《固体物理学》概念和习题答案

1、答案固体物理学概念和习题固体物理基本概念和思考题：1. 给出原胞的定义。答：最小平行单元。2. 给出维格纳-赛茨原胞的定义。答：以一个格点为原点，作原点与其它格点连接的中垂面（或中垂线），由这些中垂面（或中垂线）所围成的最小体积（或面积）即是维格纳-赛茨原胞。3. 二维布喇菲点阵类型和三维布喇菲点阵类型。4. 请描述七大晶系的基本对称性。5. 请给出密勒指数的定义。6. 典型的晶体结构（简单或复式格子，原胞，基矢，基元坐标）。7. 给出三维、二维晶格倒易点阵的定义。8. 请给出晶体衍射的布喇格定律。9. 给出布里渊区的定义。10. 晶体的解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？11.

2、写出晶体衍射的结构因子。12. 请描述离子晶体、共价晶体、金属晶体、分子晶体的结合力形式。13. 写出分子晶体的雷纳德-琼斯势表达式，并简述各项的来源。14. 请写出晶格振动的波恩-卡曼边界条件。15. 请给出晶体弹性波中光学支、声学支的数目与晶体原胞中基元原子数目之间的关系以及光学支、声学支各自的振动特点。（晶体含N个原胞，每个原胞含p个原子，问该晶体晶格振动谱中有多少个光学支、多少个声学支振动模式？）16. 给出声子的定义。17. 请描述金属、绝缘体热容随温度的变化特点。18. 在晶体热容的计算中，爱因斯坦和德拜分别做了哪些基本假设。19. 简述晶体热膨胀的原因。20. 请描述晶体中声子碰

3、撞的正规过程和倒逆过程。21. 分别写出晶体中声子和电子分别服从哪种统计分布（给出具体表达式）？22. 请给出费米面、费米能量、费米波矢、费米温度、费米速度的定义。23. 写出金属的电导率公式。24. 给出魏德曼-夫兰兹定律。25. 简述能隙的起因。26. 请简述晶体周期势场中描述电子运动的布洛赫定律。27. 请给出在一级近似下，布里渊区边界能隙的大小与相应周期势场的傅立叶分量之间的关系。28. 给出空穴概念。29. 请写出描述晶体中电子和空穴运动的朗之万（Langevin）方程。30. 描述金属、半导体、绝缘体电阻随温度的变化趋势。31. 解释直接能隙和间接能隙晶体。32. 请说明本征半导体

4、与掺杂半导体的区别。33. 请解释晶体中电子的有效质量的物理意义。34. 给出半导体的电导率。35. 说明半导体的霍尔效应与那些量有关。36. 请解释德哈斯-范阿尔芬效应。37. 什么叫费米液体？38. 请给出纯金属的电导率随温度的关系。39. 请解释刃位错、螺位错、晶界和小角晶界并画出示意图。40. 请列出顺磁性、抗磁性的主要区别。41. 请列出铁磁性固体的主要特征。42. 请列出亚铁磁性与反铁磁性的主要区别。43. 什么是格波和声子？晶体中声子有多少种可能的量子态？44. 请说明Debye热容量模型的基本假设，为什么说Debye热容量模型在低温下是正确的？45. 什么是近自由电子近似和紧束

5、缚近似？46. 请用能带论解释晶体的导电性，并试述导体、半导体、绝缘体能带的特点？47.什么是n型半导体和p型半导体？什么是本征半导体？48.试分析晶格热振动引起晶体热膨胀的原因以及限制声子自由程的原因。固体物理学习题注意：固体物理习题集（黄波等编写）上波矢q的定义（q=1/入）与课堂上所用的波矢k相差2冗（k=2冗/入）；另外习题集上的量纲多采用厘米克秒制，注意其与国际单位制之间的转换固体物理学概念和习题 答案1 .在14种布喇菲格子中，为什么没有底心四方、面心四方和底心立方格子?»»1)图代泰向u轴俯视所观*到的体心四万明格点分布格点，即内由格点纲成的岛面的。2处.如期

