t（秒）的函数解析式；（ 2）在 P， Q 移动的过程中，当 CPQ为等腰三角形时，求出 t 的值点 P 从 A 点出发，沿着 AB 以每秒 4cm 的速度向 B 点运动；同时点 Q 从 C 点出发，沿 CA 以每秒 3cm 的速度向 A 点运动，当 P 点到达 B 点时， Q 点随之停止运动设运动

3、的时间为 x（ 1）当 x 为何值时， PQ BC？（ 2） APQ 与 CQB能否相似？若能， 求出 AP 的长；若不能说明理由5.如图，在矩形 ABCD 中， AB=12cm， BC=6cm，点 P 沿 AB 边从 A 开始向点 B 以 2cm/s 的速度移动；点 Q沿 DA 边从点 D 开始向点 A 以 1cm/s 的速度移动如果 P、 Q 同时出发，用 t（ s）表示移动的时间（ 0 t6）。（ 1）当 t 为何值时， QAP 为等腰直角三角形？（ 2）当 t 为何值时，以点 Q、 A、 P 为顶点的三角形与 ABC相似？3.如图 1，在 Rt ABC 中， ACB90°，

4、AC 6，BC 8，点 D 在边 AB 上运动， DE 平分 CDB 交边 BC 于点 E， EM BD，垂足为 M， EN CD，垂足为 N（ 1）当 ADCD 时，求证： DEAC；（ 2）探究： AD 为何值时， BME 与 CNE相似？二、构造相似辅助线双垂直模型6.在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为 (2， 1)，正比例函数y=kx 的图象与线段OA 的夹角是45°，求这个正比例函数的表达式7.在 ABC 中， AB=， AC=4， BC=2，以 AB 为边在4.如图所示，在 ABC中， BA BC 20cm， AC 30cm，C 点的异侧作 ABD，使 ABD 为

5、等腰直角三角形，求线段 CD 的长11.如图： ABC中， D 是 AB 上一点， AD=AC， BC 边上的中线 AE交 CD 于 F。求证：8.在 ABC 中， AC=BC， ACB=90°，点 M 是 AC 上的一点，点 N 是 BC 上的一点，沿着直线 MN 折叠，使得点 C 恰好落在边 AB 上的 P 点求证： MC： NC=AP： PB9.如图，在直角坐标系中， 矩形 ABCO的边 OA 在 x 轴上，边 OC 在 y 轴上，点 B 的坐标为（ 1， 3），将矩形沿对角线 AC 翻折 B 点落在 D 点的位置， 且 AD 交 y 轴于点 E那么 D 点的坐标为（）A.B.

6、C.D.10.已知，如图，直线y= 2x 2 与坐标轴交于 A、 B 两点以 AB 为短边在第一象限做一个矩形 ABCD，使得矩形的两边之比为 1 2。求 C、 D 两点的坐标。12.四边形 ABCD中，AC 为AB、 AD 的比例中项，且AC 平分 DAB。求证：13.在梯形 ABCD中， AB CD， AB b， CD a， E 为 AD 边上的任意一点， EF AB，且 EF 交 BC于点 F，某同学在研究这一问题时，发现如下事实：(1)当时，EF=；(2) 当时， EF=；(3)当时， EF=当时，参照上述研究结论，请你猜想用 a、 b 和 k 表示 EF的一般结论，并给出证明三、构造

7、相似辅助线14.已知：如图，在 ABC中， M 是 AC的中点， E、 F A、 X 字型是 BC 上的两点，且BE EFFC。求 BN： NQ：QM 18.如图，在 ABC 中，已知CD 为边 AB 上的高，正15.证明：（ 1）重心定理：三角形顶点到重心的距离等于方形 EFGH的四个顶点分别在ABC上。该顶点对边上中线长的（注：重心是三角形三条中线的交点） （ 2）角平分线定理：三角形一个角的平分线求证：分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例四、 相似类定值问题16.如图，在等边 ABC中， M 、N 分别是边 AB，AC 的中点， D 为 MN 上任意一点， BD、 CD的延长线

