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文档简介

1、标准文案概率论与数理统计教学设计课程名称经济应用数学C课时50+50=100 分钟任课教师祭东平专业与班级巾营B1601班 人资B1601-02班课型新授课课题二维随机变量函数的分布学 习 目 标知识与技能1.引言2离散型随机向量的函数的分布3连续型随机向量的函数的分布4连续型随机向量函数的联合概率密度5和的分布6商的分布7积的分布8最大、最小分布过程与方法在实际应用中,有些随机变量往往是两个或两个以 上随机变量的函数.例如,考虑全国年龄在40岁以上的人群,用X和Y分别表示一个人的年龄和体重,Z表示这个人的血压,并且已知Z与X , Y的函数关系式Z g(X,Y), 现希望通过(X,Y)的分布来

2、确定 Z的分布.此类问题就 是我们将要讨论的两个随机向量函数的分布问题在本节中,我们重点讨论两种特殊的函数关系:(i) Z X Y;(ii) Z maxX,Y和 Z min X,Y,其中 X 与 Y相 互独立.注:应指出的是,将两个随机变量函数的分布问题推 广到n个随机变量函数的分布问题只是表述和计算的繁 杂程度的提高,并没有本质性的差异.情感态度与价 值观1 .培养学生解决问题的过程是由简单到复杂的过程。2 .让学生理解,一个真理的发现不是一蹴而就的,需要经过有简单到复杂,由具体到抽象的不断深入的过程.教学分析教学容1.引言2离散型随机向量的函数的分布3连续型随机向量的函数的分布4连续型随机

3、向量函数的联合概率密度5和的分布6商的分布7积的分布8取大、取小分教学重点1 .和的分布 ;2 .积的分布;3 .最大、最小分布;教学难点1 .和的分布 ;2 .积的分布;3 .最大、最小分布;教学方法 与策略课堂教学设计 思路1对比一维随机变量函数的分布来了解多维随机变量离 散型随机向量的函数的分布、连续型随机向量的函数 的分布;2、少步理解和的分布、正态随机变量的线性组合、 商的分、 积的分布、取大、取小分布板书设计1.引言2离散型随机向量的函数的分布3连续型随机向量的函数的分布4连续型随机向量函数的联合概率密度5和的分布6商的分布7积的分布8取大、取小分教学进程教学意图教学容教学环节1.

4、引言(5分钟)累方t 5分钟在实际应用中,有些随机变量往往是两个或两个 以上随机变量的函数.例如,考虑全国年龄在40岁以上的人群,用 X和Y分别表示一个人的年龄和体 重,Z表小这个人的血压, 并且已知z与X , Y的函 数关系式z g(X,Y), 现希望通过(X,Y)的分布来确定Z的分布.此类问题 就是我们将要讨论的两个随机向量函数的分布问题.在本节中,我们重点讨论两种特殊的函数关系:(i) Z X Y;(ii) Z maxX,Y和 Z min X,Y,其中 X 与 Y 相互独立.注:应指出的是,将两个随机变量函数的分布问 题推广到n个随机变量函数的分布问题只是表述和 计算的繁杂程度的提高,并

5、没有本质性的差异.时间:5分钟应指出的是,将 两个随机变量函 数的分布问题推 广到n个随机变 量函数的分布问 题只是表述和计 算的繁杂程度的 提高,并没有本 质性的差异.教学意图教学容教学环节2.离散型随机变量的函数的分布:(25分钟)离散型随机 变量的函类 的分布1Z离散型随机变量的函数的分布设(X,Y)是二维离散型随机变量,g(x,y)是一个二元函数,则g(X,Y)作为(X,Y)的函数个随 机变量,如果(X,Y)的概率分布为PX Xi,Y yj pj (i, j 1设Z g(X,Y)的所用可能取值为 zk,k 1,2,则Z 的概率分布为PZ zPg(X,Y) zjPX )g(Xi,yj)

6、Zkk 1,2,设(X,Y)是二维离散型随机变量,g(x,y)是一个二元函数,则g(X,Y)作为(X,Y)的函数个随时间:25分钟,2,)q,Y yj,Pj(X,Y)Z X Z XY、机变量,如果(X,Y)的概率分布为PX Xi,Y yj pj (i, j 1设Z g(X,Y)的所用可能取值为z/ 1,2,则Z的概率分布为PZ Zk Pg(X,Y) ZkPX g(Xi,yj) Zkk 1,2, 例1设随机变量(X,Y)的概率分布如卜表,2,)q,Y yj,11)工101210.20.150.10.320.100.10.05求二维随机变量的函9 (1)Z X Y;(2)Z XY.解由(X ,Y)