6、电阵为及之如图所示，为己担仲长的kc,ef它是体心四方点如H(U%图代表同样的点严，只是观察的角度不同.图中相成四方而心格点.而心格点向的距高/=JLfee=-=.正点部为收1对TT的c值.ffl<b>iJi是汨上轴伸长后的点曹.围此相同的点阵从是体心点阵，从(I)若是面心点阵.本助卜.相同，善就为体心四方点PK2)类似的底心四方和韵单四方是同一神点眸*3)底心立方不再具有正方时称科一所以不存柞，2 .在六角晶系中常用4个指数(h,k,i,l)来表示，如图，前三个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成120°的共平面轴ai,a2,a3上的截距为：ai/h,a2/k,a3/

7、i,第4个指数表示该晶面在六重轴c上截距为c/l,证明：i=-(h+k),并将下列用(h,k,l)表示的晶面改用(h,k,i,l)表示:(001)(133)(110)(323)(100)(010)(司3)。答：根据几何学可知，三维空间独立的坐标轴最多不超过三个。前三个指数中只有两个是独立的，它们之间存在以下关系：i=-(h+k)。(0001),(1323),(1100),(3213),(1010),(0110),(2133)。3 .证明理想六角密堆积结构的c/a比是7斤3=1.633,如果c/a值比这个值大得多，可以把晶体视为由原子密集平面所组成，这些面是疏松堆垛的。证明工如右图所示.六阳原内

8、最近翎原子间产为小而加翎两房的最近钱展子闾即为*曾后,时构成理想密战枳结构.此时行I南1JW出工f-j=1633.->1.03时.则表示康子平面的房间距较理想抬梅的旧北即大.因此层用雄双不转嚣空.4 .在单晶硅中，哪个晶面的原子面密度最大？在面心立方品格中，哪个晶面的原子面密度最大？答：单晶硅中，晶面上的原子密度是(111)>(110)>(100);面心立方晶格中，晶面原子排列密度(111)>(100)>(110)。5 .如图的两种正六边形(边长为a)平面格子是布喇菲格子还是复式格子？应如何选取其基矢和原胞？答：信)是布喇菲格子.(h)是复式格子6.六角空间点阵，

9、六角空间点阵的基矢可以取为:丑+设T寸3靠hb = x +C CZ(1)证明：原胞的体积是>27r a 2jt 人(2)证明：倒易点阵的基矢是:-271AC z一匚；因此直接点阵就是它本身的点阵，但轴经过了转动;(3)描述并绘出六角空间点阵的第一布里渊区。售：根据正格美与倒格美之间的关系.可得.正格子的体积b*“二 斗飞2那人犯格上的基矢""一智"=急"日，2(cat1万 工重=一 L ： + J -Q小aa2(axb)OU=7 .证明第一布里渊区的体积是匕此处Vc是晶体初基晶胞的体积证明.根据正、倒格子之间的夫系,元是正格子初基原料为伴潮，第L市

10、里渊M的沛福力就为喇格干原艇的体程，即8 .金刚石的晶体结构是一类典型的结构，如果晶胞是惯用立方体，基元由八个原子组成；(1)给出这个基元的结构因子；(2)求结构因子的诸零点并证明金刚石结构所允许的反射满足h+k+l=4n,且所有指数都是偶数，n是任何整数；否则所有指数都是奇数。?体心立方、面心立方晶胞的结构因子和消光条件。如：面心立方晶体惯用晶胞基元包含几个原子，写出其基元原子的位置和其衍射的结构因子，并给出消光条件9 .如果a表示晶格常数，9表示入射光束与衍射光束之间的交角，证明对于简11sin=(h+k2+产Y单立方品格，、2八，式中(hkl)为密勒指数，？先入射光波长。10 .画出体心

11、立方和面心立方晶体结构的金属在(100),(110),(111)面上的原子排列。U=4-三+4)11 .若一晶体的总互作用能可表示为：'rr,，试求：(1)平衡间距ro;(2)结合能W;(3)体弹性模量;(4)若m=2,n=10,ro=3?,W=4eV,求a、0的值。K=W卜内(84 1#平物间距<2)招)理解为晶体中所有国他底子对某一个原子的相互作用则系矮总的内能为对阱有旗子求和耗个原子的结合能W=-兴y"N=-伉)=(1-)22fn3晶体总体极为V=共中N为原子数.是与品格结构翊节仃美的常数休小性模-量_tna(n-m)lUcU)将数蜘代人结怆(1b都ff-90eV