8、分别交 AC、 AB 于点 E、 F求证：17.已知：如图，梯形 ABCD中， AB/DC，对角线 AC、 BD 交于 O，过 O 作 EF/AB 分别交 AD、BC于 E、 F。求证：19.已知，在 ABC 中作内接菱形 CDEF，设菱形的边长为 a求证：五、 相似之共线线段的比例问题20.（1）如图1，点在平行四边形ABCD 的对角线BD 上，一直线过点P 分别交 BA，BC的延长线于点Q，S，交于点求证：（2）如图2，图3，当点在平行四边形ABCD的对角线或的延长线上时，是否仍然成立？若成立，试给出证明；若不成立，试说明理由（要求仅以图 2 为例进行证明或说明） ；22.如图，已知 &a

9、mp;Delta;ABC 中，AD， BF 分别为 BC， AC 边上的高，过D 作 AB 的垂线交 AB 于 E，交 BF 于 G，交 AC 延长线于H。 求证：2DE=EG?EH23.已知如图，P 为平行四边形ABCD的对角线AC 上一点，过P 的直线与AD、 BC、CD 的延长线、AB的延长线分别相交于点E、 F、G、H.求证：21.已知：如图， ABC 中， AB AC， AD 是中线， P 是 AD上一点， 过 C 作 CF AB，延长 BP 交 AC 于 E，交 CF于 F求2证： BPPE·PF 24.已知，如图，锐角ABC 中， AD BC 于 D， H 为垂心E是

10、AC的中点， ED 的延长线与 CB 的延长线交于点 F.（三角形三条高线的交点） ；在 AD 上有一点 P，且 BPC（1）求证：.2为直角 求证： PDAD·DH 。（2）若 G 是 BC 的中点，连接 GD，GD 与 EF垂直吗？并说明理由 .六、相似之等积式类型综合25.已知如图， CD是 RtABC斜边 AB 上的高， E 为 BC 的中点， ED 的延长线交 CA于 F。求证：28.如图，四边形 ABCD、 DEFG都是正方形，连接 AE、CG,AE与 CG 相交于点 M， CG 与 AD 相交于点 N求证：29.如图， BD、 CE 分别是 ABC 的两边上的高，过 D

11、26 如图，在 Rt ABC中， CD 是斜边 AB 上的高，点 M 在作 DG BC于 G，分别交 CE及 BA 的延长线于 F、 H。CD上， DH BM 且与 AC的延长线交于点 E.2求证：（ 1）DGBG·CG；（ 2）BG·CGGF·GH求证：（ 1） AED CBM；（2）七、 相似基本模型应用30.ABC 和DEF 是两个等腰直角三角形，A= D=90°， DEF的顶点 E 位于边 BC的中点上27.如图， ABC是直角三角形， ACB=90°，CD AB 于 D，（1）如图 1，设 DE 与 AB 交于点 M ，EF 与 AC

12、 交于点N，求证： BEM CNE；（ 2）如图 2，将 DEF绕点 E 旋转，使得 DE 与 BA 的延长线交于点 M， EF与 AC交于点 N，于是，除（ 1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论31.如图，四边形 ABCD和四边形 ACED都是平行四边形，点 R 为 DE 的中点， BR分别交 AC、 CD 于点 P、 Q（1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1 除外）；（ 2）求 BP：PQ： QR32.如图，在 ABC 中，AD BC 于 D，DE AB 于 E，DF AC于 F。求证：答案：1.答案：解：（1） ACB=90°， AC=3， BC

13、=4 AB=5又 AD=AB， AD=5t t=1 ，此时 CE=3， DE=3+3-5=1（ 2）如 图 当 点D 在 点E 左 侧 ，即 ： 0 t 时 ，DE=3t+3-5t=3-2t 若 DEG与 ACB相似，有两种情况： DEG ACB，此时，即：，求得： t=； DEG BCA，此时，即：，求得： t=；如 图 ， 当 点D 在 点E 右 侧 ， 即 ： t>时 ，DE=5t-(3t+3)=2t-3 若 DEG与 ACB相似，有两种情况： DEG ACB，此时，即：，求得： t=； DEG BCA，此时，即：，求得： t=综上， t 的值为或或或3.答案： 解：（1）证明：

14、AD=CD A= ACD DE 平分 CDB交边 BC 于点 E CDE=BDE CDB 为 CDB的一个外角 CDB=A+ ACD=2 ACD CDB=CDE+ BDE=2 CDE ACD= CDE DE AC（ 2） NCE= MBE EMBD，EN CD， BME CNE，如图 NCE= MBEBD=CD又 NCE+ ACD=MBE+ A=90° ACD= AAD=CD AD=BD= AB在 Rt ABC中，ACB 90°， AC 6， BC 8 AB=10 AD=5 NCE= MEB EMBD，EN CD， BME ENC，如图 NCE= MEBEMCDCD AB在