7、的概率分布可得发Z的分布:0.20.150.10.30.100.(-1,-1)(-1,0)(-1,1)(-1,2)(2,-1)(2,0)(2,Y-2-10112310-1-2-202与一维离散型随机变量函数的分布的求法相同,把Z值相同项对应的概率值合并可得:(1)Z X Y的概率分布为Z-2-101234pi0.2 0.15 0.10.40 0.10.05(2)Z XY的概率分布为Z-2-10124Pi0.40.10.150.20.10.05例 2设 X 和 Y相互独立,Xb(n1,p), Yb(n2,p),求Z X Y 的分布.解这里我们利用第一章中二项分布的直观解释求之.右X b(n1,

8、p),则X是在n1次独立重复试验中事件 A出现的次数,每次试验中 A出现的概率 都为p.同样,Y是在n2次独立重复试验中事件A出现的累11 30分钟次数,每次试验中A出现的概率为 p,故Z X Y是 在n11次独立重复试验中事件A出现的次数,每次试3中A出现的概率为 p, 丁是Z是以(n1 n2,p)为分数的一项随机变里,即Z b(n1n2, p).例3若X和Y相互独立,它们分别服从参数为 1, 2的泊松分布,证明Z X Y服从参数为 12的泊松分布.i ie 2 j解 PX i 1 i 01, ; PY j 2i!j!j 0,1, 由离散型卷积公式得rPZ rPX i,Y r ii 0 ri

9、r ie 1 e 22 i 0i!(r i)!p ( 1 2) rr!er!i r i1 2 r! i 0i!(r i)!e ( 12)(12)r,r 01, r!即Z服从参数为12的泊松分布.3.连续型随机向量的函数的分布(20分钟)教学意图教学容教学环节设(X ,Y)是二维连续型随机向量,其概率密度函 数为f(x,y),令g(x,y)为一个一兀函数,则g(X,Y) 是(X,Y)的函数.可用类似于求一兀随机变量函数分布的方法来 求Z g(X,Y)的分布.a)求分布函数Fz(z),时间20分钟Fz(z) PZz Pg(X,Y) zP(X,Y)Dzf(Dzx, y)dXdy.其中,Dz (x,y

10、)|g(x,y) z.b)求其概率密度函数fz(z),对几乎所有的乙有fz(z) Fz(z).定理1设(Xl,X2)是具有密度函数f(Xl,X2)的连续型随机向量. 2(1)设 yi gi(X,X2),y2 g2(X,X2)是 R 到自身 的一一映射,即存在定义在该变换的值域上的逆变 J奂:Xihi(yi,y2),X2hz(yi,y2);(2)假设变换和它的逆都是连续的;(3)假设偏导数 上(i i,2,j i,2)存在且连续; yi(4)假设逆变换的雅可比行列式 几hil J(yi,y2) K 上 0, yiy21即J(yi,y2)对于在变换的值域中的(yi,y2)是不为0的.则丫,丫2具有

11、联合密度w(yi,y2) | J | f (hi(yi,y2),h2(yi, y?).定理2设X,Y相互独立,且X N(1,;),Y N( 2,2).则 ZX Y仍然服从正态分布,且 2ZN( i 2, i22、2 )有限个相互独立 的正态随机变量 的线性组合仍然.服从正态分布更一般地,可以证明:有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布,即有定理3若Xi N( i, 2)(i i,2, ,n),且它们相互独立,则对任意不全为零的常数ai,a2, ,an,有nnn、,一2ai Xi Nai i , ai ii 1i 1i 1例4设随机变量 X与Y相互独立,且同服从 0,1上的均匀分

12、布,试求Z |X Y|的分布函数与 密度函数.解先求Z的分布函数Fz (x) P| X Y|zY1Z1Y=X + z/Y = X-zO-1 X0,z0P z X Y z, 0 z 11,z 10,z 01 (1 z)2, 0 z 1,1,z1于是Z |X Y|的概率密度为2(1 z), 0 x 1fz(z) Fz(z)甘.0,其它累11 50分钟4.和、商、积的分布(35分钟)教学意图教学容教学环节例5设(X1, X2)的密度函数为f (Xi,X2).令丫 Xi X2, Y2试用f表小Y1和丫2的联合密度函数.和的分布:设X和Y的联合密度为f (x,y),求 Z X Y的密度.卷积公式:当X和