12、-ajff-LlSxltfeV-A1IJ12.(黄昆教材2.6)用雷纳德-琼斯势计算Ne在体心立方和面心立方结构中的结合能之比*M4以gY用】其中N我最体中的恿原子数a由平衡条件改=0,可得I&兀1AJ结合洛郎=一口(崂=一甘(45)二匚244代人寻中给携的数据£7=0.003kz.a=2.14A.%也=12.13.4=14.45.&胆=91,人血=1225.得结合和之比”£=0.95713 .(黄昆教材2.7)对于H2,从气体的测量得到雷纳德-琼斯势中的参数为：£=50x-20J,(T=2.96?,计算一摩尔氢原子结合成面心立方固体分子氢时的结合

13、能。(Ai2=12.13,A6=14.45)14 .(固体物理习题集1.15和黄昆教材1.11)证明六角晶体的介电常数张量为000叼。,00"皿明若是一旋转时称操作,晶易津的介电常数淄足£=工房，对六际晶系，练庠轴（即a轴）旋转1的度和烧二鞫（即右轴）旋转1加度都是时称操作，坐标巴盘的除纪别为-1/2J"20=一寸3/？-1/20001晶备拉的介电常数为ft%电再由L七风褥%fl006公"la"6缶一&%邑可见”&一务专务我=4 =>=口可挣到六角晶系的介电常激为+ 0 0£= 0 邑口优择帮应的坐标堂换。与m中

14、口口可得到£=0弓00015 .（固体物理习题集2.1）设两原子间的互作用能可表示为:以）=一二十，式中，第一项为引力能;第二项为排斥能；a、 须 n>m 。均为正常数。证明，要使这两原子系统处于平衡状态，必16.（固体物理习题集2.2）设两原子间的互作用能可由:'表述。若 m=2,n=10 ,而且两原子构成稳定的分子，其核间距离为：-10m3离顺昌为4eV,试计算：（1）a和B；（2）使该分子分裂所必须的力和当分裂发生时原子核问的临界间距；（3）使原子间距比平衡距离减少10%时所需要的压力。17 .（固体物理习题集2.11）口=七一，有一晶体，平均每对离子的互作用能为

15、：R式中，R是最RR近邻离子间距；a是马德隆常数；入、An为常数。若n=10,a=7.5,平衡时最近邻距离R0=2.81X110m。求由2N=2X1G2个离子组成的这种晶体平衡时的总互作用能。18 .（固体物理习题集2.21）设LiF晶体（NaCl结构）的总互作用能可写成：追祝""一盛叫式中，N、Z、R分别代表晶体的离子总数、任一离子的最近邻数和离子间的最短间距；a是马德隆常数；入、p为参量。求平衡时最近邻间距R。、总结合能U。和体积弹性模量B的表达式。19 .（固体物理习题集2.32）设NaCl晶体的互作用能可表示为：U月式中的N、R、p、A分别为晶体中的离子数、近邻离子

16、间距、排斥核半径和排斥能参数。实验测定，NaCl晶体近邻离子的平衡间距R0=2.82x1dm，体积弹性模量K=2.4x110dyn/cm2,已知NaCl结构的马德隆常数a=1.7476,试困aCl晶体的排斥核半径p和排斥能参数Ao20.2N个正负离子组成一个一维链晶体。平衡时两个最近邻正负离子间距为R0o试证：（1）该晶体的马德隆常数为卜=2ln2。1-（2）自然平衡状态下的结合能为-q+q-2Ro-Ro0Rq2Ro证设想一个由正负两洋离亍相间排砌的无限长的离子铤，现任一所离子作参考离子（这样马德隆常数中的正负号可以这样取,却遇正离子即正号.遇负离子取负号）,用表示和斜离子间的距国，于是有前边

17、的因子2是因为存在着两个相等距离下的离子.T在争考离干左面.一？在其右面故时一边求和后要乘2,弓福隆常数为r111、cr=21-+.1234244VJ1+,¥)-X+:.J=2a221 .（固体物理习题集3.5）22 1R- 3 已知由N个相同原子组成的一维单原子晶格格波的密度可以表示为：式中m是格波的最高频率。求证它的振动模总数恰好等No22 .（固体物理习题集3.8）设有一维原子链（如图），第2n个原子与第2n+1个原子之间的恢复力常数为B,第2n个原子与第2n-1个原子之间的恢复力常数为B'（B'<B）。设两种原子的质量相等，最近邻原子间距均为a,试求晶格