15、 Rt ABC中，ACB 90°， AC 6， BC 8 AB=10 A= A， ADC= ACB ACD ABC综上： AD=5 或时， BME 与 CNE相似4.答案： 解（ 1 ）由题意： AP=4x， CQ=3x， AQ=30-3x，当 PQ BC 时，即：解得：（2）能， AP=cm 或 AP=20cm APQ CBQ，则，即解得：或（舍）此时： AP=cm APQ CQB，则，即解得：（符合题意）此时： AP=cm故 AP=cm 或 20cm 时， APQ与 CQB能相似5.答案： 解：设运动时间为 t ，则 DQ=t， AQ=6-t， AP=2t，BP=12-2t（ 1

16、）若 QAP 为等腰直角三角形， 则 AQ=AP，即：6-t=2t ，t=2（符合题意） t=2 时， QAP 为等腰直角三角形（2） B= QAP=90° 当 QAP ABC 时，即：，解得：（符合题意）； 当 PAQ ABC时，即：，解得：（符合题意） 当或时，以点Q、 A、 P 为顶点的三角形与 ABC相似6.答案： 解：分两种情况第一种情况，图象经过第一、三象限过点 A 作 ABOA，交待求直线于点 B，过点 A 作平行于 y 轴的直线交 x 轴于点 C，过点 B 作 BD AC则由上可知： 90°由双垂直模型知： OCA ADBA（2， 1）， 45°O

17、C 2， AC 1，AOABAD OC2， BD AC1 D 点坐标为（ 2，3）B 点坐标为（ 1，3）此时正比例函数表达式为： y3x第二种情况，图象经过第二、四象限过点 A 作 ABOA，交待求直线于点 B，过点 A 作平行于 x 轴的直线交 y 轴于点 C，过点 B 作 BD AC则由上可知： 90°由双垂直模型知： OCA ADBA（ 2， 1）， 45°OC 1， AC 2，AOABAD OC1， BD AC 2D 点坐标为（ 3，1）B 点坐标为（ 3， 1）此时正比例函数表达式为：yx7.答案： 解：情形一：情形二：情形三：连接 PC，过点 P 作 PD A

18、C 于 D，则 PD/BC根据折叠可知MN CP 2+ PCN=90°， PCN+CNM=90° 2= CNM CDP= NCM=90° PDC MCNMC： CN=PD： DCPD=DAMC： CN=DA： DC PD/BCDA： DC=PA： PBMC： CN=PA： PB方法二：如图，过 M 作 MDAB于 D，过 N作 NEAB于 E由双垂直模型，可以推知PMDNPE，则，根据等比性质可知，而 MD=DA，NE=EB， PM=CM，PN=CN， MC：CN=PA： PB9.答案： A解题思路： 如图过点 D 作 AB 的平行线交BC 的延长线于点M，交 x

19、轴于点 N，则 M= DNA=90°，由于折叠，可以得到 ABC ADC，又由 B（1， 3） BC=DC=1， AB=AD=MN=3， CDA= B=90° 1+ 2=90° DNA=90° 3+ 2=90° 1=3 DMC AND，8.答案： 证明：方法一：设 CM=x，则 DN=3x， AN=1 x， DM 3x 3 x，则。答案为A10.答案： 解：过点 C 作 x 轴的平行线交 y 轴于 G，过点 D 作 y 轴的平行线交 x 轴于 F，交 GC的延长线于 E。直线 y= 2x 2 与坐标轴交于A、B 两点A（1,0）， B（ 0,2

20、） OA=1，OB=2， AB=AB： BC=1:2 BC=AD= ABO+ CBG=90°， ABO+ BAO=90° CBG= BAO又 CGB=BOA=90° OAB GBC GB=2，GC=4GO=4 C（4,4）同理可得 ADF BAO，得 DF=2， AF=4 OF=5 D（ 5,2）11.答案： 证明：（方法一）如图延长 AE 到 M 使得 EM=AE，连接 CM BE=CE， AEB= MEC BEA CEMCM=AB， 1= BAB CM M= MAD ， MCF= ADF MCF ADFCM=AB，AD=AC（方法二）过 D作 DGBC交 AE

