2015-2016学年高中数学第二章推理与证明2.2.1综合法和分析法课时作业新选修1-2

1、221综合法和分析法明目标、知重点】1. 了解直接证明的两种基本方法一一综合法和分析法.2.理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题.填要点记疑点1 综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方 式.2.般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推 导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合_3 分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结 论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止.探要点究所然情境导学证明对我们来说并不陌生，我们在上一节学习

2、的合情推理，所得的结论的正确性就是要证明 的，并且我们在以前的学习中，积累了较多的证明数学问题的经验，但这些经验是零散的、 不系统的，这一节我们将通过熟悉的数学实例，对证明数学问题的方法形成较完整的认识. 探究点一综合法思考 1 请同学们证明下面的问题，总结证明方法有什么特点？_ _ 2 2 2 2已知a，b0，求证：a(b+c) +b(c+a) 4abc.证明因为b2+c22bc，a0，所以a(b2+c2)2abc_2222又因为c+a 2 ac，b0，所以b(c+a)2 abc.因此a(b+c) +b(c+a)4abc.总结：此证明过程运用了综合法综合法的定义：一般地，利用已知条件和某些数

3、学定义、 公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫 做综合法.思考 2 综合法又叫由因导果法，其推理过程是合情推理还是演绎推理？答 因为综合法的每一步推理都是严密的逻辑推理，因此所得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”，所以综合法是演绎推理.例 1在厶ABC中，三个内角AB, C的对边分别为a，b，c，且A B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证：ABC为等边三角形.证明 由A, B, C成等差数列，有 2B= A+C,由于A,B,C为厶ABC勺三个内角，所以A+B+n.-2 -n由，得B=，2由a,b, c成等比数列，有b=ac,

4、由余弦定理及，可得b2=a2+c2 2accosB=a2+c2ac,222再由，得a+cac=ac,即(ac) = 0,从而a=c,所以A=C.由，得A=B=C= 3,所以ABC为等边三角形.反思与感悟综合法的证明步骤如下：(1) 分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等;(2) 转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程.ACcosB跟踪训练 1 在厶ABC中，廿，证明：B=C.ABcosCsinBcosB证明在厶ABC中，由正弦定理及已知得=.sinCcosC于是 sinBcosC cosBsinC= 0,即 sin(BC= 0,因为一nBC0

5、,b0)是怎样证明的?只需证a+b2ab,只需证a+b2“Jab0,只需证(ab)20,因为.a,b)20显然成立，所以原不等式成立.思考 2 证明过程有何特点？答 从结论出发开始证明， 寻找使证明结论成立的条件， 最终把要证明的结论变成一个显然 成立的条件. 小结 分析法定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理）为止,这种证明方法叫做分析法.-3 -思考 3 综合法和分析法的区别是什么？答 综合法是从已知条件出发，逐步推向未知，每步寻找的是必要条件；分析法是从待求结 论出发，逐步靠拢已知，每

6、步寻找的是充分条件.例 2 求证：3 +72 5.证明因为 3 +7 和 2 .5 都是正数，所以要证 3 +72 5,只需证（3 +7）2（25）2,展开得 10 + 2 2120，只需证 215，只需证 2125,因为 2125 成立，所以3 + , 72 5 成立.反思与感悟当已知条件和结论联系不够明显、直接，证明中需要用哪些知识不太明确具体时，往往采用从结论出发，结合已知条件，用结论反推的方法.跟踪训练 2 求证：“Ja冷a 1Ja 2 ；a 3（a3）.证明方法一一 要证-Ja *a 1工； 2Ia 3,只需证-.a+_ a 3a 2 + a 1,只需证（=；a+；a 3） （爲:a

7、 2 + 冷 ja 1）,只需证 2a 3+ 2a2 3a2a 3 + 2a2 3a+ 2,只需证 ja 3a.a 3a+ 2,只需证 02,而 02 显然成立，所以a ；a 1知La 2+ 材a 3,1 1目a+、.;a 1 ；a 2 + ；a 3,a, a 1x0，且x+y= 1，那么（A.x+yxy2xyx+yB. 2xyxyC.x+yx22xyyx+yD.x2xyx0, 且x+y= 1，二设y= 4,x= 4,x+y13x+y ,则一 = 2，2xy= 8，二x2xy-y，故选 D.2.欲证.；2*36 j7 成立，只需证()A.(2 3)2( 6-7)2B.(2 6)2(3 7)2C

8、.(2 +7)2(3 +6)2D. ( 2 3 6)2( - 7)2答案 C只需证：,2 +7 6 +3,3.求证:123+ + 2 log519 log319 log21923证明 因为 =logab,所以左边=log 5 + 2log 3 + 3log 伯 2 = log195 + log193 + log 2 = logba23log19(5X3 X2)=log 伯 360.因为 log19360log 伯 361 = 2,所以亠+亠+亠2log519 log319 log2191tana4.已知 2+ tana=1，求证：cosasina =3(cosa +sina).证明 要证 co