18、振动的振动谱以及波矢q=0和4=±1/42时的振动频率。/笳山.=1。浮出也十X2«） X2n- ）疗就弱+1 = 例m觎十工一 .父都十1 >-供Ka+i -工和）mp b's m l>4一*18用1（ £:一哟徐石.023 .（固体物理习题集3.14）设有一维双原子链，链上最近邻原子间的恢复力常数交错地等于B和10B。若两种原子的质量相等，并且最近邻间距为a/2,试求在波矢k=0和k=九/a处的（k）,并画出其色散关系曲线。原子的起动方程应是即m玄.=p(Ox2n+1-1lr2ra)而01+1=/?(2«+2-1函编1坎强国)亭格

19、破解，令X.小小佚川.山色X）怪3代人运动方程,可导出线性方程组为，令。=诚、从A. B有非零解的系数行列式等于零的条件可得 FTJQ1鬲-苏/-以QONW 以一驷门)皿W+10丁却"_ 0可解出/ =谒-土 J2, “胃+1 0)色散关系见卜图ij = 0 HI . cosa = I .' m_ =0q=±X 时' coqa = -1 i (f)+ VzOftj) = % 2处24 .(固体物理习题集3.21)考虑一个由相同原子组成的二维正方格子的横振动a,最近邻原子间的恢复力常数为B ,试求：(1)格波的色散关系；(2)长波极限下格波的传播速度。25 .

20、边长为L的正方形二维晶体，含N个原胞,(1)该点阵振动的模式密度 D()；(2)德拜截止频率 m和德拜温度9d;(3)点阵振动内能表达式和低温下比热表达式。设原子质量为M，点阵常数为试求:dx x 2.4（其中 一 I ）26.(固体物理习题集3.30)已知一个频率为5的谐振动在温度T下的平均能量_1网巧=/叫十国福二e-1试用爱因斯坦模型求出由N个原子组成的单原子晶体晶格振动的总能量，并求其在高温和低温极限情况下的表达式。27 .（固体物理习题集3.53）设一维原子链中，两原子的互作用能由下式表示u(x)=U式中X为相邻原子间距。求原子链的线胀系数a28 .（固体物理习题集3.56）设某离子

21、晶体中离子间的互作用能式中，B为待定常数；r为近邻离子间距。求该离子晶体的线胀系数。已知近邻离子的平衡间距为3x1010m第t由行上3.1也）式知,线时胀系数值二3毕4尸尸口由T衡条件司*会 "n禹色名" 守的 4厂=一二=自二I99出工"-3Ji-6石由干R_?xicr七加,吕_4出口syio'cdsf%=L3eixlOJ%/rdJ*辞1-46口。-5/太16?29.具有简立方结构的晶体，原子间距为2?,由于晶体中非谐作用的存在，一但个沿1,1,0方向传播的波矢为1.3Xf0m-1的声子同另一个波矢大小相等，沿1,-1,0方向传播的声子相互作用，合并成第

22、三个声子，试求新形成的第三个声子的波矢。30.（固体物理习题集5.10）已知金属葩的EF=1.55eV,求每立方厘米的葩晶体中所含的平均电子数。31.（固体物理习题集3.14）证明：在T=0K时，费米能级E0F处的能态密度为3N式中N为金属中的自由电子总数。证札 在K空间中，在周期忤财界亲件下*以民=K为半彳比的球内，电子的数目为(记及门旋)：44fl=2VK一;闪此：曲=v述抹kQk已知自由电子的能量为！£=，代入(1)式得:2m(2/J!)-;dn-E'dEh闪此电子按照能显分布的状右密度：-1dn(2/J1)2；N(E)=-VE2dE当T=OK时，全部电子处丁躅米球内，

