概率论讲义(茆诗松)

1、概率论课程教案第二章 随机变量及其分布教学目的与教学要求：理解随机变量的概念；掌握离散和连续随机变量的描述方法；理解分布函数、概率分布列和概率密度函数的概念和性质；会利用概率分布计算有关事件的概率；掌握二项分布、泊松分布、正态分布、指数分布、均匀分布等；会求简单随机变量函数的概率分布及特征数。教学重点：不同类型的随机变量的概率分布的概念和性质、常用的离散和连续分布、随机变量的数学期望与方差的概念和性质、随机变量函数的分布。教学难点：概率分布和数学期望以及方差性质的应用、随机变量函数的分布。教学措施：理论部分的教学多采用讲授法，注意思想方法的训练，计算类问题采用习题与讨论的方法进行教学。教学时数

2、：20学时教学过程：§2.1 随机变量及其分布例2.1.1 (1) 掷一颗骰子，出现的点数：1、2、6；(2) 个产品中的不合格品个数：0、1、2、；(3) 某商场一天内来的顾客数：0、1、2、；(4) 某种型号电视机的寿命：。§2.1.1 随机变量的概念定义2.1.1 定义在样本空间上的实值函数称为随机变量，常用大写、等表示；随机变量的取值用小写字母、等表示。注意：(1) 随机变量是样本点的函数，其定义域为，其值域为，若表示掷一颗骰子出现的点数，则是不可能事件；(2) 若为随机变量，则、均为随机事件，即：；(3) 注意以下一些表达式：(4) 同一样本空间可以定义不同的随机

3、变量。两类随机变量：若随机变量可能取值的个数为有限个或可列个，则称为离散随机变量；若随机变量的可能取值充满某个区间，则称为连续随机变量，其中可以是，可以是。前例2.1.1中的、为离散随机变量；而为连续随机变量。§2.1.2 随机变量的分布函数定义2.1.2 设是一个随机变量，对任意实数，称为随机变量的分布函数，且称服从，记为，有时也可用表明是的分布函数。定理2.1.1 任一个分布函数都有如下三条基本性质：(1) 单调性：是定义在整个实数轴上的单调非减函数，即对任意的，有；(2) 有界性：，有，且(3) 右连续性：是的右连续函数，即对任意的，有即：。注：(1) 上述三条可以作为判断一个

4、函数是否为分布函数的充要条件；(2) 有了分布函数的定义，可以计算：等。§2.1.3 离散随机变量的概率分布列定义2.1.3 设是一个离散随机变量，如果的所有可能取值是、，则称取的概率 为的概率分布列或简称为分布列，记为。分布列也可用下列形式表示：分布列的基本性质：(1) 非负性： (2) 正则性：。注：(1) 上述两条可以作为判断一个数列是否为分布列的充要条件；(2) 离散随机变量的分布函数为：。求离散随机变量的分布列应注意：(1) 确定随机变量的所有可能取值；(2) 计算每个取值点的概率。对离散随机变量的分布函数应注意：(1) 是递增的阶梯函数；(2) 其间断点均为右连续的；(3

5、) 其间断点即为的可能取值点；(4) 其间断点的跳跃高度是对应的概率值。例2.1.2 已知的分布列如下：012求的分布函数？解：。例2.1.3 已知的分布函数如下，求的分布列？解：的分布列如下：0120.40.40.2§2.1.4 连续随机变量的概率密度函数因为连续随机变量的可能取值充满某个区间，所以对连续随机变量，有，从而无法仿离散随机变量用来描述连续随机变量的分布；定义2.1.4 设随机变量的分布函数为，如果存在实数轴上的一个非负可积函数，使得对任意实数，有则称为连续随机变量，称为的概率密度函数，简称为密度函数。密度函数的基本性质：(1) 非负性：；(2) 正则性：。注：(1)

6、上述两条可以作为判断一个函数是否为密度函数的充要条件；(2) ；(3) 是上的连续函数；(4) ；(5) ；(6) 当在点可导时，当在点不可导时，。离散随机变量与连续随机变量对比：离散随机变量连续随机变量分布列：（唯一）密度函数：（不唯一）且点点计较为阶梯函数，即：为连续函数，即：例2.1.4 设，求(1) 常数；(2) ?解：(1) ；(2) 。例2.1.5 设，求?解：。例2.1.6 设与同分布，的密度为已知事件和独立，且，求常数？解：因为，且、独立，得再由解得：由此得因此从中解得。§2.2 随机变量的数学期望§2.2.1 数学期望的概念例2.2.1（分赌本问题）若甲乙