9、sa sina= 3(cosa+ sina),cosa sin 只需证corma_= 3,只需证1 tan1 + ta n=3,只需证：(2 +7)2b,则ac2bc2卄a b“B.右 ，贝Vabc c”331 1C.右ab且ab二a b2 21 1D.若ab且ab0,则一匚a b答案 C解析 对于 A:若c= 0,则 A 不成立，故 A 错；对于 B:若c01 1ab且abr，故 C 对；对于 D：若，贝UD 不成立.b0a bbB是 sinAsinB的（）A.充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件 D .既不充分也不必要条件答案 Ca b解析 由正弦定理=2R又AB为三角形的内角，

10、 sin A0, sin B0,. sinsinAsinBAsinB? 2RsinA2RsinB?ab?AB3.已知直线I , m平面a,B,-8 -且I丄a,m?3,给出下列四个命题：若a/B,则I丄m若I丄m贝y a/3；若a丄3，贝yl丄m若I/m贝y a丄3.-9 -其中正确命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案解析/B,贝UI丄所以I丄m正确;4. 设a,A.C.m?3,I丄m与3可能相交，不正确;I与m可能平行或异面, 不正确;m?3,I/m则mh a,所以a丄bR+,且b,a+b= 2，则必有(2 . 21abw甘a2+b2B.ab1正确.2 . 2a+bab1D.

11、2 . 2a+babab.a+b= 22ab,故abl,又因为即a2+b22-1ab.5.已知a，b为非零实数，则使不等式：,2 成立的一个充分不必要条件是A.ab0B.ab0,b0,b0答案 Cababab解析 匚与-同号，由 l +2,知匚0, -0,bababaab即ab0.又若ab0,则二0, -0,b0 是+a- 2 成立的一个充分而不必要条件.b a6. 要证明(3 +7b0,求证：3a3+ 2b33a2b+ 2ab2.证明 方法一3a3+ 2b3- (3a2b+ 2ab2)=3a2(a-b) + 2b2(b-a) = (3a2-2b2)(a-b).因为ab0,所以a-b0,3a2

12、 2b20,22从而(3a-2b)(a-b) 0,所以 3a3+ 2b33 a2b+ 2ab2.方法二 要证 3a3+ 2b33a2b+ 2ab2,22只需证 3a(ab) 2b(ab) 0,只需证(3a- 2b)(a-b) 0,ab0, ab0,3a 2b2a 2b0,上式成立.二、能力提升111,+8. 已知a、b、c R,且a+b+c= 0,abc0，则+C的值()A. 定是正数B 一定是负数C.可能是 0D.正、负不能确定答案 B解析(a+b+c)2=a2+b2+c2+ 2(ab+bc+ca) = 0,又abc0,=a,b,c均不为 0，二a2+b2+c20.111ab+bc+caa+

13、b+c=abccb解析/ a2-C2= 2-(8 4 3) = 4 3-6= _48 360 ,二ac.-二cb.1210.已知p=a+a2(a2),q= 2-a+ 4a- 2(a2)，贝U p、q的大小关系为 _ 答案pq1 / 122 2解析p=a- 2+a-2+2 2 /(a 2 a-2 + 2= 4, -a+ 4a- 2= 2-(a-2)2,.q2- ab+bc+ca0,-11 -=4Wp.11.如图所示，在直四棱柱ABCDABCD中，当底面四边形ABCD满足条件 _ 时，有AC丄B D（注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形）答案对角线互相垂直 解析 本题答案不唯一

14、， 要证A CL B D,只需证B D垂直于AiC所在的平面AQC,因为该四棱 柱为直四棱柱，所以B D丄CC,故只需证B D丄A C即可.xy21 2.若1 x 1 , 1 y 1，求证：() 1 .xyXy证明要证明(&)21，只需证明 (xy)2( 1 xy)2, 即卩x2+y2 2xy 1 2xy+x2y2，只需证明x2+y2 1 x2y20，只需证明(y2 1)(1 xj0(*)因为1x1, 1y1,所以x21,y21.从而(*)式显然成立，xy2所以()0)，以过焦点的弦为直径的圆必与x=号相切.证明F /A4Ar071fT（如图）作AA、BB垂直于准线，取AB的中点M作MM垂直于准线.1只需证 |MM| = IAB.由抛物线的定义：|AAI = |AH, |BBT= |BH,-12 -所以 |AEB=IAAI+ |BB|.1因此只需证 |MM| = 2(|AA| +IBB|),根据梯形的中位线定理可知上式是成立的.所以以过焦点的弦为直径的圆必与x=-2 相切.三、探究与拓展14.已知a、b、c是不全相等的正数，且0 x1.由已知 0 x0.b+c a+c亠、+ log xlogx