23、设费米球半径为*,则电子党数为士311用(4)火除(3)式，并稍加整理便得到下式.AN上式是以电子的费米能级为参吊的能态密度表达式.当E二科时即将,03NN)=诃32.(固体物理习题集5.16)证明：低温下金属中电子气的费米能7112其中固体物理学概念和习题 答案f2mH为绝对零度的费米能，n为电子浓度33 .（固体物理习题集5.22）证明，在T=0K时，金属中自由电子气的压强和体积弹性模量分别为:2N2N（）式中Ef0为T=0K时的费米能；V、N分别代表金属的体积和自由电子总数。已知锂（体心立方结构）的晶格常数a=3.5X他m,费米能Ef°=7.6X0-19J,试估计锂中自由电子对

24、体积弹性模量的贡献。34 .（固体物理习题集5.25）证明：（1）T=0K时，金属中自由电子的能量密度4冗肥k；V=5m式中，kF为费米球半径，V为金属体积。（2）金属中电子的平均能量k部每N10m35.(固体物理习题集5.12)证明：(1)处于k状态的自由电子能量为，k为电子波矢.当T=OK时，电子全部占据费密球内各态n在k空间中，状态密度等于V,“人自旋，在波矢kk+dk的球壳内的状态数为2y(4或/,由此得到，费密球内电子的总能量=2孕二2y(4米逝)击至，2m式中号,是费密球半径.当V比较大时，波矢在日空间的分布非常密集，可以看作准连续，上式的求和可用积分代替，于是%=2肘:味/成池)

25、=由此得到空间能量密度为V5tn(2)因为费密球内电子的总数(2)N=2VxA/3/把(2)式代入(1)式便得电子的平均能量k马3肥k2色=0N10mh±k当然，上式可应用E；J化简为习惯的表示式2m瓦4号3铜的费米能级EF=7.1eV,试计算每单位体积铜的平均电子数，并与从密度计算得到的电子浓度相比较。已知铜的密度等于8.96g/cm3odZ=4xV-E2dE=CE-dE其中m仁=4霭丝上£"M为金属的体积，琰为电子的质域，h由丁巴遵循费犬分布，丁是在能量区间工现（1£中的电子数为t州二f（E）dZ=CfEjEdE式中/（左）是第米分布函数二由F在维罚

26、零发时有：(E<E；)(E>Ef)因此电子总数为:NB E。_ £ </ 军dE C J ' jEdE代入数据得：n=8.5 1022. cm336 .（固体物理习题集问答6.5）一维晶格能量E和波矢k的关系如图所示。设电子能谱与自由电子相同，试写出与简约波矢k=兀/2a对应的点A（第一能带）、B（第二能带）和C（第三能带）处的能量。固体物理学概念和习题 答案0山2ag我(1)自由电子的能量五=就，因此与=悬E1t=：展=：&广%8<rw,37 .(固体物理习题集问答6.7)对简单立方、体心立方和面心立方晶格，由紧束缚近似导出的能带底部电子的有

27、效质量均可表示为能否据此断言：具有这三种结构的晶体，在能带底部的电子具有同样大小的有效质量？38 .(固体物理习题集6.1)证明：在三维晶格中，电子能量在k空间中具有周期性：E(k)=E(k+G)式中,任一倒格矢。证明:CkGeikGr所以：kgorCkG0GeikG0GrG定乂：GoGG则有：kg0rkr所以：E(K尸E(K+G)39 .(固体物理习题集6.8)设有一单价金属，具有简单立方结构，晶格常数a=3.345x110m,试求(1)费米球的半径；(2)费米球到布里渊区边界的最短距离。40 .(固体物理习题集6.14)应用紧束缚方法于一维单原子链，如只计及最近邻原子间的相互作用，试证明其

28、S态芯电子的能带为E(k)=Emin+4Jsin2(冗ak成中,Emin为能带底部的能量，J为交迭积分。并求能带的宽度及能带底部和顶部附近的电子有效质量。41 .(固体物理习题集6.20)一矩形晶格，原胞边长a=2x1010m,b=4x100m,(1)画出倒格子图；(2)以广延图和简约图两种形式，画出第一布里渊区和第二布里渊区；(3)画出自由电子的费米面(设每个原胞有两个电子)。解；因为a=ai=2AIh=bj=4Aj倒格子基矢为a*=-/a2A一1-b=一/以二斤为基矢构成的倒格子如图611所示.胃中如-代表倒将点.由图可见，矩形晶格的倒格子也是矩形格子.第区 第二区<2)取任意倒格点