7、两赌徒赌技相同，各出赌注50元，无平局，谁先赢3局，则获全部赌注，当甲赢2局、乙赢1局时，中止了赌博，问如何分赌本？赌本有两种分法：(1) 按已赌局数分：则甲分总赌本的、乙分总赌本的；(2) 按已赌局数和再赌下去的“期望”分：设再赌下去，则再赌两局必分胜负，共四种情况：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙。于是，甲的所得是一个可能取值为0或100的随机变量，其分布列为：0100甲的“期望”所得是：。这就是数学期望的由来，又称期望或均值，数学期望是一种加权平均。§2.2.2 数学期望的定义定义2.2.1 设离散随机变量的分布列为 若，则称为随机变量的数学期望，简称期望或均值。若级数不收敛，则称的数学

8、期望不存在。定义2.2.2 设连续随机变量的密度函数为，若，则称为随机变量的数学期望，简称期望或均值。若级数不收敛，则称的数学期望不存在。例2.2.2 设随机变量的分布列如下：0120.20.10.40.3求?解：。§2.2.3 数学期望的性质定理2.2.1 设随机变量的分布用分布列或用密度函数表示，若的某一函数的数学期望存在，则。例2.2.3 设随机变量的概率分布为：012求？解：。数学期望的性质：(1) 若是常数，则；(2) 对任意的常数，有；(3) 对任意的两个函数、，有例2.2.4 设，求下列的函数的数学期望(1) ；(2) ?解：(1) ；(2) 。§2.3 随机

9、变量的方差与标准差数学期望只能反映平均值即取值的中心，有很大的局限性，在一些情况下，仅知道平均值是不够的，还要讨论随机变量与其平均值的偏离程度，用什么量去表示随机变量与其数学期望的偏离程度呢？显然，可用随机变量的平均值来表示与的偏离程度，但为了数字上处理的方便，通常用来表示与的偏离程度。§2.3.1 方差与标准差的定义定义2.3.1 若随机变量的数学期望存在，则称偏差平方的数学期望为随机变量（或相应分布）的方差，记为称方差的正平方根为（或相应分布）的标准差，记为或。注意：(1) 方差反映了随机变量相对其均值的偏离程度。方差越大，则随机变量的取值越分散。(2) 标准差的量纲与随机变量的

10、量纲相同。§2.3.2 方差的性质性质2.3.1 。性质2.3.2 若为常数，则。性质2.3.3 若、为常数，则。例2.3.1 设，求和？解：；。随机变量的标准化：设，令则有、，称为的标准化。§2.3.3 切比雪夫不等式定理2.3.1（切比雪夫不等式）设随机变量的数学期望和方差都存在，则对任意的常数，有或。定理2.3.2 若随机变量的方差存在，则的充要条件是几乎处处为某个常数，即。§2.4 常用离散分布§2.4.1 二项分布定义 如果随机变量的分布列为 则称这个分布为二项分布，记为。当时，称为二点分布或分布。例2.4.1 设、，已知，求？解：由知，于是从

11、而解得，所以。二项分布的数学期望与方差：设，令，则又因于是。§2.4.2 泊松分布定义 如果随机变量的分布列为 其中参数，则称这个分布为泊松分布，记为。泊松分布的数学期望与方差：设，则又因于是。二项分布的泊松近似：在二项分布中，当较大时，直接计算是很麻烦的，下面我们给出一个当n很大而p很小时的近似计算公式。定理2.4.1（泊松定理）在重贝努里试验中，事件在一次试验中出现的概率为（与试验总数有关），（为常数），则对任意确定的非负整数，有。证明：设，则，于是对任意确定的k，当时、所以。在实际计算中，当，时，上式的近似值效果颇佳，而且时，效果更好。§2.4.3 超几何分布定义 如

12、果随机变量的分布列为 其中、且、均为整数，则称这个分布为超几何分布，记为。超几何分布对应于无放回抽样模型：个产品中有个不合格品，从中无放回地抽取个，不合格品的个数为。§2.4.4 几何分布与负二项分布定义 如果随机变量的分布列为 则称这个分布为几何分布，记为。几何分布对应于抽样模型：为独立重复的伯努里试验中，“首次成功”时的试验次数。几何分布的数学期望与方差：设，令，则又因于是。定理2.4.2（几何分布具有无记忆性）设，则对任意的正整数与，有。定义 如果随机变量的分布列为 则称这个分布为负二项分布（巴斯卡分布），记为。负二项分布对应于抽样模型：为独立重复的伯努里试验中，“第次成功”时