13、丫独立时,设(X,Y)关于 X,丫的边缘密度分别为fX(x), fY(y),则上述两式化为时间35分钟X1 X2大全故由定理fz (z)2e2tx例6们都服从z24/、 1 fw(y1,y2) 2 f1 -e2解令y1zx 一2y1y2x12,x2以上两个公式称为卷积公式.Xi X2,V2yy22J(yi,y2)1/21/2fz(Z)fz(z)fx(z y)ffx(x) fY(ZY(y)dyx)dxXi1/21/2X2,则逆变换为1/2 0,1知,Y1和Y2的联合密度函数为y1y2 y1y22,2设X和Y是两个相互独立的随机变量 .它 N(0,1)分布,其概率密度为fx(x)fy(y)1212

14、x2/y2/Y的概率密度. 由卷积公式得fx (x)fy(zx)dx(z x)22dxdx1 z/2 -2z2e 4e t2dt N(0,2).例7(讲义例5)设某种商品一周的需要量是一个 随机变量,其概率密度函数为f(x)0rx.0时,如果各周的需要量相互独立,求两周需要量的概率密度函数.解 分别用X和Y表示第一、二周的需求量 则0,从而两周需求量。时,若0,x若x 0,则fX (x)0,时,若x0则fY (Z x)Q故fx(x)fY(z x)dxz1ee2因为x21fz(z)dxe作变量代换,t1fz(z)Z N(0,2).步注:进可以,求Z对zxe0z Xz2 4z2 4t22 dt1

15、Tex 0其它x2e 23 z e6x2 (z x)2(z x)2 dx,3 z zz,从而 fZ(z)-6e0,1e 22 z x2z2. xe x fX(x)一e 2即z x,fY(y)ye y, y 00, 其它Y,利用卷积公式计算.从而fz(z)0,则 fx(x)0,0;0;x(z其它fY(Zx)ex) 0;x 0,(z x)dx例8 (讲义例4)设x与Y相互独立,且均在区间0,1上服从均匀分布解由卷积公式X Y的密度函数.fz (z)(z x)22dxz24、2(x z/2),z2e 4 ,它表证明,设 X N( 1, 12),XN( 2, 2), 且X和Y相互独立,则一22ZX Y

16、N( 12,:22).例9设Xi,X2相互独立且分别服从参数为1, ; 2,的分布(分别记成Xi (1, ), X2 ( 2, ), Xi,X2 的概率密度 分别为1x 1 1e x/ , x 0fXi (x)1 ( 1)0,其它1y 2 1e y/ , y 0fX2(y)2(2)0,其它试证明X1X2服从参数为12,的 分布.证明由卷积公式,知当z 0时,Z X1 X2的概率密度fz(z) 0.当z 0时,Z X1 X2的概率 密度fz fX1 (x) fX2 (z x)dxz11 1 x/1x e 01 ( 1)2 ( 2)(z x) 2 1e (z x)/ dxe Zx 2 1dx1 2

17、 ( 1) ( 2) 012 1 z/1x zt-ze t 1 1(1 t) 2 1dt1 2 ( 1) ( 2) 0当 Az 1 2 1e z/ ,11其中 a t 1 1(1 t) 2 1dt,再1 2 ( 1) ( 2) 0来计算A.由概率密度性质,有10 fz (z)dzA 1 2(z/ ) 1 2 1e x/ d(z/ )0A 1 2 ( 12),即有A1于是1 2 ( 12)fz(z)11 2 ( 1 z 1 2 1e z/ ,2)0,z 0,亦即其它Z X1X2服从参专改为12, 的分布,即Xi X2 ( 12,).商的分布:设二维随机向量(X,Y)的密度函数为 Xf(x, y)

18、,求Z 5的留度函数.10 xf(x)500,例10在一简单电路中,两电阻R1和R2串联连 接,设Ri, R2相互独立,它们的概率密度均为其它.求总电阻R R1R2的概率密度.解R的概率密度为fR(z)f(x)f(z x)dx.易知仅当0 x 10,即0 x 10时上0 z x 10 z 10 x z述积分的被积函数不等于零(如图),由此即得zf(x)f(z x)dx, 0 z 1010fR(z) f (x)f(z x)dx, 10 z 20, 将 f (x)z 100,其它的表达式代入上式得2 3(600z 60z z )/15000, 0 z 103fR(z)(20 z)3/15000,1