29、。作为原点，由原点至其最近邻4、次近邻H的连线的中垂线可围成第一、第二布里渊区(加上图)，这是布里浦区的广延图、(3)设晶体共有N个原胞，计入自旋后，在简约布里御区中便有2N个状态.简约布里渊区的血积而状态密度一2.Vh刖&)=16/V(4)2A当每个原胞有两个电子时,晶体电子的总数为2N=，'虱A)*2底鼐=16N欣;42.(固体物理习题集8.23,8.24)试证明：如只计及最近邻原子间的相互作用，用紧束缚方法导出的体心立方晶体的S态电子的能带为E(k)=E0-A-8Jcos(Ttx)aCos(喻alos(尼)ak式中J为交迭积分，试求:固体物理学概念和习题 答案(1)体心立

30、方晶格能带的宽度；(2)能带底部和顶部电子的有效质量;(3)画出沿kx方向(ky=kz=0)E(kx)和v(kx)的曲线。解:若只计算最近邻的相互作用.用紧束缚近似法处理晶体中的*态电子所得的结果_呈近邻E(k)=Et-A-£产-工式中R,R0分别是参考原子以及最近邻的位矢.在简单立方晶格中,有6个最紧邻，如果取乙=0,则这6个最近邻的坐标是此从1,0,0)涧(-1,0,0)a(0,LO);afOrO)a(0.0;0);a(0503-l)这里必是晶格常数，对于S态电子.交迭积分对各个最近邻都相等，令J,.=-Jt则得E(产jA-J(1%十产/十厂叫十产/十产叫十e皿%)E=E_A_2

31、Jccr工H"、,；cos工开口心.<-con.J在能带底处，&=kkE0,对应的能量有最小值-Etsla.在能带顶处，-1J/Sft,kT-11/2a,ki-±1/2a对应能量有最大值因此能带的宽度为EOJ.ZEo - A + 6JAE =-E = 12Jiiib已知某简立方晶体的晶格常数为a,其价电子的能带:E= Acos(ak x) cos(ak y) cos(ak z)+B (其中常数 A,B>0), h2m =- -2(1)已测得带顶电子的有效质量2口 ，试求参数A；(2)试求能带宽度;(3)试求布里渊区中心点附近电子的态密度一、假定A大肚0t

32、l> 对广腌帚为E =404闪)8救卜0小巴)十B.同学立方京伸中的电子,其能锚顶在布里那区中心一在布里渊区中心.电子的有效质莹为由此可灿4=2.电子哈为£ = 2cM0期1仃)口口.五)一R.的他带底上芯笈X上.土二Lai.ia处.由带顶和带底的能亟知就带痈/为4, 出布里加区中心门近.E =工匕心口 s(&n)co# _门)+£_-2-i-B-trk-务E'K-N-凡则上式牝成柠一屏/.可见花布里郡区中心册近,善徒而是堂而用此，能量E'4?l能量E'+r比的等更而加的嵌真空时除租为-飞二成,dk.2姆卸JM1员惠救Utk=44泡=(

33、/?+2-E/IE,.所以能态密度为盟斤=N出）=-4十2©及44 .（固体物理习题集7.13）设vf,Tf分别为费米面电子的速度和平均自由时间，g（EF）为费米能级处的状态密度，证明：对于球形费米面的情况，电导率6二evF2Tfg（EF）/345 .（固体物理习题集8.1）证明：在一给定温度下，当电子浓度n=ni（h/俸）1/2,空穴浓度p=ni（e1/2时,半导体的电导率为极小。这里ni是本征载流子浓度，仙e和曲分别为电子和空穴的迁移率。46 .（固体物理习题集8.27）实验得到一错样品不呈现任何霍尔效应。已知错中电子迁移率为3500cm2/V?s,空穴迁移率为1400cm2/V