13、的试验次数。注：(1) 二项随机变量是独立随机变量之和；(2) 负二项随机变量是独立几何随机变量之和。§2.5 常用连续分布§2.5.1 正态分布定义 若随机变量的概率密度函数为 其中和为常数，且，则称随机变量服从参数为和的正态分布，或高斯(Gauss)分布，称为正态变量，记为，正态分布的密度函数所表示的曲线称为正态曲线。正态分布的性质：(1) 正态曲线以为对称轴；(2) 当时取最大值；(3) 以轴为水平渐近线，即离越远，的值越小，且时，。相应的分布函数为：和的图形分别如下图所示：当固定，改变的值，的图形沿轴平移而不改变形状，因而又称为位置参数；其图如下：当固定，改变的值，

14、则的图形的形状随着的增大而变得平坦，故称为形状参数。其图如下：称参数、的正态分布称为标准正态分布，记为，其密度函数记为 相应的分布函数为其图如下：标准正态分布的计算：当时，的函数值可查表得到；当时，由的对称性即知，先查，再由来得到的函数值。例2.5.1 若，求下列事件的概率：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ？解：略。非标准正态分布的计算：定理2.5.1 若，则。利用定理2.5.1，将非标准正态分布化为标准正态分布计算，即若，则令，于是。例2.5.2 若，求(1) ；(2) 若，求常数？解：(1) (2) 由反查表得：，于是。正态分布的数学期望与方差：设，则。正态分布的原则：设，

15、则可见在一次试验中，几乎必然落在区间内，或者说，在一般情形下，在一次试验中落在区间以外的概率可以忽略不计，这就是通常所说的原则。§2.5.2 均匀分布定义 若随机变量具有概率密度函数则称在区间上服从均匀分布，记为。相应的分布函数为：和的图形分别如下图所示：例2.5.3 若，现对进行4次独立观测，试求至少有3次观测值大于5的概率？解：设随机变量是4次独立观测中观测值大于5的次数，则，其中由得于是，所求概率为。均匀分布的数学期望与方差：设，则于是。§2.5.3 指数分布定义 若随机变量具有概率密度函数其中参数，则称服从参数为的指数分布，记为。相应的分布函数为：指数分布的数学期望

16、与方差：设，则于是。定理2.5.2（指数分布的无记忆性）如果，则对任意的、，有。证明：由知又因，于是。例2.5.4 若某设备在任何长为的时间内发生故障的次数服从，则相继两次故障之间的间隔时间。证明：由，则 又因两次故障之间的间隔时间是非负的随机变量，且事件表明此设备在没有发生故障，即，于是当时，有当时，有于是的概率密度函数为即：。§2.5.4 伽玛分布函数称为伽玛函数，其中参数。伽玛函数具有如下性质：(1) 、；(2) ，当为自然数时，有定义 若随机变量具有概率密度函数其中为形状参数，为尺度参数，则称服从伽玛分布，记为。伽玛分布的数学期望与方差：设，则于是。定义 若随机变量具有概率密

17、度函数则称服从自由度为的分布，记为。伽玛分布的两个特例：(1) ；(2) 若，则、。§2.5.5 贝塔分布函数称为贝塔函数，其中参数、。贝塔函数具有如下性质：(1) ；(2) 。定义 若随机变量具有概率密度函数其中、都是形状参数，则称服从贝塔分布，记为。贝塔分布的数学期望与方差：设，则于是。贝塔分布的特例：。§2.6 随机变量函数的分布在实际问题中，我们常要讨论随机变量函数的分布。例如分子运动的速度是随机变量，分子的动能也是随机变量，它是的函数。设是随机变量，是一个单值函数，则称为随机变量的函数。§2.6.1 离散随机变量函数的分布设是离散随机变量，的分布列为：则

18、也是离散随机变量，其分布列为：当、中有某些值相等时，则将它们合并，将对应的概率相加即可。例2.6.1 设随机变量的分布列如下，试求随机变量的分布列？0120.20.10.10.30.3解：由题意得：200260.20.10.10.30.3再将相同值合并得的分布列为0260.20.50.3§2.6.2 连续随机变量函数的分布对连续随机变量，分情况讨论的分布：当严格单调时：定理2.6.1 设是连续随机变量，其密度函数为，严格单调，其反函数有连续导函数，则也是连续型随机变量，且其密度函数为其中、。证明：为求的密度函数，先求其分布函数。当为严格单调增函数时，它的反函数也是严格单调增函数，且，由于当取值于时，取值于，所以当时，；当时，；当时于是，的密度函数为；当为严格单调减函数时，可以类似证明。定理2.6.2 若，则当时，有。推论 若，则。例2.6.2 设，试求的分布?解：由题意知：仍是正态变量，且所以。注：分布相同与随机变量相等是两个完全不同的概念。定理2.6.3（对数正态分布）若，则的概率密度函数为。定理2.6.4 设，则当时，有。定理2.6.5 设，若为严格单调增的连续函数，则。当为其它形式时：若对应的函数不满足条件时，则可用定义来求