19、0 z 20.0,其它例11设X与Y相互独立,它们都服从参数为的指数分布.求Z七的密度函数.解依题知 fx (x)x e0,fy(y)0,y0y0,因X与Y相互独立,故f (x,y) fX(x)fY(y).由商的分布,知 fZ(z) I y 1fx (yz)fY(y)dy,当 z 0 时,fZ(z) 0; 当 z 0 时fz (z)2 e y(1 z)ydy 1/(1 z)2,故 Z 的密度函02数为 fz(z)1/(1 z),z 00, z 0积的分布:设(X1, X2)具有密度函数f (x1, x2), 则丫 X1X2的概率密度为例12y fY(y)f z,-z设二维随机向量(X,Y)1

20、dz. |z|在矩形G (x, y)|0 x 2,0 y 1上服从均匀分布 , 试求边长为X和Y的矩形面积S的密度函数f(s).解法1 二维随机变量(X ,Y)的密度函数为f(x,y)1/2, (x,y) G0,(x, y) GF(s) 1; 而当令F(s)为S的分布函数,则F(s) PS sf (x,y)dxdy, xy s显然s 0时,F(s) 0; s 2 时,0 s 2时(如图),02 X有1 21f (x, y)dxdy1 - dx dy2 s s/ x xy s累方t 35分钟"s(1 ln 2 ln s), 20,s 0T# F(s) s(1 ln2 Ins)/2, 0

21、 s 2, 1,s 2(ln2 Ins)/2, 0 s 2从而 f(s) F (s) () ,甘.0,其它解法2 二维随机变量(X ,Y)的密度函数为1/2, (x,y) Gf(x,y)c /、z0,(x, y) G于正 fS (s)f z,-dz.z |z|因为仅当 0 z 2, 0 9 1时,f z,90,所zz以s2 1 11f s (s)f z, dzdz (ln 2 ln s),zs 2 z20 s 2其它情形,fS(s) 0.5.极值分布(15分钟)教学意图教学环节M max(X,Y)及 N min(X,Y)的分布 设随机变量 X,Y相互独立,其分布函数分别为Fx(x)和Fy(y)

22、,由于M max(X,Y)不大于z等价于X和Y都不大于z,故有Fm(z) PM z PX 乙Y z PXzP丫类似地,可得N min( X,Y)的分布函数Fn (z) PN z 1 PN z 1 P】 1 PX zPY ; 例13设随机变量X1,X2相互独立,并且有相同 的几何分布: k 1PXi k pqk 1,k 1,2, ,q 1 p 求Y max(X1,X2)的分布.时间13分钟zFx(z)Fy(z);(乙丫 zz 1 1 Fx(z),i 1,2Fy(z).解一 PYnPmax X1,X2 nPX1 n,X2nPX2 n,X1nnpqpqpq1 kpq111npq1n(2 q1).解二

23、 PYnPY n PYn 1Pmax X3X2nPmax X3X2n 1PX1n,X2nPX1n 1, X2 n1k 1pqkpq k 1(1 qn)2(1qn1)2pqn1(2 qn qn1).例14 (讲义例6)设系统L由两个相互独立的子 系统LL2联接而成,联接方式分别为串联、并联、 备用(当系统L1损坏时,系统L2开始工作),如图336所示.设L1, L2的寿命分别为 X ,Y ,已知它们 的概率密度分别为fX (x)ex, x 0,0, x 0,fY(y)其中e y, y 0,0, y 0,试分别就以上三种联0,0且接方式写出L寿命Z的概率密度.解 (1)串联的情一"一"、r X F 1况力由于当L1,L2中有1 i G一个损坏时,系统L就停止工作,所以这时L的寿命 为 Z minX,Y由题设知X,Y的分布函数分别为于是ZFx(x)Fy")1 e x, x00, x01 e x, y 0Q y 0min X ,Y的分布函数为Fmin(Z)1 1 Fx (X)1FY(y)1 e ()z, z0, 0, z 0率密度为0.0Z min X, Y的 概( )zfmin(Z)( )ez0, z(2)并

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