34、?s,问电子电流在该样品的总电流中所占的比例等于多少？47 .（黄昆教材4.12）设有二维正方晶格，晶体势场为11(尤疽二-4Ucos/a,九 /a )用近自由电子近似的微扰论（简并微扰）近似求出布里渊区顶角（冗能隙。（本题类似于基特尔教材（7.6）固体物理学概念和习题 答案V脑以；J表小位置矢炭的单位矢呈，以耳段莅咒间劝矢最的单位矢量,则右，r=xi+yG=5彳+G,A=j：&+礼&>“必为整数品依野能订(#C)=_4U8S8sU(r) = -U 曰 + J*京 + 己吟J ,7时 其中U/g = -U,而其他势能傅氏泵数"中勺=/«% =. = 0

35、 (为 y)C(*)+g46仰-0-。变为这样注本方程&-"匹"打*-%)+%/(*-%卜卜TuJ=o 求布里湖区角国(£.?)即#5= g0(11)处的能阳.可利用双闻平面注出假甲=C(3 * c(K-Gy.-q/来处双，当*=:<?(皿).鼠=_!。01)耐侬次由1)-；G01)而其也的内_仃(1 ", 22*_qi )卜应il)| r 所以在双项平面豉近嵬卜上式中只书同利)工科-可甘卜-9H)*飞1)江俨-气行)上#口4由行列式有G-ef-U1=。解得*士=士",所以在(-,-)处的能隙为钎号-<_=.aa48.(黄昆

36、教材5.1)固体物理学概念和习题 答案设有一维晶体的电子能带可以写成s2kah271E(妇=J-cos/ca+tcmaV88其中，a是品格常数，试求：(1)能带的宽度；(2)电子在波矢k状态的速度;(3)能带底部和能带顶部的有效质量由.71解(1)石fi.(_£。“看+83"用fjutSSIf-71.rfcoska-(Scc/ftrt-1)nia133=力3(costa-2)s-14;9醒-当ka=C2n+1)7时，n=0±L±2当切二加谢.吃“610能带宽度=E=£皿=,、1"内力,.1,.(2)u-(sinhisiijjZvi力小

37、mu4=T(CCka-1COEikct)'当E=0时，带底，ffl,-2/n当*二三时，带顶*"=三)修a349 .(黄昆教材5.2)品格常数为2.5?的一维品格，当外加102V/m和107V/m电场时，试分别估算电子自能带底运动到能带顶所需要的时间。解时品体施加肝刃曰均.电子在电场作用卜不断改变状态，表现为电子在E空的运动.牙格体丁电子运动的范经典运动方程性1dt则电子4卡空间的速度空.会饵与带底相距故所需忖r“La.-aeEaeEh£L=10>/mj=8.3xW3J£2-lO>/m时，氏3/10一”&50 .（黄昆教材5.6）若已知

38、E（k尸Ak2+c（kxky+kykz+kzkx）,导出k=0点上的有效质量张量,并找出主轴方向（使用空间旋转矩阵）。*?上求导有妓戈最张或%=2Ai2C依求m什过后艮强苗为'2A-C0002A-C0ft0。1A+2Ck。时的杓峰质最强显为接后求主转方向P -掂）* U 0-但3制电不上交.就雷止变化九一2+ 2C时，冏理町为名节住化打一个工期方向A-1网251 .（黄昆教材6.1）He3的自旋为1/2,是费米子。液体He3在绝对零度附近的密度为0.081g/cm3计算费米能Ef和费米温度Tfo解在组对零度时.五以等触面为理而0 0S1xFxx2hk-ii岂f-0.9545x10J2i

39、n.125x】O'消t0345x10*/1.38其1。一百人= 6.9xl0452 .（黄昆教材6.3）若把银看成具有球形费米面的单价金属，计算以下各量:(1)费米能和费米温度；(2)费米球半径；(3)费米速度；(4)费米球面的横截面积；(5)在室温及低温时电子的平均自由程。银的密度等于10.5g/cm3,原子量等于107.87,电阻率等于1.61X-60Q?:m(在295K)0.038X3化m(在20K)。解I)贽密能鼠屎储月产七二(3/打了-2明1。5n=0.586xlO2?/mj107.S7_n/=9.LlxlO-31kg否=L05xl尸Jy=8.S2xlO_1V=5JeKE&#