21、于 G则 ABE ADG， CEF DGF，AD=AC， BE=CE12.答案：证明：过点 D 作 DF AB 交 AC 的延长线于点F，则 2= 3AC 平分 DAB 1= 2 1= 3 AD=DF DEF=BEA， 2= 3 BEA DEF AD=DF AC 为 AB、 AD 的比例中项即又 1= 2 ACD ABC13.答案： 解：证明：过点 E 作 PQ BC分别交 BA 延长线和DC 于点 P 和点 QAB CD， PQ BC四边形PQCB和四边形EQCF是平行四边形 PB EF CQ，又 AB b， CD aAPPB-ABEF-b， DQ DC-QC a-EF14.答案： 解：连接

22、 MFM 是 AC 的中点， EF FCMF AE且 MFAE BEN BFM BN：BM BE：BF NE：MF BEEF BN：BMNE：MF 1:2 BN： NM 1:1设 NE x，则 MF 2x，AE4x AN3x MF AE NAQ MFQ NQ ： QM AN：MF 3:2BN：NM 1:1，NQ：QM 3:2 BN：NQ： QM 5:3:215.答案： 证明：（ 1）如图 1，AD、BE为 ABC的中线，且AD、BE 交于点O过点 C 作 CFBE，交 AD 的延长线于点F CF BE且 E为 AC中点 AEO ACF， OBD FCD， AC 2AE EAO CAF AEO

23、ACFD 为 BC的中点， ODB FDC BOD CFDBO CF同理，可证另外两条中线三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的（ 2）如图 2， AD 为 ABC 的角平分线过点 C 作 AB 的平行线 CE交 AD 的延长线于 E 则 BAD= EAD 为 ABC 的角平分线 BAD= CAD E=CAD AC CE CEAB BAD CED16.答案： 证明：如图，作DP AB， DQ AC则四边形 MDPB 和四边形 NDQC 均为平行四边形且 DPQ 是等边三角形BP+CQ MN， DP DQ PQ M、 N 分别是边 AB， AC的中点 MN BC PQ DP AB，DQA

24、C CDP CFB， BDQ BEC，DP DQ PQBCABAB（）17.答案： 证明： EF/AB，AB/DC EF/DC AOE ACD， DOE DBA，18.答案： 证明： EF CD， EH AB， AFE ADC， CEH CAB， EF EH19.答案： 证明： EF AC， DE BC， BFE BCA， AED ABC， EF DE a20.答案：（ 1）证明：在平行四边形 ABCD中， AD BC， DRP= S， RDB= DBS DRP BSP同理由 AB CD 可证 PTD PQB（ 2）证明：成立，理由如下：在平行四边形 ABCD中， AD BC， PRD= S，

25、 RDP= DBS DRP BSP同理由 AB CD 可证 PTD PQB21.答案： 证明 :AB AC， AD 是中线，AD BC,BP=CP 1= 2又 ABC= ACB 3= 4 CF AB 3= F, 4= F又 EPC= CPF EPC CPF2 BPPE·PF即证所求22.答案： 证明： DE AB 90° 90° ADE DBE DE2= BF AC 90° 90°且 BEG HEADE2=EG•EH23.答案：证明：四边形ABCD为平行四边形AB CD， ADBC 1= 2， G= H， 5=6 PAH PC

26、G又 3= 4 APE CPF24.答案： 证明：如图，连接BH 交 AC 于点 E，25.答案： 证明： CD 是 Rt ABC 斜边 AB 上的高， E为 BC 的中点 CE=EB=DE B=BDE= FDA B+CAB=90°， ACD+ CAB=90° B=ACD FDA= ACD F= F FDA FCD ADC= CDB=90°， B= ACD ACD CBD即26.答案： 证明：（ 1） ACB ADC 90° A ACD 90°BCM ACD 90° A BCM同理可得： MDH MBD CMB CDB MBD 90&

27、#176; MBD ADE ADC MDH 90° MDH ADE CMB AED CBM（2）由上问可知：，即H 为垂心故只需证明即可BE AC EBC+BCA=90° A A， ACD ABCAD BC于 D ACD ABC DAC+ BCA=90° EBC=DAC，即又 BDH= ADC=90° BDH ADC，即27.答案：（1 ）将结论写成比例的形式， BPC 为直 角，可以考虑证明 FDB FCD（已经有一个公共角F）AD BC PD2BD·DC PD2RtACD 中， E 是 AC 的中点AD·D