40、169;据密温度I>=6,4x10JC女B2>贵密球3柱Ej=8,82x1O'1V4=L2xlO1%r10第密速度】,一-URxlOsm/5m*)钳密球面的横裁面积S=六耳sinA):=开辟sin20。是耳与工轴间夹角岑=（3/吟'$S=汇。冗）3sin205)在室曜以及fj?温时也不的平均白由程驰豫时何M耳)=平均汽由程，/-/f叼-p码rp口K到室温之间的费密半性变化很小/=杉=1,2x10皿炉g=1,6x10一日C月=0.586x10苫/料针桂=1.15x11)-"J平均自由程，-号将,。代入N曰*fcp=1.2x1D171=1.61x1。+GG为4

41、e=0.038x10*Qcm1Mle-SMxlOm_52Anm&加s=2,2xl0“m=2,2x10n加53 .(黄昆教材7.1)InSb的电子有效质量me=0.015m(m为电子静质量)，介电常数£=18,晶格常数a=6.479?,试计算：(1)施主的电离能；(2)基态的轨道半径；(3)若施主均匀分布，相邻杂质原子的轨道之间发生交叠时，掺有的施主杂质浓度应高于多少?m*V鼾cn由于的主上离能%,早京埠子电序能£的二I二倍,明£.%=虫=幽铲（W）=&铛/1。飞吟叫心（17）口工/4鼎£f-"巴电*0,52（1）-6.31xld

42、I（A）fi.31xiar,（m）tn*e"四*0.014门.加里风主的电子与变量屉态轨道发生曲心，也均匀分布J加命中施土也血/度N,如定满足3?Id1）J=1t3=49HxlO：0（W2tf2x631x10'）J54 .（黄昆教材7.3）已知Si中只含施主杂质ND=1015/cm3。现在40K下测得电子浓度为1012/cm3,试估算施主杂质的电离能。解我由知道电子甥浓度为心-%4-（&*）%（n）乂国为在40K的低涅卜,废渣于珞上吧晶白做主激发到驰带的电子.在这神情祝卜,帝中电子数目晶然和空的施主能班奴目相等.因此"中工Nql-/（£口）卜Nd1

43、.2E.考卜hl旧由以上a和b两代可得%将G式中的Ec-Ed琳济底施主能被的能求液.显然它就是施主的电离俯可=耳-4（d）祸d化入惘北整理得到El上出世二，K由于"匚.T“：,而又如再亡（300尺）工6*01%理-辐视/40/（40）=!算2.6N10惮=1.%6算的，和，由此：H1施主架也的电离能为(10l-ID12)X1.266x1QISE=1,381x10一黑401n=1,156x10'20/=0.0722eK11产55 .（黄昆教材7.4）某一N型半导体电子浓度为1x105/cm3,电子迁移率为1000cm2/Vs,求其电阻率。二 62.4215-111-(7-nee

44、IxlO1-xlO*x1.602x10191000x10-156 .（基特尔教材4.5）孔氏异常（Kohnanomaly）:假定晶面运动方程,广斗4%+P一%）中平sinpk（产C二A1面力常数Cp取如下形式PPQ，其中A和k0是常数，而p遍取所有的整数值。这种形式是对于金属的预期结果。利用这个公式和式而2=行£一cospKa）,0.rMP>°P（产'求出2和？cd2/?k的表达式，证明K=k0时，?cd2/?K是无穷大，于是在k0处2对K或对K的图形有一条垂直的切线：即在k0处色散关系（K）有一个扭折。（W.Kohn,Phys.Rev.Lett.2（1959

45、）393曾预言了与此有关的一个效应。）57 .（基特尔教材7.2）约化能区中的自由电子能量。（a）在空点阵近似下考虑面心立方晶体在约化能区图式表示中的自由电子能带，在约化能区图式表示中所有的k都变换到第一布里渊区内。粗略绘出111方向上的所有能带的能量，直至相当于布里渊区边界k=（2冗/a）（1/2,1/2,1/2）处的最低帝6册的就令这个能量为能量的单位。这个问题表明，为什么带边不一定要在布里渊区中心。当考虑到晶体势场时，有几个简并（能带交叉）被消除。58 .（基特尔教材7.4）A末端垂直的布里x x/a）cos（2 九 y/a）的正方点阵。应用中心方程近似求出布里渊区角点（兀/a,兀/a ）处的能隙。这个问金刚石结构中的势能。（a）试证对于金刚石结构，在G=2A时，一个